Роджер Коутс

Роджер Коутс
ФРС
Роджер Коутс ФРС
	Этот бюст был заказан Робертом Смитом и создан посмертно Питером Шимейкером в 1758 году.
Рожденный	10 июля 1682 г. ; Бербедж, Лестершир , Англия
Умер	5 июня 1716 г. ( 33 года) ( ; Кембридж , Кембриджшир , Англия
Альма-матер	Тринити-колледж, Кембридж
Известный	Логарифмическая спираль ; Наименьших квадратов ; Формулы Ньютона–Котеса ; Доказательство формулы Эйлера ; Понятие радиана
	Научная карьера
Поля	Математик
Учреждения	Тринити-колледж, Кембридж
Научные консультанты	Исаак Ньютон ; Ричард Бентли
Известные студенты	Роберт Смит ; Джеймс Джурин ; Стивен Грей

Роджер Коутс, FRS (10 июля 1682 — 5 июня 1716) — английский математик , известный своим тесным сотрудничеством с Исааком Ньютоном, вычиткой второго издания его знаменитой книги « Начала » перед публикацией. Он также изобрел квадратурные формулы, известные как формулы Ньютона-Котеса , и привел геометрический аргумент, который можно интерпретировать как логарифмическую версию формулы Эйлера . ^[4] Он был первым профессором Плюмиана в Кембриджском университете с 1707 года до своей смерти.

Ранняя жизнь [ править ]

Коутс родился в Бербедже, Лестершир . Его родителями были Роберт, ректор Бербеджа, и его жена Грейс, урожденная Фармер. У Роджера был старший брат Энтони (род. 1681) и младшая сестра Сюзанна (род. 1683), оба умерли молодыми. Сначала Роджер посещал Лестерскую школу, где был признан его математический талант. Его тетя Ханна вышла замуж за преподобного Джона Смита, и Смит взял на себя роль наставника, чтобы поощрять талант Роджера. Сын Смитов, Роберт Смит , на протяжении всей своей жизни стал близким соратником Роджера Коутса. Позже Котес учился в школе Святого Павла в Лондоне и поступил в Тринити-колледж в Кембридже . в 1699 году ^[5] Он получил степень бакалавра в 1702 году и степень магистра в 1706 году. ^[2]

Астрономия [ править ]

Вклад Роджера Коутса в современные вычислительные методы в значительной степени лежит в области астрономии и математики. Котес начал свою образовательную карьеру с упором на астрономию . Он стал научным сотрудником Тринити-колледжа в 1707 году, а в 26 лет стал первым плюмианским профессором астрономии и экспериментальной философии. При назначении на должность профессора он открыл список подписок, чтобы предоставить обсерваторию Тринити . К сожалению, на момент смерти Котеса обсерватория так и не была достроена и была снесена в 1797 году. ^[2]

В переписке с Исааком Ньютоном Котес сконструировал гелиостатный телескоп с зеркалом, вращающимся по часовому механизму. ^[6]^[7] Он перерассчитал солнечные и планетарные таблицы Джованни Доменико Кассини и Джона Флемстида и намеревался создать таблицы , Луны движения основанные на принципах Ньютона. ^{[ нужна цитата ]} Наконец, в 1707 году он основал школу физических наук в Тринити в сотрудничестве с Уильямом Уистоном . ^[2]

Принципы [ править ]

Ньютона С 1709 по 1713 год Котес активно участвовал в работе над вторым изданием «Начал» Ньютона , книги, в которой объяснялась теория всемирного тяготения . Первое издание «Начал» было напечатано всего в нескольких экземплярах и нуждалось в доработке, чтобы включить в него работы Ньютона и принципы теории Луны и планет. ^[2] Ньютон поначалу отнесся к пересмотру небрежно, так как практически забросил научную работу. ^{[ нужна цитата ]} Однако благодаря энергичному энтузиазму, проявленному Котесом, научный голод Ньютона вновь разгорелся. ^{[ нужна цитата ]} с половиной года на работу, в которой они полностью вывели из законов движения Ньютона теорию Луны , равноденствий и орбит комет Эти двое потратили почти три . Было напечатано всего 750 экземпляров второго издания. ^[2] хотя пиратские копии из Амстердама также распространялись для удовлетворения спроса на произведение. ^{[ нужна цитата ]} В награду Котсу он получил долю прибыли и 12 собственных экземпляров. ^{[ нужна цитата ]}Первоначальным вкладом Котеса в работу было предисловие, в котором подтверждалось научное превосходство принципов Ньютона над популярной в то время вихревой теорией гравитации, отстаиваемой Рене Декартом . Котс пришел к выводу, что закон тяготения Ньютона был подтвержден наблюдениями небесных явлений, несовместимых с теорией вихрей. ^[2]

Математика [ править ]

Основная оригинальная работа Котса была связана с математикой, особенно в области интегрального исчисления , логарифмов и численного анализа . он опубликовал только одну научную работу За свою жизнь под названием «Логометрия» , в которой успешно построил логарифмическую спираль . ^[8]^[9] После его смерти многие математические статьи Котеса были отредактированы его двоюродным братом Робертом Смитом и опубликованы в книге Harmonia mensurarum . ^[2]^[10] Дополнительные работы Коутса были позже опубликованы в книге Томаса Симпсона « Доктрина и применение флюксий» . ^[8] Хотя стиль Котеса был несколько неясным, его систематический подход к интегрированию и математической теории высоко ценился его коллегами. ^{[ нужна цитата ]} Котс открыл важную теорему о корнях n -й степени из единицы : ^[11] предвидел метод наименьших квадратов , ^[12] и открыл метод интегрирования рациональных дробей с биномиальными знаменателями . ^[8]^[13] Его также хвалили за его усилия в области численных методов, особенно в методах интерполяции и методах построения таблиц. ^[8] Его считали одним из немногих британских математиков, способных следовать мощным работам сэра Исаака Ньютона. ^{[ нужна цитата ]}

и оценка Смерть

Котес умер от сильной лихорадки в Кембридже в 1716 году в возрасте 33 лет. Исаак Ньютон заметил: «Если бы он жил, мы бы что-то знали». ^[2]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Гоуинг 2002, с. 5.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я Корабль (2004)
^ Руснок (2004) « Юрин, Джеймс (род. 1684, ум. 1750) », Оксфордский национальный биографический словарь , Oxford University Press, получено 6 сентября 2007 г. подписка или членство в публичной библиотеке Великобритании ) ( требуется
^
Котес писал: «Ибо, если каждая дуга квадранта круга, описываемая радиусом CE , имеет синус CX и синус дополнения к квадранту XE ; принимая радиус CE в качестве модуля, дуга соотношение будет между $EX+XC{\sqrt {-1}}$ и меры CE , принятые в ${\sqrt {-1}}$ ( Таким образом, если любая дуга квадранта окружности, описываемая радиусом CE , имеет синус CX и синус дополнения к квадранту XE ; принимая радиус CE в качестве модуля, дуга будет мерой отношения между $EX+XC{\sqrt {-1}}$ $EX+XC{\sqrt {-1}}$ & CE , умноженный на ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ .) То есть рассмотрим круг с центром E (в начале плоскости (x, y)) и радиусом CE . Рассмотрим угол θ с вершиной в точке E , имеющий положительную ось x в качестве одной стороны и радиус CE в качестве другой стороны. Перпендикуляр из точки C на окружности к оси X является «синусом» CX ; круга линия между центром E и точкой X у основания перпендикуляра — это XE , которая является «синусом дополнения к квадранту» или «косинусом». Соотношение между $EX+XC{\sqrt {-1}}$ $EX+XC{\sqrt {-1}}$ и CE , таким образом, $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ $\cos \theta + {\sqrt {-1}} \sin \theta \$ . В терминологии Котса «мерой» величины является ее натуральный логарифм, а «модуль» — это коэффициент преобразования, преобразующий меру угла в длину дуги окружности (здесь модуль — это радиус ( CE ) окружности ). По Котесу, произведение модуля и меры (логарифма) отношения, умноженное на ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ , равна длине дуги окружности, опирающейся на θ , которая для любого угла, измеряемого в радианах, равна CE • θ . Таким образом, ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta + {\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ . Это уравнение имеет неправильный знак: коэффициент ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ должно находиться в правой части уравнения, а не в левой. Если это изменение будет сделано, то после деления обеих частей на CE и возведения обеих частей в степень результат будет следующим: $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$ ${\displaystyle\cos\theta+{\sqrt{-1}}\sin\theta=e^{{\sqrt{-1}}\theta}}$ , что является формулой Эйлера.
Видеть:
- Роджер Коутс (1714) «Логометрия», Философские труды Лондонского королевского общества , 29 (338): 5–45; особенно см. стр. 32. Доступно в Интернете по адресу: Hathi Trust.
- Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722 г.), глава: «Логометрия», стр. 28 .
^ «Котес, Роджер (CTS699R)» . База данных выпускников Кембриджа . Кембриджский университет.
^ Эдлстон, Дж., изд. (1850) Переписка сэра Исаака Ньютона и профессора Котса… (Лондон, Англия: Джон В. Паркер), «Письмо XCVIII. Котес Джону Смиту». (10 февраля 1708 г.), стр. 197–200.
^ Кау, Аутар (1 января 2003 г.). "Котес - Исторический анекдот" . mathforcollege.com . Проверено 12 декабря 2017 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д О'Коннор и Робертсон (2005)
^ В «Логометрии » Котес оценил e, основание натуральных логарифмов , с точностью до 12 десятичных знаков. См.: Роджер Коутс (1714) «Логометрия», « Философские труды Лондонского королевского общества» , 29 (338): 5–45; особенно смотрите нижнюю часть страницы 10. Со страницы 10: «Соотношение Porro eadem est inter 2,718281828459 и т. д. и 1,…» (Кроме того, то же самое соотношение находится между 2,718281828459… и 1,…)
^ Harmonia mensurarum содержит главу комментариев Роберта Смита к работе Котеса. приводит значение 1 радиана На странице 95 Смит впервые . См.: Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722 г.), глава: Editoris notæ ad Harmoniam mensurarum, начало страницы 95 . Со страницы 95: После утверждения, что 180 ° соответствует длине π (3,14159…) вдоль единичного круга (т. е. π радиан), Смит пишет: «Unde Modulus Canonis Trigonometrici prodibit 57,2957795130 и т. д.» (Откуда коэффициент преобразования тригонометрических появится мера, 57,2957795130… [градусов на радиан].)
^ Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum ... (Кембридж, Англия: 1722 г.), глава: «Теоремы как логометрические, так и тригонометрические, показывающие потоки данных данных, дополнительно расширенные методом измерений» (Теоремы, некоторые логарифмические, некоторые тригонометрические, дающие потоки данных флюксий развитым далее методом мер), стр. 113-114.
^ Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722), глава: «Aestimatio errorum in mixta mathesis pervaries partium trianguli plani et sphaerici» Harmonia mensurarum…, страницы 1–22, см. особенно стр. 22. Со стр. 22: «Sit p locus Objecti alicujus ex Observatione prima definitus,… ejus loco tutissime haberi potest». (Пусть p — местоположение некоторого объекта, определенное наблюдением, q, r, s — местоположения того же объекта из последующих наблюдений. Пусть также существуют веса P, Q, R, S, обратно пропорциональные смещениям, которые могут возникнуть в результате ошибки в единичных наблюдениях и которые даны из заданных пределов погрешности, а веса P, Q, R, S считаются помещенными в точки p, q, r, s, и находится их центр тяжести Z; : Я говорю, что точка Z является наиболее вероятным местоположением объекта, и ее можно наиболее безопасно принять за его истинное место [Рональд Гоуинг, 1983, стр. 107]).
↑ Котес представил свой метод в письме Уильяму Джонсу от 5 мая 1716 года. Отрывок из письма, в котором обсуждается этот метод, был опубликован в: [Anon.] (1722), Рецензия на книгу: «Отчет о книге с названием: Harmonia Mensurarum ,…», « Философские труды Лондонского королевского общества» , 32 : 139–150; см. стр . 146–148.

Источники [ править ]

[Анон.] «Котес, Роджер» . Британская энциклопедия . Том. 7 (11-е изд.). 1911.
Коэн, И.Б. (1971). Знакомство с «Началами» Ньютона . Гарвард: Издательство Гарвардского университета. ISBN 0-674-46193-2 .
Эдлстон, Дж., изд. (1850). Переписка сэра Исаака Ньютона и профессора Котса . через Интернет-архив
Гоуинг, Р. (2002). Роджер Коутс: натурфилософ . Лондон: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-52649-3 .
Койре, А. (1965). Ньютоновские исследования . Лондон: Чепмен и Холл. стр. 273–82. ISBN 0-412-42300-6 .
Прайс, диджей (1952). «Ранние инструменты обсерватории Тринити-колледжа в Кембридже». Анналы науки . 8 : 1–12. дои : 10.1080/00033795200200012 .
Тернбулл, HW; и другие. (1975–1976). Переписка Исаака Ньютона (изд. в 7 томах). Лондон: Издательство Кембриджского университета. тома 5–6.
Уитмен, А., изд. (1972). «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» Исаака Ньютона: третье издание (1726 г.) с различными прочтениями . Лондон: Издательство Кембриджского университета. стр. 817–26. ISBN 0-521-07960-8 .

Внешние ссылки [ править ]

« Гармония Менсурарум » . Математические страницы . Проверено 7 сентября 2007 г. - Более полный отчет об участии Котса в Principia с последующим еще более тщательным обсуждением его математической работы.
Роджер Коутс в проекте «Математическая генеалогия»
О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Роджер Коутс» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
Мели, Д.Б. (2004) « Котес, Роджер (1682–1716) », Оксфордский национальный биографический словарь , Oxford University Press, получено 7 сентября 2007 г. подписка или членство в публичной библиотеке Великобритании ) ( требуется

[1] Гоуинг 2002, с. 5.

[ODNB-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час ^я Корабль (2004)

[3] Руснок (2004) « Юрин, Джеймс (род. 1684, ум. 1750) », Оксфордский национальный биографический словарь , Oxford University Press, получено 6 сентября 2007 г. подписка или членство в публичной библиотеке Великобритании ) ( требуется

[4] Котес писал: «Ибо, если каждая дуга квадранта круга, описываемая радиусом CE , имеет синус CX и синус дополнения к квадранту XE ; принимая радиус CE в качестве модуля, дуга соотношение будет между $EX+XC{\sqrt {-1}}$ и меры CE , принятые в ${\sqrt {-1}}$ ( Таким образом, если любая дуга квадранта окружности, описываемая радиусом CE , имеет синус CX и синус дополнения к квадранту XE ; принимая радиус CE в качестве модуля, дуга будет мерой отношения между $EX+XC{\sqrt {-1}}$ & CE , умноженный на ${\sqrt {-1}}$ .) То есть рассмотрим круг с центром E (в начале плоскости (x, y)) и радиусом CE . Рассмотрим угол θ с вершиной в точке E , имеющий положительную ось x в качестве одной стороны и радиус CE в качестве другой стороны. Перпендикуляр из точки C на окружности к оси X является «синусом» CX ; круга линия между центром E и точкой X у основания перпендикуляра — это XE , которая является «синусом дополнения к квадранту» или «косинусом». Соотношение между $EX+XC{\sqrt {-1}}$ и CE , таким образом, $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ . В терминологии Котса «мерой» величины является ее натуральный логарифм, а «модуль» — это коэффициент преобразования, преобразующий меру угла в длину дуги окружности (здесь модуль — это радиус ( CE ) окружности ). По Котесу, произведение модуля и меры (логарифма) отношения, умноженное на ${\sqrt {-1}}$ , равна длине дуги окружности, опирающейся на θ , которая для любого угла, измеряемого в радианах, равна CE • θ . Таким образом, ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ . Это уравнение имеет неправильный знак: коэффициент ${\sqrt {-1}}$ должно находиться в правой части уравнения, а не в левой. Если это изменение будет сделано, то после деления обеих частей на CE и возведения обеих частей в степень результат будет следующим: $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$ , что является формулой Эйлера.
Видеть:
Роджер Коутс (1714) «Логометрия», Философские труды Лондонского королевского общества , 29 (338): 5–45; особенно см. стр. 32. Доступно в Интернете по адресу: Hathi Trust.

Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722 г.), глава: «Логометрия», стр. 28 .

[5] Роджер Коутс (1714) «Логометрия», Философские труды Лондонского королевского общества , 29 (338): 5–45; особенно см. стр. 32. Доступно в Интернете по адресу: Hathi Trust.

[6] Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722 г.), глава: «Логометрия», стр. 28 .

[5] «Котес, Роджер (CTS699R)» . База данных выпускников Кембриджа . Кембриджский университет.

[6] Эдлстон, Дж., изд. (1850) Переписка сэра Исаака Ньютона и профессора Котса… (Лондон, Англия: Джон В. Паркер), «Письмо XCVIII. Котес Джону Смиту». (10 февраля 1708 г.), стр. 197–200.

[7] Кау, Аутар (1 января 2003 г.). "Котес - Исторический анекдот" . mathforcollege.com . Проверено 12 декабря 2017 г.

[mactutor-8] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д О'Коннор и Робертсон (2005)

[9] В «Логометрии » Котес оценил e, основание натуральных логарифмов , с точностью до 12 десятичных знаков. См.: Роджер Коутс (1714) «Логометрия», « Философские труды Лондонского королевского общества» , 29 (338): 5–45; особенно смотрите нижнюю часть страницы 10. Со страницы 10: «Соотношение Porro eadem est inter 2,718281828459 и т. д. и 1,…» (Кроме того, то же самое соотношение находится между 2,718281828459… и 1,…)

[10] Harmonia mensurarum содержит главу комментариев Роберта Смита к работе Котеса. приводит значение 1 радиана На странице 95 Смит впервые . См.: Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722 г.), глава: Editoris notæ ad Harmoniam mensurarum, начало страницы 95 . Со страницы 95: После утверждения, что 180 ° соответствует длине π (3,14159…) вдоль единичного круга (т. е. π радиан), Смит пишет: «Unde Modulus Canonis Trigonometrici prodibit 57,2957795130 и т. д.» (Откуда коэффициент преобразования тригонометрических появится мера, 57,2957795130… [градусов на радиан].)

[11] Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum ... (Кембридж, Англия: 1722 г.), глава: «Теоремы как логометрические, так и тригонометрические, показывающие потоки данных данных, дополнительно расширенные методом измерений» (Теоремы, некоторые логарифмические, некоторые тригонометрические, дающие потоки данных флюксий развитым далее методом мер), стр. 113-114.

[12] Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722), глава: «Aestimatio errorum in mixta mathesis pervaries partium trianguli plani et sphaerici» Harmonia mensurarum…, страницы 1–22, см. особенно стр. 22. Со стр. 22: «Sit p locus Objecti alicujus ex Observatione prima definitus,… ejus loco tutissime haberi potest». (Пусть p — местоположение некоторого объекта, определенное наблюдением, q, r, s — местоположения того же объекта из последующих наблюдений. Пусть также существуют веса P, Q, R, S, обратно пропорциональные смещениям, которые могут возникнуть в результате ошибки в единичных наблюдениях и которые даны из заданных пределов погрешности, а веса P, Q, R, S считаются помещенными в точки p, q, r, s, и находится их центр тяжести Z; : Я говорю, что точка Z является наиболее вероятным местоположением объекта, и ее можно наиболее безопасно принять за его истинное место [Рональд Гоуинг, 1983, стр. 107]).

[13] Котес представил свой метод в письме Уильяму Джонсу от 5 мая 1716 года. Отрывок из письма, в котором обсуждается этот метод, был опубликован в: [Anon.] (1722), Рецензия на книгу: «Отчет о книге с названием: Harmonia Mensurarum ,…», « Философские труды Лондонского королевского общества» , 32 : 139–150; см. стр . 146–148.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Базы данных авторитетного контроля
Международный	БЫСТРЫЙ ЯВЛЯЮТСЯ ВИАФ WorldCat
Национальный	Франция Данные БнФ Германия Израиль Бельгия Соединенные Штаты Швеция Чешская Республика Австралия Нидерланды Ватикан
академики	MathSciNet Проект математической генеалогии zbMATH
Люди	Немецкая биография Находка
Другой	ЗАКУСКА ИдРеф