Асимптотическая кривая
В дифференциальной геометрии поверхностей асимптотическая кривая — это кривая, всегда касающаяся асимптотического направления поверхности (там, где они существуют). Иногда ее называют асимптотической линией , хотя это не обязательно должна быть линия .
Определения
[ редактировать ]Существует несколько эквивалентных определений асимптотических направлений или, что то же самое, асимптотических кривых.
- Асимптотические направления такие же, как асимптоты гиперболы индикатрисы Дюпена через гиперболическую точку или единственную асимптоту через параболическую точку. [ 1 ]
- Асимптотическое направление — это направление, вдоль которого нормальная кривизна равна нулю: возьмите плоскость, к поверхности натянутую на это направление, и нормаль в этой точке. Кривая пересечения плоскости и поверхности имеет в этой точке нулевую кривизну.
- Асимптотическая кривая — это кривая, у которой в каждой точке касательная к поверхности плоскость является соприкасающейся плоскостью кривой.
Характеристики
[ редактировать ]Асимптотические направления могут возникать только тогда, когда гауссова кривизна отрицательна (или равна нулю).
Через каждую точку с отрицательной гауссовой кривизной проходят два асимптотических направления, разделенных пополам главными направлениями . Через каждую точку с нулевой гауссовой кривизной проходит одно или бесконечно много асимптотических направлений.
Если поверхность минимальна и не плоская, то асимптотические направления ортогональны друг другу (и 45 градусов для двух главных направлений).
Для развертывающейся поверхности асимптотические линии являются образующими и только ими.
Если в поверхность входит прямая линия, то она является асимптотической кривой поверхности.
Связанные понятия
[ редактировать ]Родственное понятие — линия кривизны , которая представляет собой кривую, всегда касающуюся главного направления.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Дэвид Хилберт ; Кон-Воссен, С. (1999). Геометрия и воображение . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1998-4 .