Интервал Вольфа

Вольф пятый на C

Пифагорейский волк пятый как одиннадцать просто идеальные пятые

В теории музыки волчья квинта (иногда ее еще называют прокрустовой квинтой )или несовершенная пятая ) представляет собой особенно диссонансный музыкальный интервал, охватывающий семь полутонов . Строго говоря, этот термин относится к интервалу, создаваемому определенной системой настройки , широко использовавшейся в шестнадцатом и семнадцатом веках: четверть запятой означала тон темперамента. В более широком смысле, он также используется для обозначения аналогичных интервалов (близких, но переменных величин), создаваемых другими системами настройки, включая пифагорейскую и большинство средних темпераментов .

Когда двенадцать нот в пределах октавы хроматической гаммы настраиваются с использованием системы темперации, состоящей из четверти запятой, один из двенадцати интервалов, по-видимому, охватывающий семь полутонов, на самом деле представляет собой уменьшенную шестую , которая оказывается намного шире, чем стройная. настоящие квинты , В системах среднего тона этот интервал обычно составляет от C ♯ до A ♭ или от G ♯ до E ♭, но его можно перемещать в любом направлении в пользу определенных групп клавиш. Одиннадцать чистых пятых звучат почти идеально созвучно. И наоборот, уменьшенная секста, используемая в качестве замены, сильно диссонирует: она звучит как вой волка из -за явления, называемого биением . Поскольку уменьшенная шестая номинально энгармонически эквивалентна идеальной квинте, но в то же время в тоновом темпераменте энгармонические ноты находятся лишь рядом (в пределах примерно ⁠ 1/4 ​ ⁠ острый или ⁠ 1/4 ⁠ квартира ; ) несогласованность заменяемого интервала называется «волчьей квинтой».

Помимо вышеупомянутой четвертной запятой, означающей тон, другие системы настройки могут давать сильно диссонансные уменьшенные шестые части. И наоборот, в 12-тоновой равнотемперированной системе (12-TET) , которая в настоящее время является наиболее часто используемой системой настройки, уменьшенная шестая не является волчьей квинтой, поскольку она имеет точно такой же размер, как и идеальная квинта.

В более широком смысле, любой интервал, который воспринимается как резко диссонансный и рассматривается как «волчий вой», называется волчьим интервалом . Например, в четверти, означающей запятую, увеличенную секунду , увеличенную третью , увеличенную пятую , уменьшенную четвертую и уменьшенную седьмую можно назвать волчьими интервалами, так как их соотношение частот значительно отклоняется от соотношения соответствующего справедливо настроенного интервала (см. Размер четверти). -запятая означает интервалы ).

Темперамент и волк

Причиной «волчьих» тонов в настройках средних тонов является плохая практика, когда исполнители нажимают клавишу энгармонической ноты вместо ноты, которая не была настроена на клавиатуре; например, нажатие черной клавиши, настроенной на G ♯, когда музыка требует A ♭ . Во всех системах настройки диез и бемоль не эквивалентны; пережиток которого, сохранившийся в современной музыкальной практике, состоит в том, чтобы скрупулезно различать ноты для двух нот одинаковой высоты, одинаковой темперации ( « энгармонические» ) и играемых одной и той же клавишей на одинаково темперированной клавиатуре (например, C ♯ и D ♭ , или E♯ и F ♮ ), несмотря на то, что они одинаковы во всём, кроме теории .

Чтобы замкнуть круг квинт в 12 нотных гаммах, двенадцать квинт должны в среднем составлять 700 центов. Каждая из первых одиннадцати квинт (начиная с квинты ниже тоники : F в тональности C, когда каждая черная клавиша настроена на средний тон диез/ без , субдоминанты бемолей) имеет значение 700 − ε центов , где ε — это небольшое количество центов, на которое расстроены все квинты. В системах настройки среднего темперамента двенадцатая и последняя пятая не существуют в октаве из 12 нот на клавиатуре. На самом деле доступная нота представляет собой уменьшенную шестую часть : интервал составляет 700 + 11 ε центов , и это неправильная означающая одну квинту, которая будет равна 700 − ε центов. Разница в 12 ε центов между доступным шагом и запланированным шагом является источником «волка». Эффект «волка» особенно раздражает при значениях 12 ε центов , приближающихся к 20–25 центам. Упрощенная реакция на проблему такова: « Конечно, это звучит ужасно: ты играешь не ту ноту!»

Поскольку в октаве обычной клавиатуры доступно только 12 нот, при настройке среднего тона всегда должны быть пропущены ноты. Например, один из вариантов настройки инструмента на мелодию для воспроизведения музыки в тональности C ♮ будет выглядеть следующим образом:

А	[нет А ♯ ]	B ♭	Б	[нет Б ♯ и нет С ♭ ]	С	C ♯	[нет Д ♭ ]
Д	[нет Д ♯ ]	E ♭	И	[нет Е ♯ и нет F ♭ ]	Ф	F ♯	[нет G ♭ ]	Г	G ♯   [выберите один из G ♯ или A ♭ ]

этот набор выбранных нот выделен жирным шрифтом, а некоторые пропущенные ноты выделены серым цветом.

Это ограничение набора означало, что ноты, их диез и бемоль, которые можно было настроить на клавиатуре в любой момент, было основной причиной того, что периода барокко исполнители на клавишных и оркестровых арфах были вынуждены перенастраивать свои инструменты в перерывах между выступлениями, чтобы чтобы сделать доступными все случайности, необходимые для следующего музыкального произведения. модулирующую слишком далеко между клавишами, невозможно сыграть на одной клавиатуре или одной арфе, независимо от того Некоторую музыку , как она : , настроена нота ) и до минор которого требуется A ♭ ( для шестой ноты ) невозможно, поскольку каждая из двух означающих нот, G ♯ и A ♭ , требует, чтобы одна и та же струна в каждой октаве инструмента была настроена на разные ноты. смолы.

Для удобства клавишники заменяют неправильный уменьшенный интервал на настоящую квинту (или пренебрегают перенастройкой своего инструмента). Хотя это и недоступно, настоящая квинта среднего тона будет согласной, но в системах настройки среднего тона (где ε не равно нулю) диез любой ноты всегда отличается от бемоль ноты над ней. Для средней клавиатуры, допускающей неограниченную модуляцию, теоретически потребуется бесконечное количество отдельных диезов и бемолей, а затем двойных диезов и двойных бемолей и т. д. На стандартной клавиатуре, имеющей всего 12 нот в октаве, неизбежно должны отсутствовать тональности. Значение ε меняется в зависимости от системы настройки. В других системах настройки (таких как настройка Пифагора и средний тон двенадцатой запятой) каждая из одиннадцати пятых может иметь размер 700 + ε центов, таким образом, уменьшенная шестая часть составляет 700 − 11 ε центов. разница 12 ε Если их очень велика, как в системе настройки с четвертью запятой, уменьшенная шестая используется вместо квинты, ее называют «волчьей квинтой».

С точки зрения частотных соотношений , чтобы замкнуть круг квинт , произведение отношений квинт должно быть 128 (поскольку двенадцать квинт, если они замкнуты в круг, охватывают ровно семь октав; октава равна 2:1 , а 2 ⁷ = 128 ), а если f равен пятой части, то 128: f  ¹¹ , или ж  ¹¹ : 128 , будет размером с волка.

Мы также находим различные настройки для терций: основные терции должны составлять в среднем 400 центов, и на каждую пару третей размером 400 ∓ 4 ε центов у нас есть треть (или уменьшенная кварта) 400 ± 8 ε центов, что приводит к восьми терциям 4. ε центов уже или шире, а четыре уменьшенные четверти на 8 ε центов шире или уже, чем в среднем. Три из этих уменьшенных четвертей образуют мажорные трезвучия с идеальными квинтами, но одна из них образует мажорное трезвучие, заменяющее уменьшенную шестую настоящую квинту. Если уменьшенная шестая является волчьим интервалом, то это трезвучие называется волчьим мажорным трезвучием .

Аналогично мы получаем девять малых третей по 300 ± 3 ε цента и три малых трети (или увеличенные секунды) по 300 ∓ 9 ε центов.

Четверть запятая означает

В четверти запятой имеется в виду соотношение частот для пятой части: ⁴ √ 5 , что примерно на 3,42157 цента более плоское, чем равные 700 центов (или ровно одну двенадцатую диезиса ), и поэтому волк примерно на 737,637 цента, или на 35,682 цента острее, чем идеальная пятая часть соотношения точно 3:2 , и это оригинальный «воющий» волчий пятый.

Плоские малые трети всего примерно на 2,335 цента острее, чем субмалая треть с соотношением 7:6 , а острые мажорные трети с соотношением точно 32:25 более плоские , примерно на 7,712 цента чем супермажорная треть с соотношением 9:7 . Настройка среднего тона с немного более плоскими квинтами дает еще большее приближение к субминорным и супермажорным терциям и соответствующим трезвучиям. Поэтому эти трети вряд ли заслуживают названия волков, и фактически исторически не получали этого имени.

Волчья пятая четверти запятой может быть аппроксимирована 7-предельным интервалом 49:32 , размер которого составляет 737,652 цента.

Пифагорова настройка

В пифагорейской настройке одиннадцать правильно настроенных квинт острее 700 центов примерно на 1,955 цента (или ровно на одну двенадцатую пифагорейской запятой ), и, следовательно, одна пятая будет более лестной в двенадцать раз, что составляет 23,460 цента (одна пифагорейская запятая). более плоский, чем просто пятый. Пятую эту квартиру тоже можно расценить как «воющую по-волчьи». Также теперь есть восемь острых и четыре плоских мажорных трети.

Пятипредельная настройка

Настройка с пятью пределами была разработана для максимизации количества чистых интервалов, но даже в этой системе некоторые интервалы заметно загрязнены. 5-предельная настройка дает гораздо большее количество волчьих интервалов по сравнению с пифагорейской настройкой , которую можно считать 3-предельной просто интонационной настройкой. А именно, если пифагорейский строй определяет только два волчьих интервала (квинту и кварту), то пятипредельные симметричные гаммы дают их 12, а асимметричные — 14. Важно также отметить, что две квинты, три малые терции, и три основные шестые, отмеченные оранжевым цветом в таблицах (соотношения 40:27 , 32:27 и ↓ и A↑), даже 27:16 ; или G↓, E ♭ если они не полностью соответствуют условиям, чтобы быть волком. интервалы отклоняются от соответствующего чистого соотношения на величину (1 синтоническая запятая , т.е. 81:80 , или около 21,5 цента ), достаточно большую, чтобы их можно было явно воспринимать как диссонантные .

Настройка с пятью пределами определяет одну уменьшенную шестую от размера 1024:675 (около 722 центов, т.е. на 20 центов острее, чем идеальная пифагорейская квинта 3:2 ). Следует ли считать этот интервал достаточно диссонансным, чтобы называть его волчьей квинтой, — вопрос спорный.

Настройка с пятью пределами также создает две нечистые идеальные квинты размера 40:27 .Пятилимитная квинта стоит около 680 центов; менее чистый , чем пифагорейский 3:2 и/или просто 701,95500 центов с идеальной пятой. Это не уменьшенные шестые, но по сравнению с пифагорейской совершенной квинтой они менее согласны (примерно на 20 центов более плоские) и, следовательно, их можно считать волчьими квинтами. Соответствующая инверсия представляет собой нечистую чистую кварту размера 27:20 (около 520 центов ). Например, в до мажор диатонической гамме нечистая совершенная квинта возникает между D и A, а ее инверсия возникает между A и D.

Поскольку в этом контексте термин «совершенный» интерпретируется как «совершенно согласный», нечистую совершенную кварту и идеальную квинту иногда называют просто несовершенной квартой и квинтой. Однако широко распространенное стандартное соглашение об именах музыкальных интервалов классифицирует их как идеальные интервалы вместе с октавой и унисоном . Это также верно для любой идеальной кварты или идеальной квинты, которые немного отклоняются от идеально согласных соотношений 4:3 или 3:2 (например, тех, которые настроены с использованием 12 тонов, равных или четверть запятой, означающих тон темперамента). И наоборот, выражения «несовершенная кварта» и «несовершенная квинта» не противоречат стандартному соглашению об именах, когда они относятся к диссонансной увеличенной трети или уменьшенной шестой (например, волчья кварта и квинта в пифагорейской настройке).

«Укрощение волка»

Интервалы Вольфа являются следствием сопоставления двухмерного темперамента с одномерной клавиатурой. Единственное решение — сделать так, чтобы количество измерений совпадало. То есть либо:

• Оставьте (одномерную) клавиатуру фортепиано и переключитесь на одномерную темперацию (например, равнотемперированную ), или

• Сохраняйте двухмерный темперамент и переходите на двухмерную клавиатуру.

Держите клавиатуру фортепиано

Когда идеальная квинта темперируется до ширины ровно 700 центов (то есть, темперируется почти точно ⁠ 1/11 ⁠ точнее или запятой синтонной , ⁠ 1/12 ) , равной ⁠ пифагорейской запятой то настройка идентична ныне стандартной 12-тоновой темперации .

Из-за компромиссов (и волчьих интервалов ), налагаемых на средние тона одномерной клавиатурой в стиле фортепиано, более популярными стали хорошие темперации и, в конечном итоге, 12-тоновая равнотемперированная.

Квинта размера, который предпочитал Моцарт, равного или близкого к 55 квинте равного темперамента в 698,182 цента, будет иметь волка в 720 центов: на 18,045 цента острее, чем правильно настроенная квинта. Это воет куда менее остро, но все же заметно.

Волка можно «приручить», приняв у него ровный или хороший темперамент . Самые смелые могут просто захотеть относиться к этому как ксенгармоническому музыкальному интервалу; в зависимости от размера средней квинты, волчья квинта может быть настроена на более сложные соотношения : 20:13, 26:17, 17:11, 32:21 или 49:32.

Обладая более экстремальным средним темпераментом, например, 19 равного темперамента , волк достаточно велик, поэтому по размеру он ближе к шестой, чем квинтовой, и звучит вообще как другой интервал, а не как неправильно настроенная квинта.

Сохраните двумерную систему настройки

Рисунок 1: Изоморфная клавиатура Вики, изобретенная Каспаром Вики в 1896 году.

Рисунок 2: синтонного темперамента . Континуум настройки

Менее известный альтернативный метод, позволяющий использовать многомерные темпераменты без волчьих интервалов, заключается в использовании двухмерной клавиатуры, « изоморфной » этому темпераменту. Клавиатура и темперамент изоморфны, если они порождены одними и теми же интервалами. Например, клавиатура Вики, показанная на рисунке 1, генерируется теми же музыкальными интервалами, что и синтоническая темперация , то есть октавой и темперированной идеальной квинтой , поэтому они изоморфны.

На изоморфной клавиатуре любой музыкальный интервал имеет одинаковую форму, где бы он ни появлялся — в любой октаве, тональности и настройке — за исключением краев. Например, на клавиатуре Вики из любой ноты нота, которая является темперированной идеальной квинтой выше, всегда находится рядом с данной нотой вверх и вправо. В диапазоне нот этой клавиатуры нет волчьих интервалов. Единственная проблема — на краю, на ноте E ♯ . Нота, которая находится на темперированную идеальную квинту выше, чем E ♯ , — это B ♯ , которая не включена в показанную клавиатуру (хотя ее можно включить в более крупную клавиатуру, расположенную справа от A ♯ , что обеспечивает постоянство ноты клавиатуры). -шаблон). отсутствует Поскольку кнопка B ♯ , при игре E ♯ пауэр-аккорда необходимо выбрать другую ноту, близкую по высоте к B ♯ , например C, чтобы сыграть вместо отсутствующего B ♯ . То есть интервал от E ♯ до C на этой клавиатуре будет «волчьим интервалом». В 19-TET интервал от E ♯ до C ♭ будет (энгармоничным) идеальной квинтой.

Однако такие краевые условия создают волчьи интервалы только в том случае, если изоморфная клавиатура имеет меньше кнопок на октаву, чем настройка имеет энгармонически различные ноты. Например, изоморфная клавиатура на рисунке 2 имеет 19 кнопок на октаву, поэтому указанное выше граничное условие от E ♯ до C не является интервалом волка в 12-TET , 17-TET или 19-TET ; однако это интервал волка в 26-TET, 31-TET и 53-TET . В этих последних настройках использование электронного транспонирования может удерживать ноты текущей клавиши по центру изоморфной клавиатуры, и в этом случае эти волчьи интервалы будут очень редко встречаться в тональной музыке, несмотря на модуляцию экзотических клавиш.

Клавиатура, которая изоморфна синтонической темперации, такая как клавиатура Вики, описанная выше, сохраняет свой изоморфизм при любой настройке в пределах континуума настройки синтонической темперации, даже при динамическом изменении настройки среди таких настроек. Пламондон, Милн и Сетарес (2009), На рисунке 2 показан действительный диапазон настройки синтонной темперамента.