Первичная константа

Простая константа – это действительное число $\rho$ чей $n$ двоичная цифра равна 1, если $n$ является простым и 0, если $n$ является составным или 1.

Другими словами, $\rho$ — число, разложение которого соответствует индикаторной функции множества чисел простых двоичное . То есть,

\rho =\sum _{p}{\frac {1}{2^{p}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi _{\mathbb {P} }(n)}{2^{n}}}

где $p$ указывает на простое число и $\chi _{\mathbb {P} }$ – характеристическая функция множества $\mathbb {P}$ простых чисел.

Начало десятичного разложения ρ : $\rho =0.414682509851111660248109622\ldots$ (последовательность A051006 в OEIS )

Начало двоичного расширения: $\rho =0.011010100010100010100010000\ldots _{2}$ (последовательность A010051 в OEIS )

Иррациональность [ править ]

Номер $\rho$ можно показать, что оно иррационально . ^[1] Чтобы понять почему, предположим, что это было рационально .

Обозначим $k$ -я цифра двоичного представления $\rho$ к $r_{k}$ . Тогда с тех пор $\rho$ предполагается рациональным, его двоичное разложение в конечном итоге является периодическим, и поэтому существуют положительные целые числа $N$ и $k$ такой, что $r_{n}=r_{n+ik}$ для всех $n>N$ и все $i\in \mathbb {N}$ .

Поскольку существует бесконечное количество простых чисел, мы можем выбрать простое число. $p>N$ . По определению мы видим, что $r_{p}=1$ . Как отмечалось, мы имеем $r_{p}=r_{p+ik}$ для всех $i\in \mathbb {N}$ . Теперь рассмотрим случай $i=p$ . У нас есть $r_{p+i\cdot k}=r_{p+p\cdot k}=r_{p(k+1)}=0$ , с $p(k+1)$ является составным, потому что $k+1\geq 2$ . С $r_{p}\neq r_{p(k+1)}$ Мы видим, что $\rho$ иррационально.

Ссылки [ править ]

^ Харди, GH (2008). Введение в теорию чисел . Э.М. Райт, доктор Хит-Браун, Джозеф Х. Сильверман (6-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-921985-8 . OCLC 214305907 .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Простая константа» . Математический мир .

[1] Харди, GH (2008). Введение в теорию чисел . Э.М. Райт, доктор Хит-Браун, Джозеф Х. Сильверман (6-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-921985-8 . OCLC 214305907 .

[1]