Размерность алгебраического многообразия

В математике и особенно в геометрии размерность алгебраической алгебраического многообразия может определяться различными эквивалентными способами.

Некоторые из этих определений имеют геометрическую природу, тогда как некоторые другие являются чисто алгебраическими и основаны на коммутативной алгебре . Некоторые из них ограничены алгебраическими многообразиями, тогда как другие применимы также к любому алгебраическому множеству . Некоторые из них являются внутренними, поскольку не зависят от какого-либо вложения многообразия в аффинное или проективное пространство , тогда как другие связаны с таким вложением.

Размерность аффинного алгебраического множества

Пусть K — поле и L ⊇ K — алгебраически замкнутое расширение .

Аффинное алгебраическое множество V — это множество общих нулей в L ^н элементов идеала I в кольце полиномов $R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}].$ Позволять $A=R/I$— K -алгебра полиномиальных функций над V . Размерностью V является любое из следующих целых чисел. Оно не изменится, если К увеличить, если L заменить другим алгебраически замкнутым расширением К и если I заменить другим идеалом, имеющим те же нули (т. е. имеющим тот же радикал ). Размерность также не зависит от выбора координат; другими словами, оно не изменится, если x _i заменить линейно независимыми линейными комбинациями их .

Размерность V ​

• Максимальная длина $d$ цепей $V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{d}$ различных непустых (неприводимых) подмногообразий V .

Это определение обобщает свойство размерности евклидова пространства или векторного пространства . Таким образом, вероятно, именно определение дает самое простое интуитивное описание понятия.

• Размерность Крулля координатного кольца A .

Это транскрипция предыдущего определения на языке коммутативной алгебры , где размерность Крулля — это максимальная длина цепей. $p_{0}\subset p_{1}\subset \ldots \subset p_{d}$ простых идеалов A ​ .

• Максимальная размерность Крулля локальных колец в точках V .

Это определение показывает, что измерение является локальным свойством, если $V$является нередуцируемым. Если $V$неприводима, то оказывается, что все локальные кольца в точках V имеют одну и ту же размерность Крулля (см. ); таким образом:

• Если V — многообразие, размерность Крулля локального кольца в любой точке V

Это перефразирует предыдущее определение на более геометрический язык.

• Максимальная размерность касательных векторных пространств неособых точках V . в

Это связывает размерность многообразия с размерностью дифференцируемого многообразия . Точнее, если V определено над вещественными числами, то множество его действительных регулярных точек, если оно не пусто, представляет собой дифференцируемое многообразие, имеющее ту же размерность, что и многообразие, и многообразие.

• Если V многообразие, размерность касательного векторного пространства любой неособой точке V. — в

Это алгебраический аналог того факта, что связное многообразие имеет постоянную размерность. Это также можно вывести из результата, приведенного ниже третьего определения, и того факта, что размерность касательного пространства равна размерности Крулля в любой неособой точке (см. Касательное пространство Зариского ).

• Количество гиперплоскостей или гиперповерхностей общего положения , необходимых для пересечения с V , которое сводится к ненулевому конечному числу точек.

Это определение не является внутренним, поскольку оно применимо только к алгебраическим множествам, которые явно вложены в аффинное или проективное пространство.

• Максимальная длина регулярной последовательности в координатном кольце A .

Это алгебраический перевод предыдущего определения.

• Разница между n и максимальной длиной регулярных последовательностей, содержащихся в I .

Это алгебраический перевод того факта, что пересечение n – d общих гиперповерхностей представляет собой алгебраическое множество размерности d .

• Степень Гильберта A . полинома
• знаменателя ряда Гильберта A . Степень

Это позволяет с помощью базисных вычислений Грёбнера вычислить размерность алгебраического набора, определяемого данной системой полиномиальных уравнений . При этом размерность не изменится, если полиномы базиса Грёбнера заменить на их ведущие мономы, а также если эти ведущие мономы заменить на их радикал (мономы, полученные удалением показателей). Так:

• Размерность Крулла кольца Стэнли – Рейснера. $R/J$ где $J$ является радикалом исходного идеала ​ $I$ для любого допустимого мономиального порядка исходный идеал ( $I$ — множество всех ведущих мономов элементов $I$).
• Размерность симплициального комплекса , определяемого этим кольцом Стэнли – Рейснера.
• Если I — простой идеал (т. е. V — алгебраическое многообразие), то трансцендентности над K поля частных A степень .

Это позволяет легко доказать, что размерность инвариантна относительно бирациональной эквивалентности .

Размерность

Пусть V — проективное алгебраическое множество, определенное как множество общих нулей однородного идеала I в кольце полиномов. $R=K[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]$ над полем K , и пусть A = R / I — алгебра многочленов над V. градуированная

Применяются все определения предыдущего раздела с той разницей, что, когда A или I явно появляются в определении, значение измерения должно быть уменьшено на единицу. Например, размерность V на единицу меньше размерности A. Крулла

Вычисление размера

Дана система полиномиальных уравнений над алгебраически замкнутым полем $K$, может быть сложно вычислить размерность определяемого им алгебраического множества.

Без дополнительной информации о системе существует только один практический метод, который состоит из вычисления базиса Грёбнера и определения степени знаменателя ряда Гильберта идеала, порожденного уравнениями.

Второй шаг, обычно самый быстрый, можно ускорить следующим образом: во-первых, базис Грёбнера заменяется списком его ведущих мономов (это уже сделано для вычисления ряда Гильберта). Тогда каждый моном вида ${x_{1}}^{e_{1}}\cdots {x_{n}}^{e_{n}}$ заменяется произведением входящих в него переменных: $x_{1}^{\min(e_{1},1)}\cdots x_{n}^{\min(e_{n},1)}.$ Тогда размерность — это максимальный размер подмножества S переменных, такого, что ни одно из этих произведений переменных не зависит только от переменных из S .

Этот алгоритм реализован в нескольких системах компьютерной алгебры . Например, в Maple это функция Groebner[HilbertDimension], а в Macaulay2 это функция dim .

Реальное измерение

См. также: Комплексное измерение

Действительная размерность набора действительных точек, обычно полуалгебраического набора , — это размерность его замыкания Зариского . Для полуалгебраического набора S действительная размерность — это одно из следующих равных целых чисел:

• Реальное измерение $S$ — размерность его замыкания Зариского.
• Реальное измерение $S$ максимальное целое число $d$ что существует гомеоморфизм такая , $[0,1]^{d}$ в $S$.
• Реальное измерение $S$ максимальное целое число $d$ что существует проекция так , $S$ через $d$-мерное подпространство с непустой внутренностью .

Для алгебраического набора, определенного над действительными числами (который определяется полиномами с действительными коэффициентами), может случиться так, что действительная размерность набора его действительных точек меньше, чем его размерность как полуалгебраического набора. Например, алгебраическая поверхность уравнения $x^{2}+y^{2}+z^{2}=0$ - это алгебраическое многообразие размерности два, которое имеет только одну действительную точку (0, 0, 0) и, следовательно, имеет нулевую действительную размерность.

Реальную размерность вычислить сложнее, чем алгебраическую размерность. Для случая реальной гиперповерхности (то есть множества действительных решений одного полиномиального уравнения) существует вероятностный алгоритм вычисления ее реальной размерности.

См. также

• Размерность (векторное пространство)
• Теория размерности (алгебра)
• Размер схемы