Ряд Гильберта и полином Гильберта

В коммутативной алгебре , функция Гильберта полином Гильберта и ряд Гильберта градуированной коммутативной алгебры , конечно порожденной над полем, представляют собой три сильно связанных понятия, которые измеряют рост размерности однородных компонентов алгебры.

Эти понятия были распространены на фильтрованные алгебры и градуированные или фильтрованные модули над этими алгебрами, а также на когерентные пучки над проективными схемами .

Типичными ситуациями, когда используются эти понятия, являются следующие:

• Фактор по однородному идеалу многомерного многочленов кольца , градуированному по полной степени.
• Факторное по идеалу многомерного кольца полиномов, отфильтрованное по полной степени.
• Фильтрация локального кольца по степеням его максимального идеала . В этом случае полином Гильберта называется полиномом Гильберта – Самуэля .

алгебры Ряд Гильберта или модуля является частным случаем ряда Гильберта–Пуанкаре градуированного векторного пространства .

Полином Гильберта и ряды Гильберта важны в вычислительной алгебраической геометрии , поскольку они являются самым простым известным способом вычисления размерности и степени алгебраического многообразия, определяемого явными полиномиальными уравнениями. Кроме того, они предоставляют полезные инварианты для семейств алгебраических многообразий, поскольку плоское семейство $\pi :X\to S$ имеет один и тот же полином Гильберта над любой замкнутой точкой $s\in S$. Это используется при построении схемы Гильберта и схемы Quot .

Определения и основные свойства

Рассмотрим конечно порожденную градуированную коммутативную алгебру S над полем K , конечно порожденную элементами положительной степени. Это значит, что

$S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}$

и это $S_{0}=K$.

Функция Гильберта

$HF_{S}:n\longmapsto \dim _{K}S_{n}$

отображает целое число n в размерность K пространства Sn _. - векторного Ряд Гильберта, который называется рядом Гильберта–Пуанкаре в более общем контексте градуированных векторных пространств , представляет собой формальный ряд

$HS_{S}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }HF_{S}(n)t^{n}.$

Если S порождается h однородными элементами положительных степеней $d_{1},\ldots ,d_{h}$, то сумма ряда Гильберта является рациональной дробью

$HS_{S}(t)={\frac {Q(t)}{\prod _{i=1}^{h}\left(1-t^{d_{i}}\right)}},$

где Q — многочлен с целыми коэффициентами.

Если S порождается элементами степени 1, то сумму ряда Гильберта можно переписать как

$HS_{S}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{\delta }}},$

где P — многочлен с целыми коэффициентами, а $\delta$ является Крулля размерностью S .

В этом случае разложение этой рациональной дроби в ряд равно

$HS_{S}(t)=P(t)\left(1+\delta t+\cdots +{\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}t^{n}+\cdots \right)$

где

${\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}={\frac {(n+\delta -1)(n+\delta -2)\cdots (n+1)}{(\delta -1)!}}$

- биномиальный коэффициент для $n>-\delta ,$ и равно 0 в противном случае.

Если

$P(t)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}t^{i},$

коэффициент $t^{n}$ в $HS_{S}(t)$ таким образом

$HF_{S}(n)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}{\binom {n-i+\delta -1}{\delta -1}}.$

Для $n\geq i-\delta +1,$ член индекса i в этой сумме является многочленом от n степени $\delta -1$ с ведущим коэффициентом $a_{i}/(\delta -1)!.$ Это показывает, что существует единственный полином $HP_{S}(n)$ с рациональными коэффициентами, равными $HF_{S}(n)$достаточно большой . Этот многочлен является многочленом Гильберта и имеет вид

$HP_{S}(n)={\frac {P(1)}{(\delta -1)!}}n^{\delta -1}+{\text{ terms of lower degree in }}n.$

Наименьшее n ₀ такое, что $HP_{S}(n)=HF_{S}(n)$при n ≥ n0 _{Гильберта} называется регулярностью . Оно может быть ниже, чем $\deg P-\delta +1$.

Полином Гильберта является числовым многочленом , поскольку размерности являются целыми числами, но полином почти никогда не имеет целых коэффициентов ( Schenck 2003 , стр. 41).

Все эти определения могут быть распространены на конечно порожденные градуированные модули над S с той лишь разницей, что фактор t ^м появляется в ряду Гильберта, где m — минимальная степень образующих модуля, которая может быть отрицательной.

Функция Гильберта , ряд Гильберта и полином Гильберта фильтрованной алгебры являются функциями соответствующей градуированной алгебры.

Полином Гильберта проективного многообразия V в P ^н определяется как полином Гильберта однородного координатного V кольца .

алгебра и

Кольца многочленов и их факторы по однородным идеалам являются типичными градуированными алгебрами. Обратно, если S — градуированная алгебра, порожденная над полем K n определяет однородными элементами g ₁ , ..., g _n степени 1, то отображение, переводящее X _i в g _i, гомоморфизм градуированных колец из $R_{n}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$на С. ​ Его ядром является однородный идеал I , и это определяет изоморфизм градуированной алгебры между $R_{n}/I$ и С. ​

Таким образом, градуированные алгебры, порожденные элементами степени 1, в точности с точностью до изоморфизма являются факторами колец многочленов по однородным идеалам. Поэтому оставшаяся часть этой статьи будет ограничена факторами колец многочленов по идеалам.

Свойства ряда Гильберта

Аддитивность

Ряды Гильберта и полином Гильберта аддитивны относительно точных последовательностей . Точнее, если

$0\;\rightarrow \;A\;\rightarrow \;B\;\rightarrow \;C\;\rightarrow \;0$

представляет собой точную последовательность градуированных или фильтрованных модулей, то мы имеем

$HS_{B}=HS_{A}+HS_{C}$

и

$HP_{B}=HP_{A}+HP_{C}.$

Это непосредственно следует из того же свойства размерности векторных пространств.

Частное по ненулевому делителю

Пусть A — градуированная алгебра и f — однородный элемент степени d в A , не являющийся делителем нуля . Тогда у нас есть

$HS_{A/(f)}(t)=(1-t^{d})\,HS_{A}(t)\,.$

Это следует из аддитивности на точной последовательности

$0\;\rightarrow \;A^{[d]}\;{\xrightarrow {f}}\;A\;\rightarrow \;A/f\rightarrow \;0\,,$

где стрелка с надписью f — это умножение на f , а $A^{[d]}$ — это градуированный модуль, который получается из A путем сдвига степеней на d , чтобы умножение на f имело степень 0. Это означает, что $HS_{A^{[d]}}(t)=t^{d}\,HS_{A}(t)\,.$

полиномов

Ряд Гильберта кольца полиномов $R_{n}=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ в $n$ неопределенное это

$HS_{R_{n}}(t)={\frac {1}{(1-t)^{n}}}\,.$

Отсюда следует, что полином Гильберта

$HP_{R_{n}}(k)={{k+n-1} \choose {n-1}}={\frac {(k+1)\cdots (k+n-1)}{(n-1)!}}\,.$

Доказательство того, что ряд Гильберта имеет эту простую форму, получается рекурсивным применением предыдущей формулы для фактора по делителю, отличному от нуля (здесь $x_{n}$) и отметив, что $HS_{K}(t)=1\,.$

ряда Гильберта

Градуированная алгебра A , порожденная однородными элементами степени 1, имеет размерность Крулля нулевую, если максимальный однородный идеал, т. е. идеал, порожденный однородными элементами степени 1, нильпотентен . Это означает, что размерность A как K -векторного пространства конечна, а ряд Гильберта A представляет собой полином P ( t ) такой, что P (1) равен размерности A как K -векторного пространства.

Если размерность Крулля A положительна, существует однородный элемент f первой степени, который не является делителем нуля (фактически почти все элементы первой степени обладают этим свойством). Размерность Крулля A / (f) равна размерности Крулля A минус один.

Аддитивность рядов Гильберта показывает, что $HS_{A/(f)}(t)=(1-t)\,HS_{A}(t)$. Повторяя это число раз, равное размерности Крулля A , мы в конечном итоге получаем алгебру размерности 0, ряд Гильберта которой является многочленом P ( t ) . Это показывает, что ряд Гильберта A равен

$HS_{A}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{d}}}$

где многочлен P ( t ) таков, что P (1) ≠ 0 , а d - размерность Крулла A .

Из этой формулы для ряда Гильберта следует, что степень многочлена Гильберта равна d и что его старший коэффициент равен ${\frac {P(1)}{d!}}$.

Степень проективного многообразия

Ряд Гильберта позволяет нам вычислить степень алгебраического многообразия как значение числителя ряда Гильберта в единице. Это также дает довольно простое доказательство теоремы Безу .

Чтобы показать связь между степенью проективного алгебраического множества и рядом Гильберта, рассмотрим проективное алгебраическое множество V , определенное как множество нулей однородного идеала. $I\subset k[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]$, где k — поле, и пусть $R=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I$ — кольцо регулярных функций на алгебраическом множестве.

В этом параграфе не нужны ни неприводимость алгебраических множеств, ни простота идеалов. Кроме того, поскольку ряды Гильберта не изменяются при расширении поля коэффициентов, поле k без ограничения общности предполагается алгебраически замкнутым.

Размерность d V V равна размерности Крулла минус одна из R , а степень V - это количество точек пересечения, подсчитанных с кратностью, с пересечением $d$гиперплоскости в общем положении . Отсюда следует существование в R последовательности регулярной $h_{0},\ldots ,h_{d}$из d + 1 однородных многочленов первой степени. Из определения регулярной последовательности следует существование точных последовательностей.

$0\longrightarrow \left(R/\langle h_{0},\ldots ,h_{k-1}\rangle \right)^{[1]}{\stackrel {h_{k}}{\longrightarrow }}R/\langle h_{1},\ldots ,h_{k-1}\rangle \longrightarrow R/\langle h_{1},\ldots ,h_{k}\rangle \longrightarrow 0,$

для $k=0,\ldots ,d.$ Это означает, что

$HS_{R/\langle h_{0},\ldots ,h_{d-1}\rangle }(t)=(1-t)^{d}\,HS_{R}(t)={\frac {P(t)}{1-t}},$

где $P(t)$ является числителем ряда Гильберта R .

Кольцо $R_{1}=R/\langle h_{0},\ldots ,h_{d-1}\rangle$ имеет размерность Крулля один и является кольцом регулярных функций проективного алгебраического множества. $V_{0}$размерности 0, состоящий из конечного числа точек, которые могут быть кратными. Как $h_{d}$ принадлежит регулярной последовательности, ни одна из этих точек не принадлежит гиперплоскости уравнения $h_{d}=0.$ Дополнением к этой гиперплоскости является аффинное пространство , содержащее $V_{0}.$ Это делает $V_{0}$ аффинное алгебраическое множество , имеющее $R_{0}=R_{1}/\langle h_{d}-1\rangle$как его кольцо регулярных функций. Линейный полином $h_{d}-1$ не является делителем нуля в $R_{1},$ и, таким образом, имеем точную последовательность

$0\longrightarrow R_{1}{\stackrel {h_{d}-1}{\longrightarrow }}R_{1}\longrightarrow R_{0}\longrightarrow 0,$

что подразумевает, что

$HS_{R_{0}}(t)=(1-t)HS_{R_{1}}(t)=P(t).$

Здесь мы используем ряды Гильберта фильтрованных алгебр и тот факт, что ряд Гильберта градуированной алгебры также является ее рядом Гильберта как фильтрованной алгебры.

Таким образом $R_{0}$— артиново кольцо , которое представляет собой k -векторное пространство размерности P (1) , и теорема Йордана–Гельдера может использоваться для доказательства того, что P (1) является степенью алгебраического множества V . Фактически кратность точки — это количество вхождений соответствующего максимального идеала в композиционный ряд .

Для доказательства теоремы Безу можно действовать аналогично. Если $f$ — однородный полином степени $\delta$, который не является делителем нуля в R , точная последовательность

$0\longrightarrow R^{[\delta ]}{\stackrel {f}{\longrightarrow }}R\longrightarrow R/\langle f\rangle \longrightarrow 0,$

показывает, что

$HS_{R/\langle f\rangle }(t)=\left(1-t^{\delta }\right)HS_{R}(t).$

Глядя на числители, это доказывает следующее обобщение теоремы Безу:

Теорема . Если f — однородный многочлен степени $\delta$, который не является делителем нуля в R , то степень пересечения V с гиперповерхностью, определяемой формулой $f$ является произведением степени V на $\delta .$

В более геометрической форме это можно сформулировать так:

Теорема . Если проективная гиперповерхность степени d не содержит ни одной неприводимой компоненты алгебраического множества степени δ , то степень их пересечения равна dδ .

Обычную теорему Безу легко вывести, начав с гиперповерхности и пересекая ее с n - 1 другими гиперповерхностями, одну за другой.

Полное пересечение

Проективное алгебраическое множество является полным пересечением , если его определяющий идеал порождается регулярной последовательностью . В этом случае существует простая явная формула ряда Гильберта.

Позволять $f_{1},\ldots ,f_{k}$ быть k однородными полиномами от $R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$, соответствующих степеней $\delta _{1},\ldots ,\delta _{k}.$ Параметр $R_{i}=R/\langle f_{1},\ldots ,f_{i}\rangle ,$ имеются следующие точные последовательности

$0\;\rightarrow \;R_{i-1}^{[\delta _{i}]}\;{\xrightarrow {f_{i}}}\;R_{i-1}\;\rightarrow \;R_{i}\;\rightarrow \;0\,.$

Таким образом, из аддитивности рядов Гильберта следует

$HS_{R_{i}}(t)=(1-t^{\delta _{i}})HS_{R_{i-1}}(t)\,.$

Простая рекурсия дает

$HS_{R_{k}}(t)={\frac {(1-t^{\delta _{1}})\cdots (1-t^{\delta _{k}})}{(1-t)^{n}}}={\frac {(1+t+\cdots +t^{\delta _{1}})\cdots (1+t+\cdots +t^{\delta _{k}})}{(1-t)^{n-k}}}\,.$

Это показывает, что полное пересечение, определенное регулярной последовательностью k многочленов, имеет коразмерность k и что его степень является произведением степеней многочленов в последовательности.

Связь со свободными разрешениями

Every graded module M over a graded regular ring R has a graded free resolution because of the Hilbert syzygy theorem, meaning there exists an exact sequence

$0\to L_{k}\to \cdots \to L_{1}\to M\to 0,$

where the $L_{i}$ are graded free modules, and the arrows are graded linear maps of degree zero.

The additivity of Hilbert series implies that

$HS_{M}(t)=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}HS_{L_{i}}(t).$

If $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ is a polynomial ring, and if one knows the degrees of the basis elements of the $L_{i},$ then the formulas of the preceding sections allow deducing $HS_{M}(t)$ from $HS_{R}(t)=1/(1-t)^{n}.$ In fact, these formulas imply that, if a graded free module L has a basis of h homogeneous elements of degrees $\delta _{1},\ldots ,\delta _{h},$ then its Hilbert series is

$HS_{L}(t)={\frac {t^{\delta _{1}}+\cdots +t^{\delta _{h}}}{(1-t)^{n}}}.$

These formulas may be viewed as a way for computing Hilbert series. This is rarely the case, as, with the known algorithms, the computation of the Hilbert series and the computation of a free resolution start from the same Gröbner basis, from which the Hilbert series may be directly computed with a computational complexity which is not higher than that the complexity of the computation of the free resolution.

Computation of Hilbert series and Hilbert polynomial

The Hilbert polynomial is easily deducible from the Hilbert series (see above). This section describes how the Hilbert series may be computed in the case of a quotient of a polynomial ring, filtered or graded by the total degree.

Thus let K a field, $R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ be a polynomial ring and I be an ideal in R. Let H be the homogeneous ideal generated by the homogeneous parts of highest degree of the elements of I. If I is homogeneous, then H=I. Finally let B be a Gröbner basis of I for a monomial ordering refining the total degree partial ordering and G the (homogeneous) ideal generated by the leading monomials of the elements of B.

The computation of the Hilbert series is based on the fact that the filtered algebra R/I and the graded algebras R/H and R/G have the same Hilbert series.

Thus the computation of the Hilbert series is reduced, through the computation of a Gröbner basis, to the same problem for an ideal generated by monomials, which is usually much easier than the computation of the Gröbner basis. The computational complexity of the whole computation depends mainly on the regularity, which is the degree of the numerator of the Hilbert series. In fact the Gröbner basis may be computed by linear algebra over the polynomials of degree bounded by the regularity.

The computation of Hilbert series and Hilbert polynomials are available in most computer algebra systems. For example in both Maple and Magma these functions are named HilbertSeries and HilbertPolynomial.

Generalization to coherent sheaves

In algebraic geometry, graded rings generated by elements of degree 1 produce projective schemes by Proj construction while finitely generated graded modules correspond to coherent sheaves. If ${\mathcal {F}}$ is a coherent sheaf over a projective scheme X, we define the Hilbert polynomial of ${\mathcal {F}}$ as a function $p_{\mathcal {F}}(m)=\chi (X,{\mathcal {F}}(m))$, where χ is the Euler characteristic of coherent sheaf, and ${\mathcal {F}}(m)$ a Serre twist. The Euler characteristic in this case is a well-defined number by Grothendieck's finiteness theorem.

This function is indeed a polynomial. For large m it agrees with dim $H^{0}(X,{\mathcal {F}}(m))$ by Serre's vanishing theorem. If M is a finitely generated graded module and ${\tilde {M}}$ the associated coherent sheaf the two definitions of Hilbert polynomial agree.

Graded free resolutions

Since the category of coherent sheaves on a projective variety $X$ is equivalent to the category of graded-modules modulo a finite number of graded-pieces, we can use the results in the previous section to construct Hilbert polynomials of coherent sheaves. For example, a complete intersection $X$ of multi-degree $(d_{1},d_{2})$ has the resolution

$0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{1}-d_{2}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}f_{2}\\-f_{1}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{1})\oplus {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-d_{2}){\xrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}&f_{2}\end{bmatrix}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0$

See also

• Castelnuovo–Mumford regularity
• Hilbert scheme
• Quot scheme

References

• Harris, Joe (1992). Algebraic Geometry, A First Course. Springer Science. ISBN 978-0-387-97716-4.
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 0-387-94268-8, MR 1322960.
• Schenck, Hal (2003), Computational Algebraic Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, CiteSeerX 10.1.1.57.7472, ISBN 978-0-521-53650-9, MR 0011360
• Stanley, Richard (1978), "Hilbert functions of graded algebras", Advances in Mathematics, vol. 28, no. 1, pp. 57–83, doi:10.1016/0001-8708(78)90045-2, MR 0485835.