Дробная часть

Дробная часть или десятичная часть ^[1] неотрицательного действительного числа $x$ — это превышение целой части этого числа . Последний определяется как наибольшее целое число, не превышающее $,$ называемое полом x $x$ или $\lfloor x\rfloor$ . Тогда дробную часть можно сформулировать как разность :

\operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor ,\;x>0

.

Следовательно, для положительного числа, записанного в обычной позиционной системе счисления (например, двоичной или десятичной ), его дробная часть соответствует цифрам, появляющимся после точки счисления . Результатом является действительное число в полуоткрытом интервале [0, 1).

Для отрицательных чисел

Однако в случае отрицательных чисел существуют различные противоречивые способы распространить на них функцию дробной части: она либо определяется так же, как и для положительных чисел, т.е. $\operatorname {frac} (x)=x-\lfloor x\rfloor$ ( Грэм, Кнут и Паташник 1992 ), ^[2] или как часть числа справа от точки счисления $\operatorname {frac} (x)=|x|-\lfloor |x|\rfloor$ ( Дайнтит 2004 ), ^[3] или нечетной функцией : ^[4]

\operatorname {frac} (x)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor &x\geq 0\\x-\lceil x\rceil &x<0\end{cases}}

с $\lceil x\rceil$ число не меньше $x$ , также называемое потолком x $как наименьшее целое$ . В результате мы можем получить, например, три разных значения дробной части всего лишь одного $x$ : пусть это будет -1,3, его дробная часть будет равна 0,7 по первому определению, 0,3 по второму определению и -0,3. согласно третьему определению, результат которого также можно получить непосредственным путем,

\operatorname {frac} (x)=x-\lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)

.

The $x-\lfloor x\rfloor$ а определения «нечетной функции» допускают уникальное разложение любого действительного числа $x$ на сумму его целой и дробной частей, где «целая часть» относится к $\lfloor x\rfloor$ или $\lfloor |x|\rfloor \cdot \operatorname {sgn}(x)$ соответственно. Эти два определения функции дробной части также обеспечивают идемпотентность .

Дробная часть, определяемая отличием от ⌊ ⌋, обычно обозначается фигурными скобками :

\{x\}:=x-\lfloor x\rfloor .

Отношение к цепным дробям

Каждое действительное число может быть по существу однозначно представлено в виде непрерывной дроби , а именно как сумма его целой части и обратной его дробной части, которая записывается как сумма его целой части и обратной его дробной части, и так далее.

См. также

Ссылки

^ «Десятичная часть» . Оксфордские словари . Архивировано из оригинала 15 февраля 2018 года . Проверено 15 февраля 2018 г.
^ Грэм, Рональд Л .; Кнут, Дональд Э .; Паташник, Орен (1992), Конкретная математика: основа информатики , Аддисон-Уэсли, с. 70, ISBN 0-201-14236-8
^ Дэйнтит, Джон (2004), Компьютерный словарь , Oxford University Press
^ Вайсштейн, Эрик В. «Дробная часть». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram

[1] «Десятичная часть» . Оксфордские словари . Архивировано из оригинала 15 февраля 2018 года . Проверено 15 февраля 2018 г.

[2] Грэм, Рональд Л .; Кнут, Дональд Э .; Паташник, Орен (1992), Конкретная математика: основа информатики , Аддисон-Уэсли, с. 70, ISBN 0-201-14236-8

[3] Дэйнтит, Джон (2004), Компьютерный словарь , Oxford University Press

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Дробная часть». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram

[1]

[2]

[3]

[4]