Значение
Значение [1] (также коэффициент , [1] иногда аргумент , или более двусмысленно мантисса , [2] дробь , [3] [4] [номер 1] или характеристика [5] [2] ) — это первая (левая) часть числа в научной записи или родственных понятиях в представлении с плавающей запятой , состоящая из его значащих цифр . В зависимости от интерпретации показателя степени мантисса может представлять собой целое или дробное число .
Пример [ править ]
Число 123,45 можно представить в виде десятичного числа с плавающей запятой, где число 12345 является мантиссой , а число 10. −2 термин мощности, также называемый характеристиками , [6] [7] [8] где −2 — показатель степени (а 10 — основание). Его значение определяется следующей арифметикой:
- 123.45 = 12345 × 10 −2 .
То же значение также можно представить в экспоненциальной записи с мантиссом 1,2345 в качестве дробного коэффициента и +2 в качестве показателя степени (и 10 в качестве основания):
- 123.45 = 1 . 2345 × 10 +2 .
Шмид, однако, назвал это представление с мантиссой от 1,0 до 10 модифицированной нормализованной формой . [7] [8]
Для базы 2 эта форма 1.xxxx также называется нормализованной мантиссой .
Наконец, значение может быть представлено в формате, заданном стандартом языковой независимой арифметики и несколькими стандартами языков программирования, включая Ada , C , Fortran и Modula-2 , как
- 123.45 = 0 . 12345 × 10 +3 .
Шмид назвал это представление с мантиссой в диапазоне от 0,1 до 1,0 истинной нормализованной формой . [7] [8]
[ править ]
Для нормализованного числа старшая цифра всегда отлична от нуля. При работе в двоичном формате это ограничение однозначно определяет, что эта цифра всегда равна 1. Таким образом, она не сохраняется явно и называется скрытым битом .
Мантисса характеризуется своей шириной в (двоичных) цифрах , и в зависимости от контекста скрытый бит может учитываться или не учитываться при расчете ширины. Например, один и тот же IEEE 754 формат двойной точности обычно описывается как имеющий либо 53-битное мантиссу, включая скрытый бит, либо 52-битное мантиссу, [ нужна ссылка ] исключая скрытый бит. IEEE 754 определяет точность p как количество цифр в мантиссе, включая любой неявный ведущий бит (например, p = 53 для формата двойной точности), таким образом, способом, независимым от кодирования, и термином, выражающим то, что кодируется (то есть мантисса без ведущего бита) является конечным полем мантиссы .
Мантисса с плавающей запятой [ править ]
В 1946 году Артур Бёркс использовал термины «мантисса» и «характеристика» для описания двух частей числа с плавающей запятой ( Бёркс [6] и др. ) по аналогии с распространенными тогда таблицами десятичных логарифмов : характеристикой является целая часть логарифма (т.е. показатель степени), а мантисса — дробная часть. Сегодня это использование остается распространенным среди ученых-компьютерщиков .
Термин мантисса был введен Джорджем Форсайтом и Кливом Молером в 1967 году. [9] [10] [11] [4] и это слово используется в стандарте IEEE [12] как коэффициент перед числом в экспоненциальной записи, обсуждавшимся выше. Дробная часть называется дробью .
Чтобы понять оба термина, обратите внимание, что в двоичном формате 1 + мантисса ≈ мантисса, и соответствие точное при хранении степени двойки. Этот факт позволяет быстро аппроксимировать логарифм по основанию 2, что приводит к алгоритмам, например, для вычисления быстрого квадратного корня и быстрого обратного квадратного корня . Неявная ведущая 1 — это не что иное, как скрытый бит в IEEE 754 с плавающей запятой, а битовое поле, хранящее остаток, является, таким образом, мантиссой .
Однако независимо от того, включена ли неявная 1, это серьезная путаница с обоими терминами, особенно с мантиссой . В соответствии с первоначальным использованием в контексте таблиц журналов, его не должно быть.
Для тех контекстов, где 1 считается включенным, Уильям Кахан , [1] ведущий создатель IEEE 754 и Дональд Э. Кнут , выдающийся программист и автор книги «Искусство компьютерного программирования» , [5] осудить использование мантиссы . Это привело к сокращению использования термина мантисса во всех контекстах. В частности, в действующем стандарте IEEE 754 об этом не упоминается.
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Термин дробь используется в IEEE 754-1985 в другом значении: это дробная часть мантиссы, то есть мантисса без явного или неявного ведущего бита.
Ссылки [ править ]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Кахан, Уильям Мортон (19 апреля 2002 г.). «Имена стандартизированных форматов с плавающей запятой» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 27 декабря 2023 г. Проверено 27 декабря 2023 г.
[…] m — мантисса, или коэффициент, или (ошибочно) мантисса […]
(8 страниц) - ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Гослинг, Джон Б. (1980). «6.1 Обозначение с плавающей запятой / 6.8.5 Экспоненциальное представление». В Самнере, Фрэнк Х. (ред.). Проектирование арифметических единиц для цифровых вычислительных машин . Серия Macmillan Computer Science (1-е изд.). Факультет компьютерных наук Манчестерского университета , Манчестер, Великобритания: The Macmillan Press Ltd. стр. 74, 91, 137–138. ISBN 0-333-26397-9 .
[…] В представлении с плавающей запятой число x представляется двумя числами со знаком m и e, такими что x = m · b и где m — мантисса , e — показатель степени , а b основание — . […] Мантиссу иногда называют характеристикой, и версия показателя степени также имеет это название у некоторых авторов. Остается надеяться, что условия здесь будут однозначными. […] [мы] используем значение [n экспоненты], которое сдвинуто на половину двоичного диапазона числа. […] Эту специальную форму иногда называют смещенной экспонентой , поскольку она представляет собой обычное значение плюс константу. Некоторые авторы называют это характеристикой, но этот термин не следует использовать, поскольку CDC и другие используют этот термин для обозначения мантиссы. Его также называют представлением « избыток - », где, например, - равно 64 для 7-битной экспоненты (2 7−1 = 64). […]
(Примечание. Гослинг вообще не упоминает термин «значащее».) - ^ English Electric KDF9: Высокоскоростная система обработки данных для торговли, промышленности и науки (PDF) (флаер о продукте). Английский электрик . в. 1961. Публикация № DP/103. 096320WP/RP0961. Архивировано (PDF) из оригинала 27 июля 2020 г. Проверено 27 июля 2020 г.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Савард, Джон Дж. Г. (2018) [2005]. «Форматы с плавающей запятой» . четырехблок . Примечание об обозначениях полей. Архивировано из оригинала 3 июля 2018 г. Проверено 16 июля 2018 г.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Кнут, Дональд Э. Искусство компьютерного программирования . Том. 2. п. 214. ИСБН 0-201-89684-2 .
[…] Для этой цели иногда используются и другие названия, особенно «характеристика» и «мантисса»; но было бы злоупотреблением терминологией называть дробную часть мантиссой, поскольку этот термин имеет совершенно иное значение по отношению к логарифмам. Более того, английское слово мантисса означает «бесполезное дополнение». […]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Беркс, Артур Уолтер ; Голдстайн, Герман Х .; фон Нейман, Джон (1963) [1946]. «5.3.». В Таубе, А.Х. (ред.). Предварительное обсуждение логического проекта электронного вычислительного прибора (PDF) (Технический отчет, Институт перспективных исследований, Принстон, Нью-Джерси, США). Собрание сочинений Джона фон Неймана. Том. 5. Нью-Йорк, США: Компания Macmillan . п. 42 . Проверено 7 февраля 2016 г.
[…] Некоторые из цифровых компьютеров, которые будут построены или планируются в этой стране и Англии, будут содержать так называемую « плавающую десятичную точку ». Это механизм выражения каждого слова как характеристики и мантиссы — например, 123,45 будет передаваться в машине как (0,12345,03), где 3 — это показатель степени 10, связанный с числом. […]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Шмид, Герман (1974). Десятичные вычисления (1-е изд.). Бингемтон, Нью-Йорк, США: John Wiley & Sons, Inc. , с. 204 -205. ISBN 0-471-76180-Х . Проверено 3 января 2016 г.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Шмид, Герман (1983) [1974]. Десятичные вычисления (1 (переиздание) изд.). Малабар, Флорида, США: Издательская компания Роберта Э. Кригера. стр. 204–205. ISBN 0-89874-318-4 . Проверено 3 января 2016 г. (Примечание. По крайней мере, некоторые партии этого репринтного издания содержали опечатки с дефектными страницами 115–146.)
- ^ Форсайт, Джордж Элмер ; Молер, Клив Барри (сентябрь 1967 г.). Компьютерное решение линейных алгебраических систем . Автоматические вычисления (1-е изд.). Нью-Джерси, США: Прентис-Холл , Энглвуд Клиффс . ISBN 0-13-165779-8 .
- ^ Стербенс, Пэт Х. (1 мая 1974 г.). Вычисление с плавающей запятой . Серия Прентис-Холла по автоматическим вычислениям (1-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси, США: Прентис Холл . ISBN 0-13-322495-3 .
- ^ Гольдберг, Дэвид (март 1991 г.). «Что должен знать каждый ученый-компьютерщик об арифметике с плавающей запятой» (PDF) . Вычислительные опросы . 23 (1). Исследовательский центр Xerox Пало-Альто (PARC), Пало-Альто, Калифорния, США: Ассоциация вычислительной техники, Inc .: 7. Архивировано (PDF) из оригинала 13 июля 2016 г. Проверено 13 июля 2016 г.
[…] Этот термин был введен Форсайтом и Молером [1967] и обычно заменил старый термин «мантисса» . […]
(Примечание. Более новую отредактированную версию можно найти здесь: [1] ) - ^ 754-2019 — Стандарт IEEE для арифметики с плавающей запятой . ИИЭЭ . 2019. doi : 10.1109/IEESTD.2019.8766229 . ISBN 978-1-5044-5924-2 .