Рациональное число

«Рациональное» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Rational (значения) .

Рациональные числа $\mathbb {Q}$ включены в действительные числа $\mathbb {R}$, которые входят в состав комплексных чисел $\mathbb {C}$, а рациональные числа включают целые числа $\mathbb {Z}$, которые, в свою очередь, включают натуральные числа $\mathbb {N}$.

В математике рациональное число — это число , которое можно выразить как частное или дробь. ${\tfrac {p}{q}}$ двух целых чисел , числителя p и ненулевого знаменателя q . Например, ${\tfrac {3}{7}}$ является рациональным числом, как и любое целое число (например, $-5={\tfrac {-5}{1}}$). Совокупность всех рациональных чисел , также называемых « рациональными числами ». поле рациональных рассуждений или поле рациональных чисел обычно обозначается жирным шрифтом Q или жирным шрифтом на доске. $\mathbb {Q} .$

Рациональное число – это действительное число . Рациональными действительными числами являются те, десятичное разложение которых либо заканчивается после конечного числа цифр (пример: 3/4 = 0,75 ), либо в конечном итоге начинает повторять одну и ту же конечную последовательность цифр снова и снова (пример: 9/44 = 0,20454545... ). Это утверждение верно не только для системы счисления 10 , но и для любой другой целочисленной системы счисления , например двоичной и шестнадцатеричной (см. раздел Повторение десятичной дроби § Расширение до других систем счисления ).

, Действительное число не являющееся рациональным, называется иррациональным . Иррациональные числа включают квадратный корень из 2 ( ${\sqrt {2}}$), π , e и золотое сечение ( φ ). Поскольку множество рациональных чисел счетно , а множество действительных чисел неисчислимо , почти все действительные числа иррациональны.

Рациональные числа можно формально определить как классы эквивалентности пар целых чисел ( p, q ) с q ≠ 0 , используя отношение эквивалентности, определенное следующим образом:

$(p_{1},q_{1})\sim (p_{2},q_{2})\iff p_{1}q_{2}=p_{2}q_{1}.$

Фракция ${\tfrac {p}{q}}$ затем обозначает класс эквивалентности ( p, q ) .

Рациональные числа вместе со сложением и умножением образуют поле , содержащее целые числа , и содержится в любом поле, содержащем целые числа. Другими словами, поле рациональных чисел является простым полем , и поле имеет нулевую характеристику тогда и только тогда, когда оно содержит рациональные числа в качестве подполя. Конечные расширения ​ $\mathbb {Q}$ называются полями алгебраических чисел , а алгебраическим замыканием $\mathbb {Q}$ — поле алгебраических чисел .

В математическом анализе рациональные числа образуют плотное подмножество действительных чисел. Действительные числа могут быть построены из рациональных чисел путем завершения , используя последовательности Коши , разрезы Дедекинда или бесконечные десятичные дроби (см. Построение действительных чисел ).

Терминология

Термин «рациональный» по отношению к множеству $\mathbb {Q}$ относится к тому факту, что рациональное число представляет собой отношение двух целых чисел. В математике слово «рациональное» часто используется как существительное, сокращающее «рациональное число». Прилагательное рациональное иногда означает, что коэффициенты являются рациональными числами. Например, рациональная точка — это точка с рациональными координатами (т. е. точка, координаты которой являются рациональными числами); — рациональная матрица матрица рациональных чисел; может рациональный многочлен быть многочленом с рациональными коэффициентами, хотя термин «полином над рациональными числами» обычно предпочтительнее, чтобы избежать путаницы между « рациональным выражением » и « рациональной функцией » ( многочлен — это рациональное выражение и определяет рациональную функцию, даже если его коэффициенты не являются рациональными числами). Однако рациональная кривая — это не кривая, определенная над рациональными числами, а кривая, которую можно параметризовать рациональными функциями.

Этимология

Хотя в настоящее время рациональные числа определяются в терминах отношений , термин «рациональный» не является производным от отношения . Напротив, именно отношение происходит от рационального : первое использование отношения в его современном значении было засвидетельствовано в английском языке около 1660 г. тогда как использование рациональных чисел для уточнения чисел появилось почти на столетие раньше, в 1570 году. Это значение слова «рациональный» произошло от математического значения слова «иррациональное» , которое впервые было использовано в 1551 году и использовалось в «переводах Евклида (после его своеобразного использования ἄλογος )».

Эта необычная история возникла из-за того, что древние греки «избежали ереси, запретив себе думать об этих [иррациональных] длинах как о числах». Таким образом, такие длины были иррациональны , в смысле нелогичны , то есть «нельзя говорить о них» ( ἄλογος по-гречески).

Арифметика

См. Также: Дроби (математика) § Арифметика с дробями

Несократимая дробь

Каждое рациональное число можно выразить уникальным образом в виде несократимой дроби. ${\tfrac {a}{b}},$ где a и b — взаимно простые целые числа и b > 0 . Это часто называют канонической формой рационального числа.

Начиная с рационального числа ${\tfrac {a}{b}},$ его каноническую форму можно получить, разделив a и b на их наибольший общий делитель и, если b < 0 , изменив знак полученных числителя и знаменателя.

Встраивание целых чисел

Любое целое число n можно выразить как рациональное число ${\tfrac {n}{1}},$ что является его канонической формой рационального числа.

Равенство

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ тогда и только тогда, когда $ad=bc$

Если обе дроби имеют каноническую форму, то:

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ тогда и только тогда, когда $a=c$ и $b=d$

Заказ

Если оба знаменателя положительны (особенно если обе дроби имеют каноническую форму):

${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$ тогда и только тогда, когда $ad<bc.$

С другой стороны, если любой из знаменателей отрицательный, то каждую дробь с отрицательным знаменателем необходимо сначала преобразовать в эквивалентную форму с положительным знаменателем — изменив знаки как ее числителя, так и знаменателя.

Дополнение

Две фракции складываются следующим образом:

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.$

Если обе дроби находятся в канонической форме, результат будет в канонической форме тогда и только тогда, когда b, d — взаимно простые целые числа .

Вычитание

${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}.$

Если обе дроби находятся в канонической форме, результат будет в канонической форме тогда и только тогда, когда b, d — взаимно простые целые числа .

Умножение

Правило умножения следующее:

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.$

где результатом может быть сокращаемая дробь , даже если обе исходные дроби имеют каноническую форму.

Инверсия

Каждое рациональное число ${\tfrac {a}{b}}$ имеет аддитивную инверсию , часто называемую своей противоположностью ,

$-\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}.$

Если ${\tfrac {a}{b}}$ находится в канонической форме, то же самое верно и для его противоположности.

Ненулевое рациональное число ${\tfrac {a}{b}}$ имеет мультипликативную обратную величину , также называемую обратной ,

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}.$

Если ${\tfrac {a}{b}}$ находится в канонической форме, то канонической формой обратной ему величины является либо ${\tfrac {b}{a}}$ или ${\tfrac {-b}{-a}},$ в зависимости от знака а .

Дивизия

Если b, c, d не равны нулю, правило деления следующее:

${\frac {\,{\dfrac {a}{b}}\,}{\dfrac {c}{d}}}={\frac {ad}{bc}}.$

Таким образом, разделив ${\tfrac {a}{b}}$ к ${\tfrac {c}{d}}$ эквивалентно умножению ${\tfrac {a}{b}}$ образом взаимным ​ ${\tfrac {c}{d}}:$

${\frac {ad}{bc}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}.$

Возведение в степень в целую степень

Если n — целое неотрицательное число, то

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}.$

Результат имеет каноническую форму, если то же самое верно для ${\tfrac {a}{b}}.$ В частности,

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{0}=1.$

Если а ≠ 0 , то

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}={\frac {b^{n}}{a^{n}}}.$

Если ${\tfrac {a}{b}}$ находится в канонической форме, каноническая форма результата равна ${\tfrac {b^{n}}{a^{n}}}$ если a > 0 или n четно. В противном случае каноническая форма результата будет ${\tfrac {-b^{n}}{-a^{n}}}.$

Представление непрерывной дроби

Основная статья: Непрерывная дробь

Конечная цепная дробь — это такое выражение, как

$a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}},$

где n _— целые числа. Каждое рациональное число ${\tfrac {a}{b}}$ можно представить как конечную цепную дробь, коэффициенты которой n _{можно определить ,} применив алгоритм Евклида к ( a, b ) .

Другие представления

• обыкновенная дробь : ${\tfrac {8}{3}}$
• смешанное число : $2{\tfrac {2}{3}}$
• повторение десятичной дроби с помощью винкулума : $2.{\overline {6}}$
• повторение десятичной дроби с использованием круглых скобок : $2.(6)$
• непрерывная дробь с использованием традиционной типографики: $2+{\tfrac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}}}$
• непрерывная дробь в сокращенном обозначении: $[2;1,2]$
• Египетская фракция : $2+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}$
• разложение по основным степеням : $2^{3}\times 3^{-1}$
• обозначение цитаты : $3'6$

Это разные способы представления одной и той же рациональной ценности.

Формальная конструкция

Диаграмма, показывающая представление эквивалентных классов пар целых чисел.

Рациональные числа могут быть построены как классы эквивалентности упорядоченных пар целых чисел .

Точнее, пусть $(\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\}))$ — набор пар ( m, n ) целых чисел таких n ≠ 0 . Отношение эквивалентности определяется на этом множестве формулой

$(m_{1},n_{1})\sim (m_{2},n_{2})\iff m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.$

Сложение и умножение можно определить по следующим правилам:

$(m_{1},n_{1})+(m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2},n_{1}n_{2}),$

$(m_{1},n_{1})\times (m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}m_{2},n_{1}n_{2}).$

Это отношение эквивалентности является отношением конгруэнтности , что означает, что оно совместимо с определенными выше операциями сложения и умножения; набор рациональных чисел $\mathbb {Q}$ определяется как фактормножество по этому отношению эквивалентности, $(\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \backslash \{0\}))/\sim ,$ оснащен сложением и умножением, вызванным вышеуказанными операциями. (Эта конструкция может быть выполнена с любой целой областью и дает ее поле дробей .)

Класс эквивалентности пары ( m, n ) обозначается ${\tfrac {m}{n}}.$ Две пары ( m ₁ , n ₁ ) и ( m ₂ , n ₂ ) принадлежат одному и тому же классу эквивалентности (т. е. эквивалентны) тогда и только тогда, когда

$m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.$

Это означает, что

${\frac {m_{1}}{n_{1}}}={\frac {m_{2}}{n_{2}}}$

тогда и только тогда, когда

$m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.$

Каждый класс эквивалентности ${\tfrac {m}{n}}$ может быть представлено бесконечным числом пар, поскольку

$\cdots ={\frac {-2m}{-2n}}={\frac {-m}{-n}}={\frac {m}{n}}={\frac {2m}{2n}}=\cdots .$

Каждый класс эквивалентности содержит уникальный канонический представительный элемент . Канонический представитель — это единственная пара ( m, n ) в классе эквивалентности такая, что m и n и взаимно просты n > 0 . Это называется представлением в низших терминах рационального числа.

Целые числа можно рассматривать как рациональные числа, отождествляющие целое число n с рациональным числом. ${\tfrac {n}{1}}.$

Для рациональных чисел можно определить общий порядок , который расширяет естественный порядок целых чисел. У одного есть

${\frac {m_{1}}{n_{1}}}\leq {\frac {m_{2}}{n_{2}}}$

Если

${\begin{aligned}&(n_{1}n_{2}>0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2})\\&\qquad {\text{or}}\\&(n_{1}n_{2}<0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\geq n_{1}m_{2}).\end{aligned}}$

Свойства

Набор $\mathbb {Q}$ всех рациональных чисел вместе с показанными выше операциями сложения и умножения образует поле .

$\mathbb {Q}$ не имеет никакого полевого автоморфизма , кроме единицы. (Полевой автоморфизм должен фиксировать 0 и 1; поскольку он должен фиксировать сумму и разность двух фиксированных элементов, он должен фиксировать каждое целое число; поскольку он должен фиксировать частное двух фиксированных элементов, он должен фиксировать каждое рациональное число и отсюда и тождество.)

$\mathbb {Q}$ — простое поле , то есть поле, не имеющее других подполей, кроме самого себя. Рациональные числа — это наименьшее поле с характеристикой нулевой . Каждое поле нулевой характеристики содержит единственное подполе, изоморфное $\mathbb {Q} .$

В порядке, определенном выше, $\mathbb {Q}$ это упорядоченное поле которое не имеет другого подполя, кроме самого себя, и является наименьшим упорядоченным полем в том смысле, что каждое упорядоченное поле содержит уникальное подполе изоморфное , $\mathbb {Q} .$

$\mathbb {Q}$ — поле дробных чисел целых $\mathbb {Z} .$ Алгебраическое замыкание ​ $\mathbb {Q} ,$ т. е. поле корней рациональных многочленов является полем алгебраических чисел .

Рациональные числа представляют собой плотно упорядоченное множество: между любыми двумя рациональными числами находится еще одно и, следовательно, бесконечно много других. Например, для любых двух дробей таких, что

${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$

(где $b,d$ положительны), мы имеем

${\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}.$

Любое полностью упорядоченное множество, счетное, плотное (в указанном выше смысле) и не имеющее ни наименьшего, ни наибольшего элемента, по порядку изоморфно рациональным числам.

Счётность

Иллюстрация счетности положительных рациональных чисел

Множество всех рациональных чисел счетно , как показано на рисунке справа. Поскольку рациональное число может быть выражено как отношение двух целых чисел, можно присвоить два целых числа любой точке квадратной решетки, как в декартовой системе координат , так что любая точка сетки соответствует рациональному числу. Однако этот метод демонстрирует некоторую избыточность, поскольку одному и тому же рациональному числу будут соответствовать несколько разных точек сетки; на представленном рисунке они выделены красным цветом. Очевидный пример можно увидеть в линии, идущей по диагонали в правый нижний угол; такие отношения всегда будут равны 1, поскольку любое ненулевое число, разделенное само на себя, всегда будет равно единице.

Можно сгенерировать все рациональные числа без такой избыточности: примеры включают дерево Калкина-Уилфа и дерево Штерна-Броко .

Поскольку множество всех рациональных чисел счетно, а множество всех действительных чисел (как и множество иррациональных чисел) несчетно, то множество рациональных чисел представляет собой нулевое множество , то есть почти все действительные числа иррациональны, в смысле меры Лебега .

числа и

Рациональные числа представляют собой плотное подмножество действительных чисел ; каждое действительное число имеет сколь угодно близкие к нему рациональные числа. Связанное с этим свойство состоит в том, что рациональные числа — единственные числа, которые имеют конечные разложения в виде регулярных цепных дробей .

В обычной топологии действительных чисел рациональные числа не являются ни открытым , ни закрытым множеством .

В силу своего порядка рациональные числа несут топологию порядка . Рациональные числа, как подпространство действительных чисел, также имеют топологию подпространства . Рациональные числа образуют метрическое пространство , используя абсолютной разности . метрику $d(x,y)=|x-y|,$ и это дает третью топологию на $\mathbb {Q} .$ Все три топологии совпадают и превращают рациональные числа в топологическое поле . Рациональные числа являются важным примером пространства, которое не является локально компактным . Рациональные числа топологически характеризуются как единственное счетное метризуемое пространство без изолированных точек . Пространство также полностью отключено . Рациональные числа не образуют полного метрического пространства , а действительные числа являются завершением $\mathbb {Q}$ по метрике $d(x,y)=|x-y|$ выше.

p -адические числа

Основная статья: p -адическое число

Помимо упомянутого выше показателя абсолютного значения, существуют и другие показатели, которые $\mathbb {Q}$ в топологическое поле:

Пусть p — простое число и для любого ненулевого целого числа a пусть $|a|_{p}=p_{-n},$ где р ^н — высшая степень числа p, делящая a .

Дополнительно установлен $|0|_{p}=0.$ Для любого рационального числа ${\frac {a}{b}},$ мы устанавливаем

$\left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}.$

Затем

$d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}$

определяет метрику на $\mathbb {Q} .$

Метрическое пространство $(\mathbb {Q} ,d_{p})$ не является полным, и его завершением является поле p -адического числа $\mathbb {Q} _{p}.$ Теорема Островского утверждает, что любое нетривиальное абсолютное значение рациональных чисел $\mathbb {Q}$ эквивалентно либо обычному вещественному абсолютному значению, либо p -адическому абсолютному значению.

См. также

• Диадический рациональный
• Плавающая точка
• Фордовые круги
• Гауссово рациональное
• Наивная высота - высота рационального числа в наименьшем члене.
• Теорема Нивена
• Рациональный тип данных
• Божественные пропорции: от рациональной тригонометрии к универсальной геометрии

Системы счисления Сложный $:\;\mathbb {C}$ Настоящий $:\;\mathbb {R}$ Рациональный $:\;\mathbb {Q}$ Целое число $:\;\mathbb {Z}$ Естественный $:\;\mathbb {N}$ Ноль : 0 Один : 1 Простые числа Составные числа Отрицательные целые числа Фракция Конечная десятичная дробь Диадический (конечный бинарный) Повторяющаяся десятичная дробь иррациональный Алгебраическая иррациональность трансцендентный Воображаемый

Внешние ссылки

• «Рациональное число» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Рациональное число» из MathWorld – веб-ресурса Wolfram