Спираль Ферма

или Спираль Ферма параболическая спираль представляет собой плоскую кривую , свойство которой заключается в том, что площадь между любыми двумя последовательными полными витками вокруг спирали инвариантна. В результате расстояние между витками растет обратно пропорционально их расстоянию от центра спирали, в отличие от спирали Архимеда (для которой это расстояние инвариантно) и логарифмической спирали (для которой расстояние между витками пропорционально расстоянию от центра спирали). центр). Спирали Ферма названы в честь Пьера де Ферма . ^{[ 1 ]}

Их приложения включают непрерывное сглаживание кривых, ^{[ 1 ]} моделирование роста растений и формы некоторых спиральных галактик , а также разработка конденсаторов переменной емкости , массивов отражателей солнечной энергии и циклотронов .

Координатное представление

Полярный

Представление спирали Ферма в полярных координатах $(r, φ)$ дается уравнением $r=\pm a{\sqrt {\varphi }}$ для $φ \geq 0$ .

Два варианта знака образуют две ветви спирали, плавно пересекающиеся в начале. Если бы те же переменные были переинтерпретированы как декартовы координаты , это было бы уравнение параболы с горизонтальной осью, которая снова имеет две ветви выше и ниже оси, встречающиеся в начале координат.

декартовский

Спираль Ферма с полярным уравнением $r=\pm a{\sqrt {\varphi }}$ могут быть преобразованы в декартовы координаты $(x, y)$ с помощью стандартных формул преобразования $x = r cos φ$ и $y = r sin φ$ . Использование полярного уравнения для спирали для исключения $r$ из этих преобразований дает параметрические уравнения для одной ветви кривой:

{\begin{cases}x(\varphi )=+a{\sqrt {\varphi }}\cos(\varphi )\\y(\varphi )=+a{\sqrt {\varphi }}\sin(\varphi )\end{cases}}

и второй

{\begin{cases}x(\varphi )=-a{\sqrt {\varphi }}\cos(\varphi )\\y(\varphi )=-a{\sqrt {\varphi }}\sin(\varphi )\end{cases}}

Они генерируют точки ветвей кривой при изменении параметра $φ$ среди положительных действительных чисел.

Для любого $(x, y),$ сгенерированного таким образом, деление $x$ на $y$ отменяет $части a \sqrt φ$ параметрических уравнений, оставляя более простое уравнение $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ Икс / y ⁠ знак равно детская кроватка φ$ . Из этого уравнения, заменяя $φ$ на $φ = ⁠ r 2 / а 2 ⁠$ (переработанная форма полярного уравнения для спирали), а затем заменив $r$ на $r = \sqrt x 2 + и 2$ (преобразование декартовой формы в полярную) оставляет уравнение для спирали Ферма только с точки зрения $x$ и $y$ : ${\frac {x}{y}}=\cot \left({\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}\right).$ Поскольку знак $a$ теряется при возведении его в квадрат, это уравнение охватывает обе ветви кривой.

Геометрические свойства

Спираль Ферма делит плоскость на две соединенные и конгруэнтные области (схема: черная и белая).

Отделение самолета

Полная спираль Ферма (обе ветви) представляет собой гладкую двухточечную кривую, в отличие от архимедовой и гиперболической спирали . Подобно линии, кругу или параболе, он делит плоскость на две соединенные области.

Определение сектора (голубой) и угла полярного наклона $α$

Полярный склон

Из векторного исчисления в полярных координатах получается формула

\tan \alpha ={\frac {r'}{r}}

для полярного наклона и его угла $α$ между касательной кривой и соответствующим полярным кругом (см. схему).

Для спирали Ферма $r = a \sqrt φ$ получаем

\tan \alpha ={\frac {1}{2\varphi }}.

Следовательно, угол наклона монотонно уменьшается.

Кривизна

Из формулы

\kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\,r''}{\left(r^{2}+(r')^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}

для кривизны кривой с полярным уравнением $r = r (φ)$ и его производными

{\begin{aligned}r'&={\frac {a}{2{\sqrt {\varphi }}}}={\frac {a^{2}}{2r}}\\r''&=-{\frac {a}{4{\sqrt {\varphi }}^{3}}}=-{\frac {a^{4}}{4r^{3}}}\end{aligned}}

получаем кривизну спирали Ферма: $\kappa (r)={\frac {2r\left(4r^{4}+3a^{4}\right)}{\left(4r^{4}+a^{4}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

В начале координат кривизна равна 0. Следовательно, полная кривая имеет в начале точку перегиба , а $ось x$ является ее касательной в этой точке.

Площадь между дугами

Площадь сектора спирали Ферма между двумя точками $(r (φ 1), φ 1)$ и $(r (φ 2), φ 2)$ равна

{\begin{aligned}{\underline {A}}&={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\,d\varphi \\&={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}a^{2}\varphi \,d\varphi \\&={\frac {a^{2}}{4}}\left(\varphi _{2}^{2}-\varphi _{1}^{2}\right)\\&={\frac {a^{2}}{4}}\left(\varphi _{2}+\varphi _{1}\right)\left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right).\end{aligned}}

Спираль Ферма: область между соседними дугами

Подняв оба угла на $2 π,$ получим

{\overline {A}}={\frac {a^{2}}{4}}\left(\varphi _{2}+\varphi _{1}+4\pi \right)\left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)={\underline {A}}+a^{2}\pi \left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right).

Следовательно, площадь $A$ области между двумя соседними дугами равна $A=a^{2}\pi \left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right).$ $А$ зависит только от разности двух углов, а не от самих углов.

Для примера, показанного на схеме, все соседние полосы имеют одинаковую площадь: $A 1 = A 2 = A 3$ .

Это свойство используется в электротехнике для изготовления конденсаторов переменной емкости . ^{[ 2 ]}

Особый случай из-за Ферма

В 1636 году Ферма написал письмо. ^{[ 3 ]} к Марину Мерсенну , который содержит следующий особый случай:

Пусть $φ 1 = 0, φ 2 = 2 π$ ; тогда площадь черной области (см. схему) равна $A 0 = a 2 п 2$ , что составляет половину площади круга $K 0$ радиуса $r (2 π)$ . Области между соседними кривыми (белая, синяя, желтая) имеют одинаковую площадь $А = 2 а. 2 п 2$ . Следовательно:

Площадь между двумя дугами спирали после полного оборота равна площади круга $К 0$ .

Длина дуги

Длину дуги спирали Ферма между двумя точками $(r (φ i), φ i)$ можно вычислить с помощью интеграла :

${\begin{aligned}L&=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,d\varphi \\&={\frac {a}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {{\frac {1}{\varphi }}+4\varphi }}\,d\varphi .\end{aligned}}$

Этот интеграл приводит к эллиптическому интегралу , который можно решить численно.

Длина дуги положительной ветви спирали Ферма из начала координат также может быть определена гипергеометрическими функциями $2 F 1 (a, b; c; z)$ и неполной бета-функцией $B(z; a, b)$ : ^{[ 4 ]}

${\begin{aligned}L&=a\cdot {\sqrt {\varphi }}\cdot \operatorname {_{2}F_{1}} \left(-{\tfrac {1}{2}},\,{\tfrac {1}{4}};\,{\tfrac {5}{4}};\,-4\cdot \varphi ^{2}\right)\\&=a\cdot {\frac {1-i}{8}}\cdot \operatorname {B} \left(-4\cdot \varphi ^{2};\,{\tfrac {1}{4}},\,{\tfrac {3}{2}}\right)\\\end{aligned}}$

Инверсия спирали Ферма (зеленая) представляет собой литуус (синий).

Инверсия круга

Инверсия на единичной окружности имеет в полярных координатах простое описание $(r, φ) \mapsto (1 1 / р ., φ)$

Образ спирали Ферма $r = a \sqrt φ$ при инверсии на единичной окружности представляет собой спираль Литууса с полярным уравнением $r={\frac {1}{a{\sqrt {\varphi }}}}.$ Когда $φ = ⁠ 1 / а 2 ⁠$ обе кривые пересекаются в фиксированной точке единичной окружности.
Касательная ( $ось x$ ) в точке перегиба (начале) спирали Ферма отображается сама на себя и является асимптотической линией спирали Литууса.

Золотое сечение и золотой угол

В дисковом филлотаксисе , как у подсолнечника и маргаритки, сетка спиралей возникает в числах Фибоначчи, потому что дивергенция (угол последовательности в одной спиралевидной структуре) приближается к золотому сечению . Форма спиралей зависит от роста последовательно генерируемых элементов. зрелого диска При филлотаксисе , когда все элементы имеют одинаковый размер, форма спиралей соответствует форме спиралей Ферма — в идеале. Это потому, что спираль Ферма проходит равные кольца за равные обороты. Полная модель, предложенная Х. Фогелем в 1979 г. ^{[ 5 ]} является

${\begin{aligned}r&=c{\sqrt {n}},\\\theta &=n\times 137.508^{\circ },\end{aligned}}$

где $θ$ — угол, $r$ — радиус или расстояние от центра, $n$ — порядковый номер цветка, а $c$ — постоянный масштабный коэффициент. Угол 137,508° — это золотой угол , который аппроксимируется отношениями чисел Фибоначчи . ^{[ 6 ]}

Узор цветочков по модели Фогеля (центральное изображение). На двух других изображениях показаны закономерности для немного других значений угла.

Полученный спиральный узор из единичных дисков следует отличать от спиралей Дойла - узоров, образованных касательными дисками геометрически возрастающего радиуса, помещенными на логарифмические спирали .

Солнечные установки

Также было обнаружено, что спираль Ферма является эффективной схемой зеркал концентрированных солнечных электростанций . ^{[ 7 ]}

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Леккас, Анастасиос М.; Даль, Андреас Р.; Брейвик, Мортен; Фоссен, Тор И. (2013). «Построение траектории непрерывной кривизны с использованием спирали Ферма» (PDF) . Моделирование, идентификация и контроль . 34 (4): 183–198. ISSN 1890-1328 . Архивировано из оригинала (PDF) 28 октября 2020 г.
^ Вике, Фриц (2013). Введение в высшую математику . Издательство Спрингер. п. 414. ИСБН 978-3-662-36804-6 .
^ Таннери, Пол (ред.). «Письмо Ферма Мерсенну от 3 июня 1636 года» . Работы Ферма . Полет. 3. п. 277.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Спираль Ферма» . Математический мир . Проверено 4 февраля 2023 г.
^ Фогель, Х. (1979). «Лучший способ сделать головку подсолнуха». Математические биологические науки . 44 (3–4): 179–189. дои : 10.1016/0025-5564(79)90080-4 .
^ Прусинкевич, Пшемыслав ; Линденмайер, Аристид (1990). Алгоритмическая красота растений . Спрингер-Верлаг. стр. 101–107 . ISBN 978-0-387-97297-8 .
^ Никто, Кори Дж.; Торрильон, Мануэль; Мицос, Александр (декабрь 2011 г.). «Оптимизация поля гелиостата: новая вычислительно эффективная модель и биомиметическая схема». Солнечная энергия . 86 (2): 792–803. дои : 10.1016/j.solener.2011.12.007 .

Дальнейшее чтение

Лоуренс, Дж. Деннис (1972). Каталог специальных плоских кривых . Дуврские публикации. стр. 31 , 186 . ISBN 0-486-60288-5 .

Внешние ссылки

[Lekkas-1] Перейти обратно: ^а ^б Леккас, Анастасиос М.; Даль, Андреас Р.; Брейвик, Мортен; Фоссен, Тор И. (2013). «Построение траектории непрерывной кривизны с использованием спирали Ферма» (PDF) . Моделирование, идентификация и контроль . 34 (4): 183–198. ISSN 1890-1328 . Архивировано из оригинала (PDF) 28 октября 2020 г.

[2] Вике, Фриц (2013). Введение в высшую математику . Издательство Спрингер. п. 414. ИСБН 978-3-662-36804-6 .

[Fermat-3] Таннери, Пол (ред.). «Письмо Ферма Мерсенну от 3 июня 1636 года» . Работы Ферма . Полет. 3. п. 277.

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Спираль Ферма» . Математический мир . Проверено 4 февраля 2023 г.

[5] Фогель, Х. (1979). «Лучший способ сделать головку подсолнуха». Математические биологические науки . 44 (3–4): 179–189. дои : 10.1016/0025-5564(79)90080-4 .

[6] Прусинкевич, Пшемыслав ; Линденмайер, Аристид (1990). Алгоритмическая красота растений . Спрингер-Верлаг. стр. 101–107 . ISBN 978-0-387-97297-8 .

[7] Никто, Кори Дж.; Торрильон, Мануэль; Мицос, Александр (декабрь 2011 г.). «Оптимизация поля гелиостата: новая вычислительно эффективная модель и биомиметическая схема». Солнечная энергия . 86 (2): 792–803. дои : 10.1016/j.solener.2011.12.007 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

v т и Пьер де Ферма
Work	Fermat's Last Theorem Fermat number Fermat's principle Fermat's little theorem Fermat polygonal number theorem Fermat pseudoprime Fermat point Fermat's theorem (stationary points) Fermat's theorem on sums of two squares Fermat's spiral Fermat's right triangle theorem
Related	List of things named after Pierre de Fermat Wiles's proof of Fermat's Last Theorem Fermat's Last Theorem in fiction Fermat Prize Fermat's Last Tango (2000 musical) Fermat's Last Theorem (popular science book)