Пифагорова запятая

Пифагорова запятая (531441:524288) на C

${ \magnifyStaff #3/2 \omit Score.TimeSignature \relative c' <c! \tweak Accidental.stencil #ly:text-interface::print \tweak Accidental.text \markup { \concat { \lower #1 "+++" \sharp}} bis>1}$

Пифагорова запятая на букве C в обозначениях Бена Джонстона . Нота, изображенная на нотоносце как нижняя (B ♯ +++ ), немного выше по высоте (чем C ♮ ).

В музыкальной настройке пифагорейская запятая (или дитоническая запятая) ^[а]), названный в честь древнего математика и философа Пифагора , представляет собой небольшой интервал (или запятую ), существующий в пифагорейской настройке между двумя энгармонически эквивалентными нотами, такими как C и B ♯ или D ♭ и C ♯ . ^[1] Он равен отношению частот (1.5) ¹²⁄ 2 ⁷ = 531441/524288 . 1,01364 ≈ , или около 23,46 цента , примерно четверть полутона ( между 75:74 и 74:73) ^[2]). Запятая, которую часто «смягчают» музыкальные темпераменты, — это пифагорейская запятая. ^[3]

Пифагорову запятую можно также определить как разницу между пифагорейским апотомом и пифагорейской лиммой. ^[4] (т. е. между хроматическим и диатоническим полутоном , как определено в настройке Пифагора); разница между 12 просто идеальными квинтами и семью октавами ; или разница между тремя пифагорейскими дитонами и одной октавой (вот почему пифагорейскую запятую еще называют дитонической запятой ).

Уменьшенная секунда в пифагорейской настройке определяется как разница между лиммой и апотомом. Таким образом, она совпадает с противоположностью пифагорейской запятой и может рассматриваться как нисходящая пифагорейская запятая (например, от C ♯ до D ♭ ), равная примерно -23,46 цента.

Вывод

Как описано во введении, запятая Пифагора может быть образована несколькими способами:

Разница между двумя энгармонически эквивалентными нотами пифагорейской гаммы, такими как C и B ♯ или D ♭ и C ♯ (см. ниже ).
Разница между пифагорейским апотомом и пифагорейской лиммой .
Разница между 12 просто идеальными квинтами и семью октавами .
Разница между тремя пифагорейскими дитонами ( большими терциями ) и одной октавой.

Просто идеальная квинта имеет соотношение частот 3:2. Он используется в пифагорейской настройке вместе с октавой в качестве критерия для определения относительно данной начальной ноты частоты любой другой ноты.

Апотом и лимма — это два типа полутонов, определенные в пифагорейской настройке. А именно, апотом (около 113,69 цента, например, от C до C ♯ ) представляет собой хроматический полутон, или расширенный унисон (A1), тогда как лимма (около 90,23 цента, например, от C до D ♭ ) представляет собой диатонический полутон, или минор. второй (м2).

Дитон (или мажорная терция ) — это интервал, образованный двумя мажорными тонами . В пифагорейской настройке мажорный тон имеет размер около 203,9 цента (отношение частот 9:8), таким образом, пифагорейский дитон составляет около 407,8 цента.

Октавы (7 × 1200 = 8400) в сравнении с квинтами (12 × 701,96 = 8423,52), изображенные в виде палочек Кюизенера (красный (2) используется для 1200, черный (7) используется для 701,96).

Октавы (1 × 1200 = 1200) в сравнении с дитонами (3 × 407,82 = 1223,46), изображенные в виде палочек Кюизенера (красный (2) используется для 1200, пурпурный (4) используется для 407,82).

Размер

Размер запятой Пифагора, измеряемый в центах , равен

{\hbox{apotome}}-{\hbox{limma}}\approx 113.69-90.23\approx 23.46~{\hbox{cents}}\!

или, точнее, с точки зрения отношений частот :

{\frac {\hbox{apotome}}{\hbox{limma}}}={\frac {3^{7}/2^{11}}{2^{8}/3^{5}}}={\frac {3^{12}}{2^{19}}}={\frac {531441}{524288}}=1.0136432647705078125\!

Квинтовый круг и энгармонические изменения

$\new PianoStaff \with {\override StaffGrouper.staff-staff-spacing.basic-distance = #15 \omit TimeSignature }<< \new Staff \with{ \magnifyStaff #3/2 } {\relative c'\tweak AccidentalPlacement.positioning-done ##f <\tweak Accidental.stencil #ly:text-interface::print \tweak Accidental.text \markup { \concat { \lower #1 "++" \sharp}} \tweak Случайное.X-смещение #-10,75 fis\tweak Accidental.stencil #ly:text-interface::print \tweak Accidental.text \markup { \concat { \lower #1 "++" \sharp}} \tweak Accidental.X-offset #-6 cis'\tweak Accidental.stencil #ly:text-interface::print \tweak Accidental.text \markup { \concat { \lower #1 "++" \sharp}} \tweak Accidental.X-offset #-10.75 gis'\tweak Accidental.stencil #ly:text-interface::print \tweak Accidental.text \markup { \concat { \lower #1 "++" \sharp}} \tweak Accidental.X-offset #-6 dis'\tweak Accidental.stencil #ly:text-interface::print \tweak Accidental.text \markup { \concat { \lower #1 "+++" \sharp}} \tweak Accidental.X-offset #-14.75 ais'\tweak Accidental.stencil #ly:text-interface::print \tweak Accidental.text \markup { \concat { \lower #1 "+++" \sharp}} \tweak Accidental.X-offset #-8 eis' >1 }\new Staff \with{ \magnifyStaff #3/2 } {\relative c,, {\hide Staff.TimeSignature \clef bass <c g' d'\tweak Accidental.stencil #ly:text-interface::print \tweak Accidental.text \markup {\lower #1 "+" } ais'\tweak Accidental.stencil #ly:text-interface::print \tweak Accidental.text \markup {\lower #1 "+" } eis'\tweak Accidental.stencil #ly:text-interface::print \tweak Accidental.text \markup {\lower #1 "+" } bis'>1 } }>>$

Пифагорова запятая как двенадцать правильно настроенных идеальных квинт в нотации Бена Джонстона.

Пифагорейскую запятую можно также рассматривать как несоответствие между 12 правильно настроенными идеальными квинтами (соотношение 3:2) и семью октавами (соотношение 2:1):

{\frac {\hbox{twelve fifths}}{\hbox{seven octaves}}}=\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{12}\!\!{\Big /}\,2^{7}={\frac {3^{12}}{2^{19}}}={\frac {531441}{524288}}=1.0136432647705078125\!

Восхождение по идеальным квинтам
Примечание	Пятый	Отношение частот	Десятичное соотношение
С	0	1 : 1	1
Г	1	3 : 2	1.5
Д	2	9 : 4	2.25
А	3	27 : 8	3.375
И	4	81 : 16	5.0625
Б	5	243 : 32	7.59375
F ♯	6	729 : 64	11.390625
C ♯	7	2187 : 128	17.0859375
G ♯	8	6561 : 256	25.62890625
D ♯	9	19683 : 512	38.443359375
A ♯	10	59049 : 1024	57.6650390625
E ♯	11	177147 : 2048	86.49755859375
Б ♯ (≈ С)	12	531441 : 4096	129.746337890625

По возрастанию по октавам
Примечание	Октава	Отношение частот
С	0	1 : 1
С	1	2 : 1
С	2	4 : 1
С	3	8 : 1
С	4	16 : 1
С	5	32 : 1
С	6	64 : 1
С	7	128 : 1

В следующей таблице музыкальных гамм в квинтовом круге пифагорейская запятая видна как небольшой интервал между, например, F ♯ и G ♭ . Обход квинтового круга с небольшими интервалами приводит к накачке запятой пифагорейской запятой.

6 ♭ и 6 ♯ Весы ^[я] не идентичны, хотя они есть на клавиатуре фортепиано , но гаммы ♭ на одну пифагорову запятую ниже. Игнорирование этой разницы приводит к энгармоническим изменениям .

^ Шкалы 7 ♭ и 5 ♯ , соответственно 5 ♭ и 7 ♯, различаются одинаково одной пифагорейской запятой. Весы с семью акциденциями используются редко. ^[5] потому что энгармонические шкалы с пятью акциденциями считаются эквивалентными.

Этот интервал имеет серьезные последствия для различных настройки схем хроматической гаммы , поскольку в западной музыке 12 идеальных пятых и семь октав рассматриваются как один и тот же интервал. Равная темперация , сегодня самая распространенная система настройки на Западе, согласовала это, сглаживая каждую пятую на двенадцатую пифагорейской запятой (приблизительно 2 цента), создавая таким образом идеальные октавы.

Другой способ выразить это состоит в том, что только квинта имеет соотношение частот (по сравнению с тоникой) 3:2 или 1,5 к 1, тогда как седьмой полутон (основанный на 12 равных логарифмических делениях октавы) является седьмой степенью октавы. корень двенадцатой степени из двух или 1,4983... до 1, что не совсем то же самое (разница около 0,1%). Возьмите пятую часть в 12-й степени, затем вычтите семь октав, и вы получите пифагорейскую запятую (разница примерно 1,4%).

История

Первым упомянул о пропорции запятой 531441:524288 Евклид , принявший за основу весь тон пифагорейской настройки с соотношением 9:8, октаву с соотношением 2:1 и число А = 262144. Он приходит к выводу, что повышение этого числа на шесть целых тонов дает значение G, которое больше, чем то, которое получается при повышении его на октаву (в два раза А). Он дает G равное 531441. ^[6] Необходимые расчеты гласят:

Расчет G:

262144\cdot \left(\textstyle {\frac {9}{8}}\right)^{6}=531441

Вычисление двойного числа А:

262144\cdot \left(\textstyle {\frac {2}{1}}\right)^{1}=524288

Китайские математики знали о пифагорейской запятой еще в 122 г. до н. э. (ее расчет подробно описан в « Хуайнаньцзы» ), а около 50 г. до н. э. Чинг Фан обнаружил, что если цикл идеальных квинт продолжаться за пределами 12 вплоть до 53, разница между этой 53-й нотой и начальной нотой будет намного меньше пифагорейской запятой. Этот гораздо меньший интервал позже был назван запятой Меркатора ( см.: История 53 равных темпераментов ).

Джорджа Рассела В «Лидийской хроматической концепции тональной организации» (1953) полутон между лидийской тоникой и ♭ 2 в его измененных мажорных и минорных вспомогательных уменьшенных блюзовых гаммах теоретически основан на пифагорейской запятой. ^[7]

См. также

Примечания

^ не путать с диатонической запятой, более известной как синтоническая запятая , равная соотношению частот 81:80, или около 21,51 цента. См.: Джонстон, Бен (2006). «Максимальная ясность» и другие сочинения о музыке под редакцией Боба Гилмора . Урбана: Издательство Университета Иллинойса. ISBN 0-252-03098-2 .

Ссылки

^ Апель, Вилли (1969). Гарвардский музыкальный словарь , стр. 188. ISBN 978-0-674-37501-7 . «...разница между двумя полутонами пифагорейской гаммы...»
^ Гинзбург, Джекутиэль (2003). Математические сочинения , с. 287 ISBN 978-0-7661-3835-3 .
^ Койн, Ричард (2010). Настройка места: социальные пространства и широко распространенные цифровые медиа , с. 45. ISBN 978-0-262-01391-8 .
^ Коттик, Эдвард Л. (1992). Руководство пользователя клавесина , стр. 151. ISBN 0-8078-4388-1 .
^ «Полный обзор композиций с семью случайностями» , Ульрих Рейнхардт
^ Евклид : Katatome kanonos (лат. Sectio canonis ). англ. перевод в: Эндрю Баркер (редактор): Греческие музыкальные сочинения. Том. Т. 2: Гармоническая и акустическая теория , Кембридж, Массачусетс: Издательство Кембриджского университета, 2004, стр. 190–208, здесь: стр. 199.
^ Рассел, Джордж (2001) [1953]. Джорджа Рассела Лидийская хроматическая концепция тональной организации . Том первый: Искусство и наука тональной гравитации (Четвертое (второе издание, исправленное, 2008 г.) изд.). Бруклин, Массачусетс: Издательская компания Concept. стр. 17, 57–59. ISBN 0-9703739-0-2 .

[7] Шкалы 7 ♭ и 5 ♯ , соответственно 5 ♭ и 7 ♯, различаются одинаково одной пифагорейской запятой. Весы с семью акциденциями используются редко. ^[5] потому что энгармонические шкалы с пятью акциденциями считаются эквивалентными.

[1] не путать с диатонической запятой, более известной как синтоническая запятая , равная соотношению частот 81:80, или около 21,51 цента. См.: Джонстон, Бен (2006). «Максимальная ясность» и другие сочинения о музыке под редакцией Боба Гилмора . Урбана: Издательство Университета Иллинойса. ISBN 0-252-03098-2 .

[2] Апель, Вилли (1969). Гарвардский музыкальный словарь , стр. 188. ISBN 978-0-674-37501-7 . «...разница между двумя полутонами пифагорейской гаммы...»

[3] Гинзбург, Джекутиэль (2003). Математические сочинения , с. 287 ISBN 978-0-7661-3835-3 .

[4] Койн, Ричард (2010). Настройка места: социальные пространства и широко распространенные цифровые медиа , с. 45. ISBN 978-0-262-01391-8 .

[5] Коттик, Эдвард Л. (1992). Руководство пользователя клавесина , стр. 151. ISBN 0-8078-4388-1 .

[6] «Полный обзор композиций с семью случайностями» , Ульрих Рейнхардт

[8] Евклид : Katatome kanonos (лат. Sectio canonis ). англ. перевод в: Эндрю Баркер (редактор): Греческие музыкальные сочинения. Том. Т. 2: Гармоническая и акустическая теория , Кембридж, Массачусетс: Издательство Кембриджского университета, 2004, стр. 190–208, здесь: стр. 199.

[9] Рассел, Джордж (2001) [1953]. Джорджа Рассела Лидийская хроматическая концепция тональной организации . Том первый: Искусство и наука тональной гравитации (Четвертое (второе издание, исправленное, 2008 г.) изд.). Бруклин, Массачусетс: Издательская компания Concept. стр. 17, 57–59. ISBN 0-9703739-0-2 .

[а]

[1]

[2]

[3]

[4]

[я]

[5]

[6]

[7]