Линия (геометрия)

см. подпись — Красная линия возле начала координат двумерной декартовой системы координат.

В геометрии прямая линия , обычно сокращенно , представляет собой бесконечно длинный объект без ширины, глубины или кривизны , идеализацию таких физических объектов, как линейка , натянутая струна или луч света . Линии — это пространства первого измерения , которые могут быть встроены в пространства второго, третьего или более высокого измерения. Слово линия в повседневной жизни может также относиться к отрезку линии , который является частью линии, ограниченной двумя точками (ее конечными точками ).

Евклида «Элементы» определяют прямую линию как «длину без ширины», которая «равномерно лежит относительно точек на себе», и вводят несколько постулатов как основные недоказуемые свойства, на которых основывается остальная геометрия. Евклидова линия и евклидова геометрия — термины, введенные во избежание путаницы с обобщениями, введенными с конца 19 века, такими как неевклидова , проективная и аффинная геометрия .

Свойства [ править ]

В греческой дедуктивной геометрии Евклида «Начал» общая линия (теперь называемая кривой ) определяется как «длина без ширины», а прямая линия (теперь называемая отрезком линии ) определяется как линия, «которая лежит равномерно с точками на себе». ^[1]^: 291Эти определения апеллируют к физическому опыту читателей, опираясь на термины, которые сами по себе не определены, и в остальной части текста эти определения никогда не упоминаются явно. В современной геометрии линия обычно либо воспринимается как примитивное понятие со свойствами, заданными аксиомами , ^[1]^: 95 или же определяется как набор точек, подчиняющихся линейному соотношению, например, когда действительные числа считаются примитивными, а геометрия устанавливается аналитически в терминах числовых координат .

В аксиоматической формулировке евклидовой геометрии, такой как формулировка Гильберта (современные математики добавили к исходным аксиомам Евклида, чтобы заполнить очевидные логические пробелы), ^[1]^: 108Утверждается, что линия обладает определенными свойствами, которые связывают ее с другими линиями и точками . Например, для любых двух различных точек существует уникальная линия, содержащая их, и любые две различные прямые пересекаются не более чем в одной точке. ^[1]^: 300В двух измерениях (т. е. евклидовой плоскости ) две линии, которые не пересекаются, называются параллельными . В более высоких измерениях две линии, которые не пересекаются, параллельны, если они содержатся в плоскости , или перекошены , если это не так.

На евклидовой плоскости линию можно представить как границу между двумя областями. ^[2]^: 104Любой набор из конечного числа линий разбивает плоскость на выпуклые многоугольники (возможно, неограниченные); этот раздел известен как расположение линий .

В высших измерениях [ править ]

В трехмерном пространстве уравнение первой степени с переменными x , y и z определяет плоскость, поэтому два таких уравнения, при условии, что плоскости, которые они порождают, не параллельны, определяют линию, которая является пересечением плоскостей. В более общем смысле, в n -мерном пространстве n -1 уравнений первой степени в n координатных переменных определяют линию при подходящих условиях.

В более общем пространстве евклидовом R ^н (и аналогично в любом другом аффинном пространстве ) линия L , проходящая через две разные точки a и b, является подмножеством

L=\left\{(1-t)\,a+tb\mid t\in \mathbb {R} \right\}.

Направление = 1), или , линии — от опорной точки a ( t = 0) к другой точке b ( t другими словами, в направлении вектора b − a . Различные варианты выбора a и b могут дать одну и ту же строку.

Коллинеарные точки [ править ]

Три точки называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой. Три точки обычно определяют плоскость , но в случае трёх коллинеарных точек этого не происходит.

В аффинных координатах , в n -мерном пространстве точки X = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ), Y = ( y ₁ , y ₂ , ..., y _n ) и Z = ( z ₁ , z ₂ , ..., z _n ) коллинеарны, если матрица

{\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{n}\end{bmatrix}}

имеет ранг меньше 3. В частности, для трех точек на плоскости ( n = 2) указанная выше матрица является квадратной, а точки коллинеарны тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Эквивалентно трем точкам на плоскости, точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда наклон между одной парой точек равен наклону между любой другой парой точек (в этом случае наклон между оставшейся парой точек будет равен другим наклонам). . В более широком смысле, k точек на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда любые ( k –1) пары точек имеют одинаковые попарные наклоны.

В евклидовой геометрии d евклидово расстояние ( a , b ) между двумя точками a и b может использоваться для выражения коллинеарности между тремя точками следующим образом: ^[3]^[4]

Точки a , b и c лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда d ( x , a ) = d ( c , a ) и d ( x , b ) = d ( c , b ) влечет x = c .

Однако существуют другие понятия расстояния (например, манхэттенское расстояние ), для которых это свойство неверно.

В геометриях, где понятие прямой является примитивным понятием , как это может иметь место в некоторых синтетических геометриях , необходимы другие методы определения коллинеарности.

Типы [ править ]

В некотором смысле, ^[а]все линии в евклидовой геометрии равны в том смысле, что без координат их невозможно отличить друг от друга. Однако линии могут играть особую роль по отношению к другим объектам геометрии и подразделяться на типы в соответствии с этим соотношением. Например, относительно коники ( круга , эллипса , параболы или гиперболы ) линии могут быть:

касательные линии , которые касаются коники в одной точке;
секущие линии , которые пересекают конику в двух точках и проходят через ее внутреннюю часть; ^[5]
внешние линии, не пересекающие конику ни в одной точке евклидовой плоскости; или
директриса . , расстояние которой от точки помогает установить, находится ли точка на конике
координатная линия , линейный координатный размер

В контексте определения параллелизма в евклидовой геометрии трансверсаль — это линия, пересекающая две другие линии, которые могут быть или не быть параллельны друг другу.

Для более общих алгебраических кривых линии также могут быть:

i -секущие линии, пересекающие кривую в i точках, считая без кратности, или
асимптоты , к которым кривая приближается сколь угодно близко, не касаясь ее. ^[6]

По отношению к треугольникам имеем:

Эйлера линия ,
Симсона линии и
центральные линии .

Для выпуклого четырехугольника с не более чем двумя параллельными сторонами линия Ньютона — это линия, соединяющая середины двух диагоналей . ^[7]

Для шестиугольника с вершинами, лежащими на конике, у нас есть линия Паскаля , а в особом случае, когда коника представляет собой пару прямых, у нас есть линия Паппуса .

Параллельные прямые – это линии в одной плоскости, которые никогда не пересекаются. Пересекающиеся линии имеют одну общую точку. Совпадающие прямые совпадают друг с другом — каждая точка, находящаяся на одной из них, находится и на другой.

Перпендикулярные линии – это линии, пересекающиеся под прямым углом . ^[8]

В трехмерном пространстве — это линии, которые не лежат в одной плоскости и, следовательно , косые линии не пересекаются друг с другом.

В аксиоматических системах [ править ]

Понятие линии часто рассматривается в геометрии как примитивное понятие в аксиоматических системах . ^[1]^: 95 это означает, что оно не определяется другими понятиями. ^[9]В тех ситуациях, когда линия является определенным понятием, как в координатной геометрии , в качестве примитивов принимаются некоторые другие фундаментальные идеи. Когда концепция линии является примитивной, свойства линий определяются аксиомами, которым они должны удовлетворять.

В неаксиоматической или упрощенной аксиоматической трактовке геометрии концепция примитивного понятия может быть слишком абстрактной, чтобы с ней можно было иметь дело. В этом случае можно дать описание или мысленный образ примитивного понятия, дать основу для построения понятия, на которой формально будут базироваться (невысказанные) аксиомы. Некоторые авторы могут называть описания этого типа определениями в этом неформальном стиле изложения. Это неверные определения, и их нельзя использовать в формальных доказательствах утверждений. «Определение» линии в «Началах» Евклида попадает в эту категорию. ^[1]^: 95 Даже в том случае, когда рассматривается конкретная геометрия (например, евклидова геометрия ), среди авторов нет общепринятого согласия относительно того, каким должно быть неформальное описание линии, когда предмет не рассматривается формально.

Определение [ править ]

Линейное уравнение [ править ]

Линии в декартовой плоскости или, в более общем плане, в аффинных координатах характеризуются линейными уравнениями. Точнее, каждая строка $L$ (включая вертикальные линии) — это набор всех точек, координаты которых ( x , y ) удовлетворяют линейному уравнению; то есть,

L=\{(x,y)\mid ax+by=c\},

где a , b и c — фиксированные действительные числа (называемые коэффициентами ), такие, что a и b не равны нулю. В этой форме вертикальные линии соответствуют уравнениям с b = 0.

Далее можно предположить либо $c = 1$ , либо $c = 0$ , разделив все на $c$ , если оно не равно нулю.

Существует много вариантов написания уравнения прямой, которые можно преобразовать из одного в другое с помощью алгебраических манипуляций. Вышеупомянутую форму иногда называют стандартной формой . Если постоянный член поставить слева, уравнение примет вид

ax+by-c=0,

и это иногда называют общей формой уравнения. Однако эта терминология не является общепринятой, и многие авторы не различают эти две формы.

Эти формы обычно называются по типу информации (данных) о строке, которая необходима для записи формы. Некоторые из важных данных линии — это ее наклон, точка пересечения по оси X , известные точки на линии и точка пересечения по оси Y.

Уравнение прямой, проходящей через две разные точки $P_{0}(x_{0},y_{0})$ и $P_{1}(x_{1},y_{1})$ может быть записано как

(y-y_{0})(x_{1}-x_{0})=(y_{1}-y_{0})(x-x_{0}).

Если

x 0 \neq x 1

, это уравнение можно переписать как

y=(x-x_{0})\,{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+y_{0}

или

y=x\,{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {x_{1}y_{0}-x_{0}y_{1}}{x_{1}-x_{0}}}\,.

В двух измерениях уравнение для невертикальных линий часто задается в форме наклона-пересечения :

y=mx+b

где:

m — наклон или градиент линии.
b — точка пересечения линии по оси Y.
x - независимая переменная функции $y знак равно f (x)$ .

Наклон линии через точки $A(x_{a},y_{a})$ и $B(x_{b},y_{b})$ , когда $x_{a}\neq x_{b}$ , дан кем-то $m=(y_{b}-y_{a})/(x_{b}-x_{a})$ и уравнение этой линии можно записать $y=m(x-x_{a})+y_{a}$ .

Обратите внимание: линии в трех измерениях также можно описать как одновременные решения двух линейных уравнений.

a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z-d_{1}=0

a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z-d_{2}=0

такой, что

(a_{1},b_{1},c_{1})

и

(a_{2},b_{2},c_{2})

не пропорциональны (отношения

a_{1}=ta_{2},b_{1}=tb_{2},c_{1}=tc_{2}

подразумевать

t=0

). Это следует из того, что в трех измерениях одно линейное уравнение обычно описывает плоскость , а линия — это то, что является общим для двух различных пересекающихся плоскостей.

Параметрическое уравнение [ править ]

Параметрические уравнения также используются для задания линий, особенно в трехмерных и более измерениях , поскольку линии более чем в двух измерениях не могут быть описаны одним линейным уравнением.

В трех измерениях линии часто описываются параметрическими уравнениями:

{\begin{aligned}x&=x_{0}+at\\y&=y_{0}+bt\\z&=z_{0}+ct\end{aligned}}

где:

x , y и z — все функции независимой переменной t , которая варьируется в пределах действительных чисел.
( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) — любая точка на прямой.
a , b и c связаны с наклоном линии, так что вектор направления ( a , b , c ) параллелен линии.

Параметрические уравнения для линий в более высоких измерениях аналогичны тем, что они основаны на задании одной точки на линии и вектора направления.

Нормальная форма Гессена [ править ]

Нормальная форма (также называемая нормальной формой Гессе , ^[10]в честь немецкого математика Людвига Отто Гессе ), основан на нормальном отрезке для данной прямой, который определяется как отрезок, проведенный из начала координат перпендикулярно прямой. Этот сегмент соединяет начало координат с ближайшей к началу точки точкой линии. Нормальная форма уравнения прямой на плоскости имеет вид:

x\cos \varphi +y\sin \varphi -p=0,

где

\varphi

- угол наклона нормального сегмента (ориентированный угол от единичного вектора оси

x

к этому сегменту), а

p

- (положительная) длина нормального сегмента. Нормальную форму можно получить из стандартной формы

ax+by=c

разделив все коэффициенты на

{\frac {c}{|c|}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.

В отличие от форм пересечения наклона и пересечения, эта форма может представлять любую линию, но также требует только двух конечных параметров: $\varphi$ и $p$ , которые необходимо указать. Если $р > 0$ , то $\varphi$ однозначно определяется по модулю $2 π$ . С другой стороны, если линия проходит через начало координат ( $c = p = 0$ ), $c /| с |$ срок для расчета $\sin \varphi$ и $\cos \varphi$ , и отсюда следует, что $\varphi$ определяется только по модулю $π$ .

Другие представления [ править ]

Векторы [ править ]

Векторное уравнение линии, проходящей через точки A и B, имеет вид $\mathbf {r} =\mathbf {OA} +\lambda \,\mathbf {AB}$ (где λ — скаляр ).

Если a — вектор OA , а b — вектор OB , то уравнение прямой можно записать: $\mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda (\mathbf {b} -\mathbf {a} )$ .

Луч, начинающийся в точке A, описывается пределом λ. Один луч получается, если λ ≥ 0, а противоположный луч исходит из λ ≤ 0.

Полярные координаты [ править ]

В декартовой плоскости полярные координаты $(r, θ)$ связаны с декартовыми координатами параметрическими уравнениями: ^[11]

x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta .

В полярных координатах уравнение прямой, не проходящей через начало координат — точку с координатами $(0, 0)$ , — можно записать

r={\frac {p}{\cos(\theta -\varphi )}},

с

r > 0

и

\varphi -\pi /2<\theta <\varphi +\pi /2.

Здесь

p

— (положительная) длина отрезка, перпендикулярного прямой и ограниченного началом координат и прямой, и

\varphi

- (ориентированный) угол от

оси x

к этому сегменту.

Может оказаться полезным выразить уравнение через угол $\alpha =\varphi +\pi /2$ между $осью x$ и линией. В этом случае уравнение принимает вид

r={\frac {p}{\sin(\theta -\alpha )}},

с

r > 0

и

0<\theta <\alpha +\pi .

Эти уравнения можно вывести из нормальной формы линейного уравнения, установив $x=r\cos \theta ,$ и $y=r\sin \theta ,$ а затем применить тождество угловой разности для синуса или косинуса.

Эти уравнения также можно доказать геометрически, применив определения синуса и косинуса прямоугольного треугольника к прямоугольному треугольнику , у которого точка прямой и начало координат являются вершинами, а линия и ее перпендикуляр, проходящий через начало координат, являются сторонами.

Предыдущие формы не применимы к линии, проходящей через начало координат, но можно записать более простую формулу: полярные координаты $(r,\theta )$ точек прямой, проходящей через начало координат и образующей угол $\alpha$ с $осью x -$ пары $(r,\theta )$ такой, что

r\geq 0,\qquad {\text{and}}\quad \theta =\alpha \quad {\text{or}}\quad \theta =\alpha +\pi .

Обобщения евклидовой линии [ править ]

В современной математике, учитывая множество геометрий, понятие прямой тесно связано со способом описания геометрии. Например, в аналитической геометрии линия на плоскости часто определяется как набор точек, координаты которых удовлетворяют заданному линейному уравнению , но в более абстрактной ситуации, такой как геометрия падения , линия может быть независимым объектом, отличным от множество точек, лежащих на нем.

Когда геометрия описывается набором аксиом , понятие линии обычно остается неопределенным (так называемый примитивный объект). Свойства линий затем определяются аксиомами, которые к ним относятся. Одним из преимуществ этого подхода является гибкость, которую он дает пользователям геометрии. Таким образом, в дифференциальной геометрии линию можно интерпретировать как геодезическую (кратчайший путь между точками), а в некоторых проективных геометриях линия представляет собой двумерное векторное пространство (все линейные комбинации двух независимых векторов). Эта гибкость выходит за рамки математики и, например, позволяет физикам рассматривать путь светового луча как линию.

Проективная геометрия [ править ]

Во многих моделях проективной геометрии представление линии редко соответствует понятию «прямой кривой», как оно визуализируется в евклидовой геометрии. В эллиптической геометрии мы видим типичный пример этого. ^[1]^: 108В сферическом представлении эллиптической геометрии линии представлены большими кругами сферы с обозначенными диаметрально противоположными точками. В другой модели эллиптической геометрии линии представлены евклидовыми плоскостями , проходящими через начало координат. Несмотря на то, что эти представления визуально различны, они удовлетворяют всем свойствам (например, две точки, определяющие уникальную линию), которые делают их подходящими представлениями для линий в этой геометрии.

«Короткость» и «прямолинейность» линии, интерпретируемые как свойство минимизировать расстояние вдоль линии между любыми двумя ее точками (см. неравенство треугольника ), могут быть обобщены и приводят к понятию геодезических в метрических пространствах .

Расширения [ править ]

Рэй [ править ]

Луч с концом в точке А и двумя точками В и С справа.

Учитывая прямую и любую точку А на ней, мы можем рассматривать А как разлагающую эту линию на две части. Каждая такая часть называется лучом , а точка А — ее начальной точкой . Его также называют полупрямой, одномерным полупространством . Точка А считается членом луча. ^[б]Интуитивно, луч состоит из тех точек на линии, которые проходят через A и продолжаются бесконечно, начиная с A , только в одном направлении вдоль линии. Однако для того, чтобы использовать это понятие луча в доказательствах, требуется более точное определение.

Учитывая различные точки A и B , они определяют единственный луч с начальной A. точкой Поскольку две точки определяют уникальную линию, этот луч состоит из всех точек между A и B (включая A и B ) и всех точек C на линии, проходящей через A и B таких, что B находится между A и C. , ^[12] Иногда это также выражается как набор всех точек C на линии, определяемой A и B таких, что A не находится между B и C. , ^[13]Точка D на линии, определяемой A и B , но не на луче с начальной точкой A определенной B , будет определять другой луч с начальной точкой A. , По отношению к AB лучу луч AD называется противоположным лучом .

Таким образом, мы бы сказали, что две разные точки, A и B , определяют линию и разложение этой линии в непересекающееся объединение открытого отрезка $(A, B)$ и двух лучей, BC и AD (точка D не нарисована ). на диаграмме, но находится левее А на линии АВ ). Это не противоположные лучи, поскольку они имеют разные начальные точки.

В евклидовой геометрии два луча с общим концом образуют угол . ^[14]

Определение луча зависит от понятия промежуточного положения точек на линии. Отсюда следует, что лучи существуют только для геометрий, для которых существует это понятие, обычно это евклидова геометрия или аффинная геометрия над упорядоченным полем . С другой стороны, лучи не существуют ни в проективной геометрии , ни в геометрии над неупорядоченным полем, как комплексные числа или любое конечное поле .

Отрезок линии [ править ]

Рисование отрезка «АВ» на линии «а»

— Сегмент линии это часть линии, которая ограничена двумя различными конечными точками и содержит каждую точку линии между ее конечными точками. В зависимости от того, как определен сегмент линии, любая из двух конечных точек может быть или не быть частью сегмента линии. Два или более сегментов линии могут иметь некоторые из тех же отношений, что и линии, например быть параллельными, пересекающимися или наклоненными, но в отличие от линий они могут не быть ни одним из них, если они копланарны и либо не пересекаются, либо коллинеарны .

Числовая строка [ править ]

Числовая линия с переменной x слева и y справа. Следовательно, x меньше, чем y.

Точка на числовой прямой соответствует действительному числу и наоборот. ^[15]Обычно целые числа располагаются в строке равномерно: положительные числа располагаются справа, отрицательные — слева. В качестве расширения этой концепции можно провести воображаемую линию, представляющую мнимые числа, перпендикулярно числовой линии в нуле. ^[16] Две линии образуют комплексную плоскость , геометрическое представление набора комплексных чисел .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Технически группа коллинеации действует транзитивно на наборе строк.
^ Иногда мы можем рассматривать луч без начальной точки. Такие лучи называются открытыми лучами, в отличие от типичного луча, который можно было бы назвать закрытым .

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-1748-1
^ Фостер, Колин (2010), Ресурсы для преподавания математики, 14–16 , Нью-Йорк: Continuum International Pub. Группа, ISBN 978-1-4411-3724-1 , OCLC 747274805
^ Падоа, Алессандро (1900), Новая система определений евклидовой геометрии (на французском языке), Международный конгресс математиков
^ Рассел, Бертран , «Принципы математики» , с. 410
^ Проттер, Мюррей Х .; Проттер, Филип Э. (1988), Исчисление с аналитической геометрией , Jones & Bartlett Learning, с. 62, ISBN 9780867200935
^ Нунемахер, Джеффри (1999), «Асимптоты, кубические кривые и проективная плоскость», Mathematics Magazine , 72 (3): 183–192, CiteSeerX 10.1.1.502.72 , doi : 10.2307/2690881 , JSTOR 2690881
^ Альсина, Клод; Нельсен, Роджер Б. (2010), Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику , MAA, стр. 101–116. стр. 108–109, ISBN. 9780883853481 ( онлайн-копия , стр. 108, в Google Книгах )
^ Кей, Дэвид К. (1969), Геометрия колледжа , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , стр. 114, ISBN 978-0030731006 , LCCN 69-12075 , OCLC 47870
^ Коксетер, HSM (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, стр. 4, ISBN 0-471-18283-4
^ Бошер, Максим (1915), Плоская аналитическая геометрия: с вводными главами по дифференциальному исчислению , Х. Холт, с. 44, заархивировано из оригинала 13 мая 2016 г.
^ Торренс, Брюс Ф.; Торренс, Ева А. (29 января 2009 г.), Знакомство студента с MATHEMATICA: Справочник по предварительному исчислению, исчислению и линейной алгебре , Cambridge University Press , стр. 314, ISBN 9781139473736
^ Уайли-младший, CR (1964), Основы геометрии , Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 59, определение 3, ISBN 0-07-072191-2
^ Педо, Дэн (1988), Геометрия: всесторонний курс , Минеола, Нью-Йорк: Дувр, стр. 2, ISBN 0-486-65812-0
^ Сидоров Л.А. (2001) [1994], «Угол» , Энциклопедия Математики , EMS Press
^ Стюарт, Джеймс Б .; Редлин, Лотар; Уотсон, Салим (2008), Колледжская алгебра (5-е изд.), Брукс Коул , стр. 13–19, ISBN 978-0-495-56521-5
^ Паттерсон, Британская Колумбия (1941), «Инверсивная плоскость», The American Mathematical Monthly , 48 (9): 589–599, doi : 10.2307/2303867 , JSTOR 2303867 , MR 0006034

Внешние ссылки [ править ]

«Линия (кривая)» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Уравнения прямой при разрезании узла

[5] Технически группа коллинеации действует транзитивно на наборе строк.

[13] Иногда мы можем рассматривать луч без начальной точки. Такие лучи называются открытыми лучами, в отличие от типичного луча, который можно было бы назвать закрытым .

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии , Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-1748-1

[2] Фостер, Колин (2010), Ресурсы для преподавания математики, 14–16 , Нью-Йорк: Continuum International Pub. Группа, ISBN 978-1-4411-3724-1 , OCLC 747274805

[3] Падоа, Алессандро (1900), Новая система определений евклидовой геометрии (на французском языке), Международный конгресс математиков

[4] Рассел, Бертран , «Принципы математики» , с. 410

[cag-6] Проттер, Мюррей Х .; Проттер, Филип Э. (1988), Исчисление с аналитической геометрией , Jones & Bartlett Learning, с. 62, ISBN 9780867200935

[7] Нунемахер, Джеффри (1999), «Асимптоты, кубические кривые и проективная плоскость», Mathematics Magazine , 72 (3): 183–192, CiteSeerX 10.1.1.502.72 , doi : 10.2307/2690881 , JSTOR 2690881

[Alsina-8] Альсина, Клод; Нельсен, Роджер Б. (2010), Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику , MAA, стр. 101–116. стр. 108–109, ISBN. 9780883853481 ( онлайн-копия , стр. 108, в Google Книгах )

[9] Кей, Дэвид К. (1969), Геометрия колледжа , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , стр. 114, ISBN 978-0030731006 , LCCN 69-12075 , OCLC 47870

[10] Коксетер, HSM (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, стр. 4, ISBN 0-471-18283-4

[11] Бошер, Максим (1915), Плоская аналитическая геометрия: с вводными главами по дифференциальному исчислению , Х. Холт, с. 44, заархивировано из оригинала 13 мая 2016 г.

[12] Торренс, Брюс Ф.; Торренс, Ева А. (29 января 2009 г.), Знакомство студента с MATHEMATICA: Справочник по предварительному исчислению, исчислению и линейной алгебре , Cambridge University Press , стр. 314, ISBN 9781139473736

[14] Уайли-младший, CR (1964), Основы геометрии , Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 59, определение 3, ISBN 0-07-072191-2

[15] Педо, Дэн (1988), Геометрия: всесторонний курс , Минеола, Нью-Йорк: Дувр, стр. 2, ISBN 0-486-65812-0

[16] Сидоров Л.А. (2001) [1994], «Угол» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[17] Стюарт, Джеймс Б .; Редлин, Лотар; Уотсон, Салим (2008), Колледжская алгебра (5-е изд.), Брукс Коул , стр. 13–19, ISBN 978-0-495-56521-5

[18] Паттерсон, Британская Колумбия (1941), «Инверсивная плоскость», The American Mathematical Monthly , 48 (9): 589–599, doi : 10.2307/2303867 , JSTOR 2303867 , MR 0006034

[1]

[2]

[3]

[4]

[а]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[б]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]