Почти целое число

В развлекательной математике ( почти целое или почти целое ) — это любое число, которое не является целым , но очень близко к единице. Почти целые числа можно считать интересными, когда они возникают в каком-то неожиданном контексте.

Почти целые числа, относящиеся к золотому сечению и числам Фибоначчи.

Некоторые примеры почти целых чисел представляют собой высокие степени золотого сечения. $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618$ , например:

{\begin{aligned}\phi ^{17}&={\frac {3571+1597{\sqrt {5}}}{2}}\approx 3571.00028\\[6pt]\phi ^{18}&=2889+1292{\sqrt {5}}\approx 5777.999827\\[6pt]\phi ^{19}&={\frac {9349+4181{\sqrt {5}}}{2}}\approx 9349.000107\end{aligned}}

Тот факт, что эти степени приближаются к целым числам, не является совпадением, поскольку золотое сечение представляет собой число Писо – Виджаярагхавана .

Отношения чисел Фибоначчи или Люка также могут составлять почти целые числа, например:

${\frac {\operatorname {Fib} (360)}{\operatorname {Fib} (216)}}\approx 1242282009792667284144565908481.999999999999999999999999999999195$
${\frac {\operatorname {Lucas} (361)}{\operatorname {Lucas} (216)}}\approx 2010054515457065378082322433761.000000000000000000000000000000497$

Приведенные выше примеры можно обобщить следующими последовательностями, которые генерируют почти целые числа, приближающиеся к числам Люка с возрастающей точностью:

$a(n)={\frac {\operatorname {Fib} (45\times 2^{n})}{\operatorname {Fib} (27\times 2^{n})}}\approx \operatorname {Lucas} (18\times 2^{n})$
$a(n)={\frac {\operatorname {Lucas} (45\times 2^{n}+1)}{\operatorname {Lucas} (27\times 2^{n})}}\approx \operatorname {Lucas} (18\times 2^{n}+1)$

По мере увеличения n количество последовательных девяток или нулей, начинающихся с десятой позиции a ( n ), приближается к бесконечности.

Почти целые числа, относящиеся к e и $π$

Другие случаи неслучайных почти целых чисел включают три крупнейших числа Хигнера :

$e^{\pi {\sqrt {43}}}\approx 884736743.999777466$
$e^{\pi {\sqrt {67}}}\approx 147197952743.999998662454$
$e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 262537412640768743.99999999999925007$

где несовпадение можно лучше оценить, если выразить его в обычной простой форме: ^[2]

e^{\pi {\sqrt {43}}}=12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-(2.225\ldots )\times 10^{-4}

e^{\pi {\sqrt {67}}}=12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-(1.337\ldots )\times 10^{-6}

e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-(7.499\ldots )\times 10^{-13}

где

21=3\times 7,\quad 231=3\times 7\times 11,\quad 744=24\times 31

а причина квадратов связана с определенным рядом Эйзенштейна . Константа $e^{\pi {\sqrt {163}}}$ иногда называют константой Рамануджана .

Почти целые числа, включающие математические константы $π$ и e, часто озадачивали математиков. Пример: $e^{\pi }-\pi =19.999099979189\ldots$ Объяснение этому, казалось бы, замечательному совпадению было дано А. Доманом в сентябре 2023 года и является результатом суммы, связанной с тэта-функциями Якоби следующим образом: $\sum _{k=1}^{\infty }\left(8\pi k^{2}-2\right)e^{-\pi k^{2}}=1.$ Первое слагаемое доминирует, так как сумма слагаемых для $k\geq 2$ общий $\sim 0.0003436.$ Таким образом, сумму можно сократить до $\left(8\pi -2\right)e^{-\pi }\approx 1,$ где решение для $e^{\pi }$ дает $e^{\pi }\approx 8\pi -2.$ Переписав приближение для $e^{\pi }$ и используя приближение для $7\pi \approx 22$ дает $e^{\pi }\approx \pi +7\pi -2\approx \pi +22-2=\pi +20.$ Таким образом, перестановка членов дает $e^{\pi }-\pi \approx 20.$ По иронии судьбы, грубое приближение для $7\pi$ дает дополнительный порядок точности. ^[1]