е (математическая константа)

Чтобы узнать о других значениях буквы «e», см. e (значения) .

«Число Эйлера» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других числах Эйлера, см. « Список вещей, названных в честь Леонарда Эйлера § Числа» .

число Эйлера
и 2.71828...
Общая информация
Тип	трансцендентный
История
Обнаруженный	1685
К	Джейкоб Бернулли
Первое упоминание	Некоторые вопросы о процентах, а также решение проблемы об азартных играх, предложенной в Еф. Галл. А. 1685 г.
Назван в честь	Леонард Эйлер Джон Нэпьер

График уравнения y = 1/ x . Здесь e — уникальное число больше 1, которое делает заштрихованную область под кривой равной 1.

Число е — это математическая константа, примерно равная 2,71828, которую можно охарактеризовать разными способами. Это основа функции натурального логарифма . Это предел ​ $(1+1/n)^{n}$ поскольку n стремится к бесконечности, это выражение возникает при вычислении сложных процентов . Это значение в единице (естественной) экспоненциальной функции , обычно обозначаемой $e^{x}.$ Это также сумма бесконечного ряда

$$e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .$$

Есть и другие характеристики; см. § Определения и § Представления .

Число e иногда называют числом Эйлера , в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера , хотя это может вызвать путаницу с числами Эйлера или с константой Эйлера , другой константой, обычно обозначаемой $\gamma$. В качестве альтернативы e можно назвать константой Непера в честь Джона Непера . Константу открыл швейцарский математик Якоб Бернулли при изучении сложных процентов.

Число е имеет большое значение в математике. рядом с 0, 1, π и i . Все пять фигурируют в одной формулировке тождества Эйлера. $e^{i\pi }+1=0$ и играют важную и повторяющуюся роль в математике. Как и константа π , e иррациональна трансцендентна , то есть ее нельзя представить в виде отношения целых чисел, и, более того, она , то есть не является корнем какого-либо ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами. До 40 десятичных знаков значение e равно:

2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572...

Определения

Число e является пределом

$$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},$$

выражение, возникающее при вычислении сложных процентов .

Это сумма бесконечного ряда

$$e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .$$

Это единственное положительное число a такое, что график функции y = a ^х имеет наклон 1 в точке x = 0 .

У одного есть

$$e=\exp(1),$$

где $\exp$ (естественная) экспоненциальная функция , уникальная функция, равная собственной производной и удовлетворяющая уравнению $\exp(0)=1.$ Поскольку показательную функцию обычно обозначают как $x\mapsto e^{x},$ у одного есть также

$$e=e^{1}.$$

Логарифм по основанию b можно определить как обратную функцию функции $x\mapsto b^{x}.$ С $b=b^{1},$ у одного есть $\log _{b}b=1.$ Уравнение $e=e^{1}$ следовательно, следует, что e является основанием натурального логарифма.

Число e можно также охарактеризовать через интеграл :

$$\int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}=1.$$

Другие характеристики см. в § Представления .

История

Первые упоминания о константе были опубликованы в 1618 году в таблице приложения к работе по логарифмам Джона Непера . Однако там содержалась не сама константа, а просто список логарифмов по основанию. $e$. Предполагается, что таблицу написал Уильям Отред . В 1661 году Христиан Гюйгенс изучал, как вычислять логарифмы геометрическими методами, и вычислил величину, которая, в ретроспективе, является логарифмом е по основанию 10 , но он не признавал само е как интересующую величину.

Сама константа была введена Якобом Бернулли в 1683 году для решения проблемы непрерывного начисления процентов. В его решении константа e встречается как предел

$$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},$$

где n представляет собой количество интервалов в году, за которые рассчитывается сложный процент (например, $n=12$ при ежемесячном начислении процентов).

Первым символом, использованным для этой константы, была буква b Готфрида Лейбница в письмах Христиану Гюйгенсу в 1690 и 1691 годах.

Леонард Эйлер начал использовать букву е для обозначения константы в 1727 или 1728 году в неопубликованной статье о взрывных силах в пушках. и в письме Кристиану Гольдбаху от 25 ноября 1731 г. Первое появление е Эйлера в печатном издании было в «Механике» (1736 г.). Неизвестно, почему Эйлер выбрал букву е . Хотя некоторые исследователи в последующие годы использовали букву «с» , буква « е» была более распространенной и со временем стала стандартной.

Эйлер доказал, что e есть сумма бесконечного ряда

$$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,$$

где н ! является факториалом n ​ . Эквивалентность двух характеристик с использованием предела и бесконечного ряда может быть доказана с помощью биномиальной теоремы .

Приложения

Сложные проценты

Эффект получения 20% годовых процентов на первоначальные инвестиции в размере 1000 долларов США при различной частоте начисления сложных процентов. Предельная кривая сверху — это график $y=1000e^{0.2t}$, где y — в долларах, t — в годах и 0,2 = 20%.

Якоб Бернулли открыл эту константу в 1683 году, изучая вопрос о сложных процентах :

Счет начинается с 1 доллара США и выплачивает 100 процентов в год. Если проценты зачисляются один раз, в конце года, стоимость счета на конец года составит 2,00 доллара США. Что произойдет, если проценты будут начисляться и начисляться чаще в течение года?

Если проценты начисляются дважды в году, процентная ставка за каждые 6 месяцев составит 50%, поэтому первоначальный 1 доллар умножается на 1,5 дважды, что дает 1,00 доллара США × 1,5. ² = 2,25 доллара США в конце года. Начисление квартальной доходности $1,00 × 1,25 ⁴ = $2,44140625 , а ежемесячная доходность составляет $1,00 × (1 + 1/12) ¹² = $2,613035... . Если существует n интервалов начисления сложных процентов, проценты для каждого интервала будут составлять 100%/ n , а стоимость на конец года будет равна 1,00 доллара США × (1 + 1/ n ). ^н .

Бернулли заметил, что эта последовательность приближается к пределу ( интересующая сила ) с большим n и, следовательно, с меньшими интервалами начисления процентов. Еженедельное начисление сложных процентов ( n = 52 ) дает 2,692596 долларов США..., а дневное начисление процентов ( n = 365 ) дает 2,714567 долларов США ... (примерно на два цента больше). Пределом увеличения n является число, которое стало известно как e . То есть при непрерывном начислении процентов стоимость счета достигнет 2,718281828 долларов США... В более общем смысле, счет, который начинается с 1 доллара США и предлагает годовую процентную ставку R , через t лет принесет доход e ^рт долларов с непрерывным начислением процентов. Здесь R — десятичный эквивалент процентной ставки, выраженной в процентах , поэтому для 5% годовых R = 5/100 = 0,05 .

Испытания Бернулли

Графики вероятности P ненаблюдения 1 независимых событий, каждый из которых имеет вероятность / n после n испытаний Бернулли и 1 − P   vs n ; можно заметить, что по мере увеличения n вероятность того, что 1/ n -случайное событие никогда не появится после n попыток, быстро сходится к 1/ e .

Само число e также имеет приложения в теории вероятностей , причем это не связано явно с экспоненциальным ростом. Предположим, что игрок играет в игровой автомат, выплата которого осуществляется с вероятностью один из n , и играет в него n раз. По мере увеличения n вероятность того, что игрок проиграет все n ставок, приближается к 1/ e . Для n = 20 это уже примерно 1/2,789509....

Это пример судебного процесса по делу Бернулли . Каждый раз, когда игрок играет в игровые автоматы, его составляет один из n шанс на выигрыш . Игра n раз моделируется биномиальным распределением , которое тесно связано с биномиальной теоремой и треугольником Паскаля . Вероятность выиграть k раз из n испытаний равна:

$\Pr[k~\mathrm {wins~of} ~n]={\binom {n}{k}}\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n-k}.$

В частности, вероятность выигрыша ноль раз ( k = 0 ) равна

$\Pr[0~\mathrm {wins~of} ~n]=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

Предел приведенного выше выражения, поскольку n стремится к бесконечности, равен точно 1/ e .

рост

Дополнительная информация: Экспоненциальный рост и Экспоненциальный спад.

Экспоненциальный рост — это процесс, который увеличивает количество с течением времени с постоянно возрастающей скоростью. Это происходит, когда мгновенная скорость изменения (то есть производная ) величины по времени пропорциональна самой величине. Описанная как функция, величина, претерпевающая экспоненциальный рост, является экспоненциальной функцией времени, то есть переменная, представляющая время, является экспонентой (в отличие от других типов роста, таких как квадратичный рост ). Если константа пропорциональности отрицательна, то величина уменьшается с течением времени и вместо этого говорят, что она претерпевает экспоненциальное затухание . Закон экспоненциального роста можно записать в разных, но математически эквивалентных формах, используя другое основание , для которого число e является обычным и удобным выбором:

$$x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }.$$

Здесь, $x_{0}$ обозначает начальное значение величины x , k — константа роста, а $\tau$ раз — это время, за которое величина увеличится в е .

распределение

Основная статья: Нормальное распределение

Нормальное распределение с нулевым средним значением и единичным стандартным отклонением известно как стандартное нормальное распределение . заданная функцией плотности вероятности

$$\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.$$

Ограничение единичного стандартного отклонения (и, следовательно, также единичной дисперсии) приводит к 1/2 кривой в показателе степени и ограничение общей площади единицы под $\phi (x)$ приводит к фактору $\textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}$. Эта функция симметрична относительно x = 0 , где она достигает максимального значения. $\textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}$, и имеет точки перегиба в точке x = ±1 .

Расстройства

Основная статья: Помешательство

Другое применение е , также частично открытое Якобом Бернулли вместе с Пьером Ремоном де Монмором , находится в задаче о расстройствах , также известной как проблема проверки шляпы : n На вечеринку приглашаются гостей, и у дверей все гости проверяют свои шляпы у дворецкого, который, в свою очередь, складывает шляпы в n коробок, на каждой из которых написано имя одного гостя. Но дворецкий не спросил личности гостей и сложил шляпы в коробки, выбранные наугад. Задача де Монмора состоит в том, чтобы найти вероятность того, что ни одна шляпа не окажется в нужной коробке. Эта вероятность, обозначаемая $p_{n}\!$, является:

$p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.$

Когда n стремится к бесконечности, p _n приближается к 1/ e . Более того, количество способов разместить шляпы в коробках так, чтобы ни одна из шляп не оказалась в нужной коробке, равно n !/ e , округленному до ближайшего целого числа, для каждого положительного n .

планирования

Максимальное значение ${\sqrt[{x}]{x}}$ происходит в $x=e$. Эквивалентно, для любого значения базы b > 1 это тот случай, когда максимальное значение $x^{-1}\log _{b}x$ происходит в $x=e$ ( Проблема Штейнера , обсуждаемая ниже ).

Это полезно в задаче о палке длиной L , разбитой на n равных частей. Тогда значение n , которое максимизирует произведение длин, равно либо

$n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor$ или $\left\lceil {\frac {L}{e}}\right\rceil .$

Количество $x^{-1}\log _{b}x$ также является мерой информации , полученной из события, происходящего с вероятностью $1/x$ (примерно $36.8\%$ когда $x=e$), так что, по сути, то же самое оптимальное деление появляется в задачах оптимального планирования, таких как задача о секретаре .

Асимптотика

Число е естественным образом возникает в связи со многими задачами, связанными с асимптотикой . Примером может служить Стирлинга для асимптотики факториала формула , в которой фигурируют оба числа e и π :

$$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$$

Как следствие,

$$e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.$$

Свойства

Исчисление

См. Также: Характеристики показательной функции.

Графики функций x ↦ a ^х показаны для a = 2 (пунктир), a = e (синий) и a = 4 (пунктир). Все они проходят через точку (0,1) , но красная линия (которая имеет наклон 1 ) касается только e ^х там.

Значение функции натурального логарифма для аргумента e , т.е. ln e , равно 1.

Основной мотивацией введения числа е , особенно в исчислении , является выполнение дифференциальных и интегральных исчислений с показательными функциями и логарифмами . Общая показательная функция y = a ^х имеет производную, заданную пределом :

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}$

Предел в скобках справа не зависит от переменной x . Его значение оказывается логарифмом a по основанию e . Таким образом, когда значение a установлено равным e , этот предел равен 1 , и таким образом можно прийти к следующему простому тождеству:

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.$

Следовательно, показательная функция с основанием e особенно подходит для вычислений. Выбор e (в отличие от какого-либо другого числа) в качестве основы показательной функции значительно упрощает вычисления с производными.

Другая мотивация исходит от рассмотрения производной по основанию - логарифма (т. е. log _a x ), для х > 0 :

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}$

где была сделана замена u = h / x . основанию Логарифм а по равен 1, если а равно е . Так символично,

${\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.$

Логарифм с этим специальным основанием называется натуральным логарифмом и обозначается ln ; он хорошо ведет себя при дифференцировании, поскольку не существует неопределенного предела для проведения вычислений.

Таким образом, существует два способа выбора таких специальных чисел a . Один из способов — задать производную показательной функции a ^х равный ​ ^х и решить для . , Другой способ — установить производную логарифма по основанию равной 1 / x и найти a . В каждом случае приходим к удобному выбору базы для проведения вычислений. Оказывается, что эти два решения для a на самом деле одно и то же : число e .

Пять цветных областей имеют одинаковую площадь и определяют единицы гиперболического угла вдоль гиперболы. $xy=1.$

Ряд Тейлора для показательной функции можно вывести из того факта, что показательная функция является собственной производной и равна 1 при оценке в 0:

$$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$$

Параметр $x=1$ восстанавливает определение e как суммы бесконечного ряда.

Функцию натурального логарифма можно определить как интеграл от 1 до $x$ из $1/t$, и тогда показательную функцию можно определить как обратную функцию натурального логарифма. Число e — это значение показательной функции, оцениваемой при $x=1$или, что то же самое, число, натуральный логарифм которого равен 1. Отсюда следует, что e — единственное положительное действительное число такое, что

$$\int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=1.$$

Потому что е ^х — единственная функция ( с точностью до умножения на константу K ), равная своей производной ,

$${\frac {d}{dx}}Ke^{x}=Ke^{x},$$

следовательно, это его собственная первообразная : также и

$$\int Ke^{x}\,dx=Ke^{x}+C.$$

Эквивалентно, семейство функций

$$y(x)=Ke^{x}$$

где K — любое действительное или комплексное число, является полным решением дифференциального уравнения.

$$y'=y.$$

Неравенства

Показательные функции y = 2 ^х и у = 4 ^х пересекают график y = x + 1 соответственно в точках x = 1 и x = -1/2 . Число e является единственной базой такой, что y = e ^х пересекается только в точке x = 0 . Мы можем заключить, что e находится между 2 и 4.

Число e — это уникальное действительное число такое, что

$$\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}$$

для всех положительных x .

Также имеем неравенство

$$e^{x}\geq x+1$$

для всех вещественных x с равенством тогда и только тогда, когда x = 0 . Более того, e — единственное основание экспоненты, для которого выполняется неравенство a ^х ≥ x + 1 справедливо для всех x . Это предельный случай неравенства Бернулли .

Экспоненциальные функции

Глобальный максимум ​ ^х √ x происходит в точке x = e .

Задача Штейнера требует найти глобальный максимум функции.

$$f(x)=x^{\frac {1}{x}}.$$

Этот максимум возникает именно в точке x = e . (Можно проверить, что производная ln f ( x ) равна нулю только для этого значения x .)

Аналогично, x = 1/ e — это место, где происходит глобальный минимум функции

$$f(x)=x^{x}.$$

Бесконечная тетрация

$x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$ или ${^{\infty }}x$

сходится тогда и только тогда, когда x ∈ [(1/ e ) ^и , и ^{1/ и} ] ≈ [0.06599, 1.4447] , показано теоремой Леонарда Эйлера .

Теория чисел

Действительное e иррационально . число Эйлер доказал это, показав, что его простое разложение в цепную дробь не заканчивается. (См. также Фурье доказательство иррациональности e . )

Кроме того, по теореме Линдеманна-Вейерштрасса e является трансцендентным , что означает, что оно не является решением какого-либо ненулевого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами. Это было первое число, трансцендентность которого была доказана, хотя оно не было специально построено для этой цели (сравните с числом Лиувилля ); доказательство было дано Чарльзом Эрмитом в 1873 году.

Предполагается, что e является нормальным , что означает, что когда e выражается в любой базе, возможные цифры в этой базе распределены равномерно (встречаются с равной вероятностью в любой последовательности заданной длины).

В алгебраической геометрии период — это число, которое можно выразить как интеграл от алгебраической функции в алгебраической области . Константа π является периодом, но предполагается, что e таковым не является.

Комплексные числа

Показательная функция e ^х можно записать в виде ряда Тейлора

$$e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.$$

Поскольку этот ряд сходится для каждого комплексного значения x , он обычно используется для расширения определения e. ^х к комплексным числам. Это вместе с рядом Тейлора для sin и cos x позволяет вывести формулу Эйлера :

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$$

которое справедливо для любого комплексного x . Особый случай с x = π — это тождество Эйлера :

$$e^{i\pi }+1=0,$$

который считается образцом математической красоты , поскольку показывает глубокую связь между самыми фундаментальными числами в математике. оно напрямую используется в доказательстве числа π трансцендентности Кроме того , , что подразумевает невозможность квадратуры круга . Более того, из тождества следует, что в главной ветви логарифма

$$\ln(-1)=i\pi .$$

Кроме того, используя законы возведения в степень,

$$(\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos nx+i\sin nx$$

для любого целого числа n , что соответствует формуле Муавра .

Выражения cos x и sin x через показательную функцию можно вывести из ряда Тейлора:

$$\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.$$

Выражение ${\textstyle \cos x+i\sin x}$иногда сокращается как cis( x ) .

Представления

Основная статья: Список представлений e

Число e можно представить по-разному: в виде бесконечного ряда , бесконечного произведения , непрерывной дроби или предела последовательности . Кроме предела и ряда, приведенных выше, существует еще цепная дробь

$e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...],$

что записано, выглядит так

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.$

Следующее бесконечное произведение имеет значение e :

$$e={\frac {2}{1}}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots .$$

в виде рядов, последовательностей, непрерывных дробей и бесконечных произведений множество других представлений e Было доказано .

представления

Помимо точных аналитических выражений для представления e , существуют стохастические методы оценки e . Один из таких подходов начинается с бесконечной последовательности независимых случайных величин X ₁ , X ₂ ..., взятых из равномерного распределения на [0, 1]. Пусть V — наименьшее число n такое, что сумма первых n наблюдений превышает 1:

$V=\min \left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}.$

Тогда ожидаемое значение V V равно e : E( ) = e .

Известные цифры

Количество известных цифр е существенно увеличилось за последние десятилетия. Это связано как с возросшей производительностью компьютеров, так и с усовершенствованием алгоритмов.

Количество известных десятичных цифр e

Дата	Десятичные цифры	Расчет выполнен
1690	1	Джейкоб Бернулли
1714	13	Роджер Коутс
1748	23	Леонард Эйлер
1853	137	Уильям Шэнкс
1871	205	Уильям Шэнкс
1884	346	Дж. Маркус Бурман
1949	2,010	Джон фон Нейман (на ENIAC )
1961	100,265	Дэниел Шэнкс и Джон Ренч
1978	116,000	Стив Возняк об Apple II

Примерно с 2010 года распространение современных высокоскоростных настольных компьютеров позволило любителям вычислять триллионы цифр е за приемлемые промежутки времени. 5 декабря 2020 года был произведен рекордный расчет: e составило 31 415 926 535 897 (приблизительно π × 10 ¹³ ) цифры.

Вычисление цифр

Один из способов вычислить цифры е — использовать ряд

$$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}.$$

Более быстрый метод включает две рекурсивные функции $p(a,b)$ и $q(a,b)$. Функции определяются как

$${\binom {p(a,b)}{q(a,b)}}={\begin{cases}{\binom {1}{b}},&{\text{if }}b=a+1{\text{,}}\\{\binom {p(a,m)q(m,b)+p(m,b)}{q(a,m)q(m,b)}},&{\text{otherwise, where }}m=\lfloor (a+b)/2\rfloor .\end{cases}}$$

Выражение

$$1+{\frac {p(0,n)}{q(0,n)}}$$

дает n- ю частичную сумму приведенного выше ряда. Этот метод использует двоичное разбиение для вычисления e с меньшим количеством однозначных арифметических операций и, таким образом, снижает сложность битов . Сочетание этого с методами умножения целых чисел на основе быстрого преобразования Фурье делает вычисление цифр очень быстрым.

В компьютерной культуре

Во время зарождения интернет-культуры отдельные лица и организации иногда отдавали дань уважения числу е .

В одном из первых примеров учёный-компьютерщик Дональд Кнут позволил номерам версий своей программы Metafont приближаться к e . Версии: 2, 2.7, 2.71, 2.718 и т. д.

В другом случае, IPO подав заявку на Google в 2004 году, вместо типичной круглой суммы денег компания объявила о своем намерении привлечь 2 718 281 828 долларов США , что составляет е миллиардов долларов , округленных до ближайшего доллара.

Google также отвечал за рекламный щит который появился в самом сердце Силиконовой долины , а затем в Кембридже, штат Массачусетс ; Сиэтл, Вашингтон ; и Остин, Техас . Там было написано: «{первое 10-значное простое число, найденное в последовательных цифрах e }.com». Первое десятизначное простое число в e — это 7427466391, которое начинается с 99-й цифры. Решение этой задачи и посещение рекламируемого (ныне несуществующего) сайта привело к еще более сложной задаче, которая заключалась в нахождении пятого члена в последовательности 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Оказалось, что последовательность состояла из 10- Числа цифр, найденные в последовательных цифрах числа e, сумма цифр которых равна 49. Пятый член последовательности — 5966290435, который начинается со 127-й цифры. Решение этой второй проблемы в конечном итоге привело к появлению веб-страницы Google Labs , на которой посетителю предлагалось отправить резюме.

Дальнейшее чтение

• Маор, Эли; е : История числа , ISBN   0-691-05854-7
• Комментарий к примечанию 10 книги Prime Obsession для другого стохастического представления.
• Маккартин, Брайан Дж. (2006). «e: Мастер всего» (PDF) . Математический интеллект . 28 (2): 10–21. дои : 10.1007/bf02987150 . S2CID   123033482 .

Внешние ссылки

• Число e — 1 миллион мест , а NASA.gov — 2 и 5 миллионов мест.
• Электронные приближения – Wolfram MathWorld
• Самое раннее использование символов для констант 13 января 2008 г.
• «История е » , Робин Уилсон из Грешам-колледжа , 28 февраля 2007 г. (доступно для скачивания аудио и видео)
• Электронная поисковая система 2 миллиарда доступных для поиска цифр e , π и √ 2