Целочисленный полином

В математике — целочисленный многочлен (также известный как числовой многочлен ). $P(t)$ представляет собой полином , значение которого $P(n)$ является целым числом для каждого целого числа n . Каждый многочлен с целыми коэффициентами является целочисленным, но обратное неверно. Например, полином

P(t)={\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{2}}t={\frac {1}{2}}t(t+1)

принимает целочисленные значения всякий раз, когда t является целым числом. Это потому, что один из t и $t+1$ должно быть четное число . (Значения, которые принимает этот полином, представляют собой треугольные числа .)

Целочисленные многочлены сами по себе являются объектами изучения в алгебре и часто появляются в алгебраической топологии . ^[1]

Классификация

Класс целочисленных полиномов был полностью описан Джорджем Полиа ( 1915 ). Внутри полиномиального кольца $\mathbb {Q} [t]$ многочленов с рациональными коэффициентами подкольцо целочисленных многочленов является свободной абелевой группой . лежат В основе полиномы

P_{k}(t)=t(t-1)\cdots (t-k+1)/k!

для $k=0,1,2,\dots$ , т. е. биномиальные коэффициенты . Другими словами, каждый целочисленный многочлен можно записать как целочисленную линейную комбинацию биномиальных коэффициентов ровно одним способом. Доказательство проводится методом дискретных рядов Тейлора : биномиальные коэффициенты представляют собой целочисленные полиномы, и наоборот, дискретная разность целочисленного ряда является целочисленным рядом, поэтому дискретный ряд Тейлора целочисленного ряда, порожденного полиномом, имеет целые коэффициенты. (и является конечным рядом).

Фиксированные простые делители

Полиномы с целыми значениями можно эффективно использовать для решения вопросов о фиксированных делителях многочленов. Например, полиномы P с целыми коэффициентами, всегда принимающие четные значения, — это такие полиномы, что $P/2$ имеет целочисленное значение. Они, в свою очередь, являются полиномами, которые могут быть выражены как линейная комбинация с четными целыми коэффициентами биномиальных коэффициентов.

В вопросах теории простых чисел, таких как гипотеза Шинцеля H и гипотеза Бейтмана-Хорна , принципиально важно понять случай, когда P не имеет фиксированного простого делителя (это было названо свойством Буняковского ^{[ нужна ссылка ]}, по Виктору Буняковскому ). Записывая P через биномиальные коэффициенты, мы видим, что наибольший фиксированный простой делитель также является наибольшим простым общим делителем коэффициентов в таком представлении. Таким образом, свойство Буняковского эквивалентно взаимно простым коэффициентам.

Например, пара многочленов $n$ и $n^{2}+2$ нарушает это условие при $p=3$ : для каждого $n$ продукт

n(n^{2}+2)

делится на 3, что следует из представления

n(n^{2}+2)=6{\binom {n}{3}}+6{\binom {n}{2}}+3{\binom {n}{1}}

относительно биномиального базиса, где наибольший общий делитель коэффициентов - следовательно, наибольший фиксированный делитель $n(n^{2}+2)$ — это 3.

Другие кольца

Числовые полиномы могут быть определены для других колец и полей, и в этом случае целочисленные полиномы, указанные выше, называются классическими числовыми полиномами . ^{[ нужна ссылка ]}

Приложения

K -теория BU ( n ) представляет собой числовые (симметричные) полиномы.

Полиномом Гильберта кольца полиномов от k + 1 переменных является числовой многочлен ${\binom {t+k}{k}}$ .

Ссылки

^ Джонсон, Кейт (2014), «Стабильная теория гомотопий, формальные групповые законы и целочисленные полиномы», в Фонтане, Марко; Фриш, Софи; Глаз, Сара (ред.), Коммутативная алгебра: последние достижения в области коммутативных колец, целочисленных полиномов и полиномиальных функций , Springer, стр. 213–224, ISBN 9781493909254 . См., в частности, стр. 213–214.

Алгебра

Каэн, Поль-Жан; Шабер, Жан-Люк (1997), Полиномы с целочисленными значениями , Математические обзоры и монографии, том. 48, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR 1421321
Полиа, Джордж (1915), «О целых функциях», Палермо Ренд. (на немецком языке), 40 : 1–16, ISSN 0009-725X , JFM 45.0655.02.

Алгебраическая топология

Бейкер, Эндрю; Кларк, Фрэнсис; Рэй, Найджел; Шварц, Лайонел (1989), «О куммеровых сравнениях и стабильной гомотопии BU », Труды Американского математического общества , 316 (2): 385–432, doi : 10.2307/2001355 , JSTOR 2001355 , MR 0942424

Экедал, Торстен (2002), «О минимальных моделях в интегральной теории гомотопий» , Гомологии, гомотопии и приложения , 4 (2): 191–218, arXiv : math/0107004 , doi : 10.4310/hha.2002.v4.n2. а9 , МР 1918189 , Збл 1065.55003

Эллиотт, Джесси (2006). «Биномиальные кольца, целочисленные многочлены и λ-кольца». Журнал чистой и прикладной алгебры . 207 (1): 165–185. дои : 10.1016/j.jpaa.2005.09.003 . МР 2244389 .

Хаббак, Джон Р. (1997), «Числовые формы», Журнал Лондонского математического общества , серия 2, 55 (1): 65–75, doi : 10.1112/S0024610796004395 , MR 1423286

Дальнейшее чтение

Наркевич, Владислав (1995). Полиномиальные отображения . Конспект лекций по математике. Том 1600. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 3-540-59435-3 . ISSN 0075-8434 . Збл 0829.11002 .

[1] Джонсон, Кейт (2014), «Стабильная теория гомотопий, формальные групповые законы и целочисленные полиномы», в Фонтане, Марко; Фриш, Софи; Глаз, Сара (ред.), Коммутативная алгебра: последние достижения в области коммутативных колец, целочисленных полиномов и полиномиальных функций , Springer, стр. 213–224, ISBN 9781493909254 . См., в частности, стр. 213–214.

[1]