Двенадцатый корень из двух

Октавы (12 полутонов) увеличиваются экспоненциально при измерении по линейной шкале частот (Гц).

Октавы расположены на одинаковом расстоянии друг от друга при измерении в логарифмическом масштабе (центах).

Двенадцатый корень из двух или ${\sqrt[{12}]{2}}$ (или эквивалентно $2^{1/12}$ ) — алгебраическое иррациональное число , примерно равное 1,0594631. Это наиболее важно в западной теории музыки , где оно представляет собой ( частот музыкальный интервал ) полутона соотношение ( Play ^ⓘ) в двенадцатитоновой равной темперации . Впервые это число было предложено применительно к музыкальной настройке в шестнадцатом и семнадцатом веках. Он позволяет измерять и сравнивать разные интервалы (соотношения частот), состоящие из разных чисел одного интервала, равного темперированного полутона (например, малая терция - 3 полутона, большая терция - 4 полутона, а чистая квинта - 7 полутонов). ). ^[а] Сам полутон делится на 100 центов (1 цент = ${\sqrt[{1200}]{2}}=2^{1/1200}$ ).

Числовое значение [ править ]

Корень двенадцатой степени из двух до 20 значащих цифр равен 1,059 463 094 359 295 2646 . ^[2] Аппроксимации дробей в порядке возрастания точности включают: 18 / 17 , 89 / 84 , 196 / 185 , 1657/1564 и 18904 / 17843 .

Равнотемперированная хроматическая гамма [ править ]

Музыкальный интервал — это соотношение частот, а равнотемперированная хроматическая гамма делит октаву (соотношение которой составляет 2:1) на двенадцать равных частей. Каждая нота имеет частоту, равную 2 ^{1 ⁄ 12} раз больше, чем тот, что под ним. ^[3]

Последовательное применение этого значения к тонам хроматической гаммы, начиная с A выше среднего C (известного как A ₄ ) с частотой 440 Гц, дает следующую последовательность тонов :

Примечание	Название(а) стандартного интервала относительно А 440	Частота (Гц)	Множитель	Коэффициент (на шесть мест)	Просто интонация соотношение
А	Унисон	440.00	2 ^{0 ⁄ 12}	1.000 000	1
A ♯ /B ♭	Минорная секунда/Полутон/Полутон	466.16	2 ^{1 ⁄ 12}	1.059 463	≈ 16 ⁄ 15
Б	Мажорная секунда/Полный шаг/Целый тон	493.88	2 ^{2 ⁄ 12}	1.122 462	≈ 9 ⁄ 8
С	Малая треть	523.25	2 ^{3 ⁄ 12}	1.189 207	≈ 6 ⁄ 5
C ♯ /D ♭	Основная треть	554.37	2 ^{4 ⁄ 12}	1.259 921	≈ 5 ⁄ 4
Д	Идеальная четвертая	587.33	2 ^{5 ⁄ 12}	1.334 839	≈ 4 ⁄ 3
D ♯ /E ♭	Увеличенная четвертая/Уменьшенная пятая/Тритон	622.25	2 ^{6 ⁄ 12}	1.414 213	≈ 7 ⁄ 5
И	Идеальная пятая часть	659.26	2 ^{7 ⁄ 12}	1.498 307	≈ 3 ⁄ 2
Ф	Малая шестая	698.46	2 ^{8 ⁄ 12}	1.587 401	≈ 8 ⁄ 5
F ♯ /G ♭	Майор шестой	739.99	2 ^{9 ⁄ 12}	1.681 792	≈ 5 ⁄ 3
г	Минорная седьмая	783.99	2 ^{10 ⁄ 12}	1.781 797	≈ 16 ⁄ 9
G ♯ /A ♭	Майор седьмой	830.61	2 ^{11 ⁄ 12}	1.887 748	≈ 15 ⁄ 8
А	Октава	880.00	2 ^{12 ⁄ 12}	2.000 000	2

Конечная ля (ля ₅ : 880 Гц) ровно в два раза превышает частоту нижней ля (ля ₄ : 440 Гц), то есть на одну октаву выше.

Другие шкалы настройки [ править ]

Другие шкалы настройки используют немного другие соотношения интервалов:

Справедливая совершенная квинта равна 3/2, а разница между или пифагорейская равномерной совершенной квинтой и справедливой - это град , двенадцатый корень пифагорейской запятой ( ¹²√ 531441/524288 ).
В равнотемперированной шкале Болена – Пирса используется интервал корня тринадцатой степени из трех ( ¹³√ 3 ).
В «Исследовании Штокхаузена II» (1954) используется корень двадцать пятой степени из пяти ( ²⁵√ 5 ), составная мажорная терция, разделенная на части 5×5.
Дельта -шкала основана на ≈ ⁵⁰√ 3/2 .
Гамма -шкала основана на ≈ ²⁰√ 3/2 .
Бета -шкала основана на ≈ ¹¹√ 3/2 .
Альфа -шкала основана на ≈ ⁹√ 3/2 .

Регулировка шага [ править ]

Так как соотношение частот полутона близко к 106% ( $1.05946\times 100=105.946$ ), увеличение или уменьшение скорости воспроизведения записи на 6% приведет к сдвигу высоты звука вверх или вниз примерно на один полутон или «полушаг». Высококлассные катушечные магнитные магнитофоны обычно имеют регулировку высоты звука до ±6%, что обычно используется для согласования высоты воспроизведения или записи с другими музыкальными источниками, имеющими немного другие настройки (или, возможно, записанными на оборудовании, которое не работало на достаточной скорости). правильная скорость). Современные студии звукозаписи используют цифровое смещение высоты тона для достижения аналогичных результатов в диапазоне от центов до нескольких полутонов. Регулировки с катушки на катушку также влияют на темп записываемого звука, в то время как цифровое смещение — нет.

История [ править ]

Исторически это число было впервые предложено применительно к музыкальной настройке в 1580 году (набросано, переписано в 1610 году) Саймоном Стевином . ^[4] В 1581 году итальянский музыкант Винченцо Галилей, возможно, стал первым европейцем, предложившим двенадцатитоновую равнотемперированную систему. ^[1] Корень двенадцатой степени из двух был впервые вычислен в 1584 году китайским математиком и музыкантом Чжу Цзайюем с помощью счетов, позволяющих точно получить двадцать четыре десятичных знака. ^[1] вычислено около 1605 года фламандским математиком Саймоном Стевином . ^[1] в 1636 году французским математиком Марином Мерсенном и в 1691 году немецким музыкантом Андреасом Веркмайстером . ^[5]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ «Наименьший интервал в равнотемперированной шкале - это соотношение $r^{n}=p$ , так $r={\sqrt[{n}]{p}}$ , где отношение r делит отношение p (= 2/1 в октаве) на n равных частей». ^[1]

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Джозеф, Джордж Гевергезе (2010). Герб павлина : неевропейские корни математики , стр.294-5. Третье издание. Принстон. ISBN 9781400836369 .
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A010774 (десятичное представление корня 12-й степени из 2)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ «Равный темперамент | Определение и факты | Британика» . www.britanica.com . Проверено 3 июня 2024 г.
^ Кристенсен, Томас (2002), Кембриджская история теории западной музыки , стр. 205 , ISBN 978-0521686983
^ Гудрич, Л. Кэррингтон (2013). Краткая история китайского народа , ^{[без страниц]}. Курьер. ISBN 9780486169231 . Цитирует: Чу Цай-юй (1584). Новые замечания по изучению резонансных трубок .

Дальнейшее чтение [ править ]

Барбур, Дж. М. (1933). «Китайское приближение числа $π$ в шестнадцатом веке ». Американский математический ежемесячник . 40 (2): 69–73. дои : 10.2307/2300937 . JSTOR 2300937 .
Эллис, Александр ; Гельмгольц, Герман (1954). Об ощущениях тона . Дуврские публикации. ISBN 0-486-60753-4 .
Партч, Гарри (1974). Генезис музыки . Да Капо Пресс. ISBN 0-306-80106-Х .

[2] «Наименьший интервал в равнотемперированной шкале - это соотношение $r^{n}=p$ , так $r={\sqrt[{n}]{p}}$ , где отношение r делит отношение p (= 2/1 в октаве) на n равных частей». ^[1]

[Crest-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Джозеф, Джордж Гевергезе (2010). Герб павлина : неевропейские корни математики , стр.294-5. Третье издание. Принстон. ISBN 9781400836369 .

[3] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A010774 (десятичное представление корня 12-й степени из 2)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[4] «Равный темперамент | Определение и факты | Британика» . www.britanica.com . Проверено 3 июня 2024 г.

[5] Кристенсен, Томас (2002), Кембриджская история теории западной музыки , стр. 205 , ISBN 978-0521686983

[6] Гудрич, Л. Кэррингтон (2013). Краткая история китайского народа , ^{[без страниц]}. Курьер. ISBN 9780486169231 . Цитирует: Чу Цай-юй (1584). Новые замечания по изучению резонансных трубок .

[а]

[2]

[3]

[4]

[1]

[5]