Шизофренический номер

Шизофреническое число или ложное рациональное число — это иррациональное число , которое отображает определенные характеристики рациональных чисел .

Определение [ править ]

Универсальная книга математики определяет «шизофреническое число» как:

Неофициальное название иррационального числа, которое демонстрирует настолько устойчивые закономерности в десятичном разложении , что выглядит как рациональное число. Шизофренический номер можно получить следующим образом. Для любого положительного целого числа n пусть f ( n ) обозначает целое число, заданное рекуррентностью f ( n ) = 10 f ( n − 1) + n с начальным значением f (0) = 0. Таким образом, f (1) = 1, f (2) = 12, f (3) = 123 и так далее. Квадратные корни из f ( n ) для нечетных целых чисел n порождают любопытную смесь, которая кажется рациональной для периодов, а затем распадается на иррациональность. Это иллюстрируется первыми 500 цифрами √ f (49) :
1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0860
555555555555555555555555555555555555555555555 2730541
66666666666666666666666666666666666666666 0296260347
2222222222222222222222222222222222222 0426563940928819
4444444444444444444444444444444 38775551250401171874
9999999999999999999999999999 808249687711486305338541
66666666666666666666666 5987185738621440638655598958
33333333333333333333 0843460407627608206940277099609374
99999999999999 0642227587555983066639430321587456597
222222222 1863492016791180833081844 ...
Повторяющиеся строки становятся все короче, а зашифрованные строки становятся больше, пока в конечном итоге повторяющиеся строки не исчезнут. Однако, увеличивая n, мы можем предотвратить исчезновение повторяющихся строк столько, сколько захотим. Повторяющиеся цифры всегда 1, 5, 6, 2, 4, 9, 6, 3, 9, 2, ... . ^[1]

Последовательность чисел, порожденная рекуррентным соотношением f ( n ) = 10 f ( n - 1) + n , описанным выше:

0, 1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 1234567900, ... (последовательность A014824 в OEIS ).

ж (49) = 1234567901234567901234567901234567901234567901229

Целые части их квадратных корней,

1, 3, 11, 35, 111, 351, 1111, 3513, 11111, 35136, 111111, 351364, 1111111, ... (последовательность A068995 в OEIS ),

чередовать числа с неправильными цифрами и числами с повторяющимися цифрами, аналогично чередованиям, появляющимся в десятичной части каждого квадратного корня.

Характеристики [ править ]

Показанное выше шизофреническое число является частным случаем более общего явления, возникающего в $b$ -арные разложения квадратных корней решений рекуррентного уравнения $f_{b}(n)=bf_{b}(n-1)+n$ , для всех $b\geq 2$ , с начальным значением $f(0)=0$ взято из нечетных положительных целых чисел $n$ . Дело $b=10$ и $n=49$ соответствует примеру выше.

Действительно, Тот показал, что эти иррациональные числа представляют собой шизофренические паттерны внутри себя. $b$ -арное расширение, ^[2] состоит из блоков, которые начинаются с блока неповторяющихся цифр, за которым следует блок повторяющихся цифр. При сборке в базе $b$ Эти блоки формируют шизофренический паттерн. Например, в системе счисления 8 число ${\textstyle {\sqrt {f_{8}(49)}}}$ начинается:

1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0600
444444444444444444444444444444444444444444444 02144
333333333333333333333333333333333333333333 175124422
666666666666666666666666666666666666666 ....

Эта закономерность обусловлена разложением Тейлора квадратного корня решения рекуррентного уравнения, взятого для нечетных положительных целых чисел. Различные цифры в расширении Тейлора образуют неповторяющиеся и повторяющиеся блоки цифр, которые формируют шизофренический паттерн.

Другая недвижимость [ править ]

В некоторых случаях вместо повторяющихся последовательностей цифр мы обнаруживаем повторяющиеся комбинации цифр . Например, число ${\textstyle {\sqrt {f_{3}(49)}}}$ :

1111111111111111111111111.1111111111111111111111111111111 01200 
202020202020202020202020202020202020202020 11010102 
00120012000012001200120012001200120012 0010
21120020211210002112100021121000211210 ...

показывает повторяющиеся комбинации цифр в базе $3$ .

Числа, имеющие шизофреническое происхождение $b$ тоже шизофреники по своей сути $b^{m}$ , до определенного предела (см. Тот). Примером является ${\textstyle {\sqrt {f_{3}(49)}}}$ выше, который по своей сути все еще шизофреник $9$ :

1444444444444.4444444444 350
666666666666666666666 4112
0505050505050505050 337506
75307530753075307 40552382 ...

История [ править ]

Клиффорд А. Пиковер сказал, что числа шизофреников были открыты Кевином Брауном.

В книге Пиковера « Чудеса чисел» он так описал историю шизофренических чисел:

Построение и открытие шизофренических чисел было вызвано утверждением (размещенным в группе новостей Usenet sci.math) о том, что не следует ожидать, что цифры иррационального числа, выбранного наугад, будут отображать очевидные закономерности в первых 100 цифрах. Говорили, что если бы такая закономерность была найдена, это стало бы неопровержимым доказательством существования либо Бога, либо внеземного разума. (Иррациональное число — это любое число, которое не может быть выражено как отношение двух целых чисел. Трансцендентные числа, такие как $e$ и $π$ , и нецелые числа, такие как квадратный корень из 2, иррациональны.) ^[3]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Дарлинг, Дэвид (2004), Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона , John Wiley & Sons, стр. 12, ISBN 9780471667001
^ Тот, Ласло (2020), «О шизофренических закономерностях в b-арных разложениях некоторых иррациональных чисел», Proceedings of the American Mathematical Society , 148 (1): 461–469, arXiv : 2002.06584 , Bibcode : 2020arXiv200206584T , doi : .1090/ проц/14863 , S2CID 211133029
^ Пиковер, Клиффорд А. (2003), «Шизофренические числа», Чудеса чисел: приключения в математике, разуме и значении , Oxford University Press, стр. 210–211, ISBN 9780195157994

Внешние ссылки [ править ]

Мок-рациональные числа , К.С. Браун, mathpages.

[1] Дарлинг, Дэвид (2004), Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона , John Wiley & Sons, стр. 12, ISBN 9780471667001

[2] Тот, Ласло (2020), «О шизофренических закономерностях в b-арных разложениях некоторых иррациональных чисел», Proceedings of the American Mathematical Society , 148 (1): 461–469, arXiv : 2002.06584 , Bibcode : 2020arXiv200206584T , doi : .1090/ проц/14863 , S2CID 211133029

[3] Пиковер, Клиффорд А. (2003), «Шизофренические числа», Чудеса чисел: приключения в математике, разуме и значении , Oxford University Press, стр. 210–211, ISBN 9780195157994

[1]

[2]

[3]