Комплексное измерение

В математике обычно комплексная размерность относится к размерности комплексного многообразия или комплексного алгебраического многообразия . Это пространства, в которых локальные окрестности точек (или неособых точек в случае многообразия) моделируются на основе декартова произведения вида $\mathbb {C} ^{d}$ для некоторых $d$, а комплексная размерность — это показатель степени $d$ в этом продукте. Потому что $\mathbb {C}$ в свою очередь может быть смоделировано с помощью $\mathbb {R} ^{2}$, пространство комплексной размерности $d$ будет иметь реальное измерение $2d$. То есть гладкое многообразие комплексной размерности $d$ имеет реальное измерение $2d$; и комплексное алгебраическое многообразие комплексной размерности $d$, вдали от любой особой точки , также будет гладким многообразием вещественной размерности $2d$.

Однако для реального алгебраического многообразия (то есть многообразия, определяемого уравнениями с действительными коэффициентами) его размерность обычно относится к его комплексной размерности, а его действительная размерность относится к максимуму размерностей многообразий, содержащихся в множестве его действительных чисел. точки. Действительная размерность не больше размерности и равна ей, если многообразие неприводимо и имеет неособые действительные точки .Например, уравнение $x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$ определяет разновидность (комплексной) размерности 2 (поверхность), но вещественной размерности 0 — она имеет только одну действительную точку (0, 0, 0), которая является особой.

Те же соображения применимы и к коразмерности . Например, гладкая комплексная гиперповерхность в комплексном проективном пространстве размерности n будет многообразием размерности 2( n - 1). Комплексная гиперплоскость не разделяет комплексное проективное пространство на две компоненты, поскольку она имеет действительную коразмерность 2.