Спираль Котса

В физике и математике плоских кривых спираль Котса ( также называемая спиралью Котса и спиралью Котса ) является одной из семейства спиралей, классифицированных Роджером Котсом .

Описание

Котес представляет свой анализ этих кривых следующим образом: «Различные типы траекторий, по которым тела могут двигаться под действием центростремительных сил, предлагается перечислить в обратном отношении кубов их расстояний, исходящих из данного места, при заданной скорости и направления». (Примечание: он не описывает их как спирали).

Спирали Котса, соответствующие k , равному 2/3 (красный), 1,0 (черный), 1,5 (зеленый), 3,0 (голубой) и 6,0 (синий).

Форма спиралей в семействе зависит от параметров. Кривые в полярных координатах , ( r , θ ), r > 0 определяются одним из следующих пяти уравнений:

${\frac {1}{r}}={\begin{cases}A\cosh(k\theta +\varepsilon )\\A\exp(k\theta +\varepsilon )\\A\sinh(k\theta +\varepsilon )\\A(k\theta +\varepsilon )\\A\cos(k\theta +\varepsilon )\\\end{cases}}$

A > 0, k > 0 и ε — произвольные константы действительных чисел . A определяет размер, k определяет форму, а ε определяет угловое положение спирали.

Котес называл различные формы «случаями». Уравнения кривых выше соответствуют пяти его случаям соответственно.

На диаграмме показаны типичные примеры различных кривых. Центр отмечен буквой «O», а радиус от O до кривой показан, когда θ равен нулю. Значение ε равно нулю, если не указано иное.

Первая и третья формы — это спирали Пуансо ; вторая — равноугольная спираль ; четвертая — гиперболическая спираль ; пятый – эписпиральный .

Для получения дополнительной информации об их свойствах следует обратиться к отдельным кривым.

Классическая механика

Спирали Котса появляются в классической механике как семейство решений для движения частицы, движущейся под действием центральной силы обратного куба . Рассмотрим центральную силу

${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}})=-{\frac {\mu }{r^{3}}}{\hat {\boldsymbol {r}}},$

где μ — сила притяжения. Рассмотрим частицу, движущуюся под действием центральной силы, и пусть h — ее удельный угловой момент , тогда частица движется по спирали Котса с постоянной k спирали, определяемой выражением

$k={\sqrt {1-{\frac {\mu }{h^{2}}}}}$

когда µ < h ² ( косинусоидальная форма спирали), или

$k={\sqrt {{\frac {\mu }{h^{2}}}-1}}$

когда µ > h ² , Пуансо-форма спирали. Когда µ = h ² , частица движется по гиперболической спирали. Вывод можно найти в ссылках.

История

В Harmonia Mensurarum (1722) Роджер Котес проанализировал ряд спиралей и других кривых, таких как Lituus . Он описал возможные траектории частицы в центральном силовом поле обратного куба, представляющем собой спирали Котса. Анализ основан на методе из книги «Принципы» 1, предложение 42, где путь тела определяется под действием произвольной центральной силы, начальной скорости и направления.

В зависимости от начальной скорости и направления он определяет, что существует 5 различных «случаев» (исключая тривиальные — круг и прямую, проходящую через центр).

Он отмечает, что из пяти «первый и последний описаны Ньютоном посредством квадратуры (т.е. интегрирования) гиперболы и эллипса».

Случай 2 — это равноугольная спираль, которая является спиралью по преимуществу . Это имеет большое историческое значение, поскольку в предложении 9 книги «Начала» 1 Ньютон доказывает, что если тело движется по равноугольной спирали под действием центральной силы, эта сила должна быть обратна кубу радиуса (даже перед его доказательством в предложении 11, что движение по эллипсу, направленному к фокусу, требует силы, обратной квадрату).

Приходится признать, что не все кривые соответствуют обычному определению спирали. Например, когда сила обратного куба является центробежной (направленной наружу), так что ц < 0, кривая даже не поворачивается ни разу вокруг центра. Это представлено случаем 5, первым из полярных уравнений, показанных выше, в этом случае k > 1.

Сэмюэл Эрншоу в книге, опубликованной в 1826 году, использовал термин «спирали Котса», поэтому эта терминология была в ходу в то время. Эрншоу ясно описывает 5 случаев Котса и без необходимости добавляет 6-й, когда сила является центробежной (отталкивающей). Как отмечалось выше, Котес включил это в случай 5.

Вслед за Э. Т. Уиттакером , чей «Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел» (впервые опубликованный в 1904 году) перечислил только три спирали Котса, некоторые последующие авторы последовали этому примеру.

См. также

• Спираль Архимеда - Спираль на постоянном расстоянии от себя.
• Теорема Бертрана - Физическая теорема
• Гиперболическая спираль - Спираль, асимптотическая прямой.
• Теорема Ньютона о вращающихся орбитах - Теорема классической механики.

Библиография

• Уиттакер, ET (1927). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел с введением в проблему трех тел (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. стр. 80–83.
• Роджер Коутс (1722) Гармония месяцев , стр. 31, 98
• Исаак Ньютон (1687) Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , Книга I, §2, Предложение 9, и §8, Предложение 42, Следствие 3, и §9, Предложение 43, Следствие 6.
• Дэнби ​​Дж. М. (1988). «Случай ƒ( r ) = µ / r  ³ - Спираль Котса (§4.7)». Основы небесной механики (2-е изд., Переработанное изд.). Ричмонд, Вирджиния: Willmann-Bell. стр. 69–71. ISBN  978-0-943396-20-0 .
• Саймон КР (1971). Механика (3-е изд.). Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. п. 154. ИСБН  978-0-201-07392-8 .
• Сэмюэл Эрншоу (1832). Динамика, или элементарный трактат о движении и краткий трактат о притяжениях (1-е изд.). Дж. и Джей Джей Дейтон; и Уиттакер, Тричер и Арно. п. 47.
• Келли, Дж. Дэниел; Левенталь, Джейкоб Дж. (ноябрь 2016 г.). «Центральные силы и орбиты». Проблемы классической и квантовой механики . Международное издательство Спрингер. стр. 67–94. дои : 10.1007/978-3-319-46664-4_3 . ISBN  9783319466644 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Спираль Котеса» . Математический мир .