Пляж (математика)

Ветвь для положительного r

Спираль литууса ( / ˈ l ɪ tj u . ə s / ) представляет собой спираль, в которой угол θ обратно пропорционален квадрату радиуса r .

Эта спираль, имеющая две ветви в зависимости от знака r , асимптотична оси x . Его точки перегиба находятся в

$(\theta ,r)=\left({\tfrac {1}{2}},\pm {\sqrt {2k}}\right).$

Кривая была названа в честь древнеримского литууса Роджером Котсом в сборнике статей под названием Harmonia Mensurarum (1722 г.), который был опубликован через шесть лет после его смерти.

Координатные представления

Полярные координаты

Представления спирали литууса в полярных координатах ( r , θ ) даются уравнением

$r={\frac {a}{\sqrt {\theta }}},$

где θ ≥ 0 и k ≠ 0 .

Декартовы координаты

Спираль литууса с полярными координатами r = ⁠ a / √ θ ⁠ можно преобразовать в декартовы координаты , как и любую другую спираль, с помощью соотношений x = r cos θ и y = r sin θ . С помощью этого преобразования мы получаем параметрическое представление кривой:

${\begin{aligned}x&={\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\cos \theta ,\\y&={\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\sin \theta .\\\end{aligned}}$

Эти уравнения, в свою очередь, можно преобразовать в уравнение относительно x и y :

${\frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\right).$

показывать

Вывод уравнения в декартовых координатах

1. Divide $y$ by $x$:${\frac {y}{x}}={\frac {{\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\sin \theta }{{\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\cos \theta }}\Rightarrow {\frac {y}{x}}=\tan \theta .$
2. Solve the equation of the lituus spiral in polar coordinates: $r={\frac {a}{\sqrt {\theta }}}\Leftrightarrow \theta ={\frac {a^{2}}{r^{2}}}.$
3. Substitute $\theta ={\frac {a^{2}}{r^{2}}}$: ${\frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right).$
4. Substitute $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$: ${\frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a^{2}}{\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}}}\right)\Rightarrow {\frac {y}{x}}=\tan \left({\frac {a^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\right).$

Геометрические свойства

Кривизна

Кривизну спирали литууса можно определить по формуле

$\kappa =\left(8\theta ^{2}-2\right)\left({\frac {\theta }{1+4\theta ^{2}}}\right)^{\frac {2}{3}}.$

Длина дуги

В общем, длину дуги спирали Литууса нельзя выразить в виде выражения в замкнутой форме , но длину дуги спирали Литууса можно представить в виде формулы, использующей гипергеометрическую функцию Гаусса :

$L=2{\sqrt {\theta }}\cdot \operatorname {_{2}F_{1}} \left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{4}};{\frac {3}{4}};-{\frac {1}{4\theta ^{2}}}\right)-2{\sqrt {\theta _{0}}}\cdot \operatorname {_{2}F_{1}} \left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{4}};{\frac {3}{4}};-{\frac {1}{4\theta _{0}^{2}}}\right),$

где длина дуги отсчитывается от θ = θ ₀ .

Тангенциальный угол

Тангенциальный угол спирали литууса можно определить по формуле

$\phi =\theta -\arctan 2\theta .$

Внешние ссылки

• «Литуус» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994] .
• Вайсштейн, Эрик В. «Литуус» . Математический мир .
• Интерактивный пример с использованием JSXGraph .
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Литуус» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс .
• https://hsm.stackexchange.com/a/3181 об истории кривой литууса.