Первичная константа

Не путать с константой простых чисел-близнецов Харди-Литтлвуда или константой простых чисел-близнецов Брюна .

Простая константа – это действительное число $\rho$ чей $n$двоичная цифра равна 1 , если $n$ является простым и 0, если $n$ является составным или 1.

Другими словами, $\rho$ — число, разложение которого соответствует индикаторной функции множества чисел простых двоичное . То есть,

$\rho =\sum _{p}{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}$

где $p$ указывает на простое число и $\chi _{\mathbb {P} }$ – характеристическая функция множества $\mathbb {P}$ простых чисел.

Начало десятичного разложения ρ : $\rho =0.414682509851111660248109622\ldots$ (последовательность A051006 в OEIS )

Начало двоичного расширения: $\rho =0.011010100010100010100010000\ldots _{2}$ (последовательность A010051 в OEIS )

Иррациональность

Число $\rho$ можно показать, что оно иррационально . Чтобы понять почему, предположим, что это было рационально .

Обозначим $k$-я цифра двоичного представления $\rho$ к $r_{k}$. Тогда с тех пор $\rho$ предполагается рациональным, его двоичное разложение в конечном итоге является периодическим, и поэтому существуют положительные целые числа $N$ и $k$ такой, что $r_{n}=r_{n+ik}$ для всех $n>N$ и все $i\in \mathbb {N}$.

Поскольку существует бесконечное количество простых чисел, мы можем выбрать простое число. $p>N$. По определению мы видим, что $r_{p}=1$. Как отмечалось, мы имеем $r_{p}=r_{p+ik}$ для всех $i\in \mathbb {N}$. Теперь рассмотрим случай $i=p$. У нас есть $r_{p+i\cdot k}=r_{p+p\cdot k}=r_{p(k+1)}=0$, с $p(k+1)$ является составным, потому что $k+1\geq 2$. С $r_{p}\neq r_{p(k+1)}$ мы видим это $\rho$ иррационально.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Простая константа» . Математический мир .