Теорема Паппа о шестиугольнике

Теорема Паппуса о шестиугольнике: точки X , Y и Z лежат на прямой прямой Паппуса. Шестиугольник — AbCaBc .

Теорема Паппа: аффинная форма
$Ab\parallel aB,Bc\parallel bC\Rightarrow Ac\parallel aC$

В математике теорема Паппа о шестиугольнике (приписываемая Паппу Александрийскому ) гласит, что

• учитывая один набор коллинеарных точек $A,B,C,$ и еще один набор коллинеарных точек $a,b,c,$ тогда точки пересечения $X,Y,Z$ линий ​ пар $Ab$ и $aB,Ac$ и $aC,Bc$ и $bC$ коллинеарны . лежат на линии Паппа , Эти три точки являются точками пересечения «противоположных» сторон шестиугольника. $AbCaBc$.

Оно справедливо в проективной плоскости над любым полем, но неверно для проективных плоскостей над любым некоммутативным телом . Проективные плоскости, в которых справедлива «теорема», называются папповскими плоскостями .

Если рассмотреть паппову плоскость, содержащую только что описанный шестиугольник, но со сторонами $Ab$ и $aB$ параллельно , а также стороны $Bc$ и $bC$ параллельно (так что линия Паппа $u$ — линия, находящаяся на бесконечности ), получается аффинная версия теоремы Паппа, показанная на второй диаграмме.

Если линия Паппуса $u$ и линии $g,h$ имеют общую точку зрения, получается так называемая маленькая версия теоремы Паппа.

Двойственная утверждает , к этой теореме об инцидентности что для одного набора совпадающих прямых $A,B,C$и еще один набор параллельных строк $a,b,c$, то строки $x,y,z$ определяется парами точек, возникающих в результате пар пересечений $A\cap b$ и $a\cap B,\;A\cap c$ и $a\cap C,\;B\cap c$ и $b\cap C$ являются одновременными. ( Параллельность означает, что линии проходят через одну точку.)

Теорема Паппуса — это частный случай теоремы Паскаля о конике — предельный случай , когда коника вырождается в две прямые. Теорема Паскаля, в свою очередь, является частным случаем теоремы Кэли-Бакараха .

Конфигурация Паппуса — это конфигурация из 9 линий и 9 точек, которая встречается в теореме Паппа, при этом каждая линия пересекается с 3 точками, а каждая точка пересекается с 3 прямыми. В общем случае линия Паппуса не проходит через точку пересечения $ABC$ и $abc$. Эта конфигурация является самодвойственной . Поскольку, в частности, строки $Bc,bC,XY$ имеют свойства линий $x,y,z$ двойственной теоремы и коллинеарность $X,Y,Z$ эквивалентно совпадению $Bc,bC,XY$, то двойственная теорема, следовательно, то же самое, что и сама теорема. Граф Леви конфигурации Паппуса — это граф Паппуса , двудольный дистанционно регулярный граф с 18 вершинами и 27 ребрами.

Доказательство: аффинная форма

Теорема Паппа: доказательство

Если аффинная форма утверждения может быть доказана, то проективная форма теоремы Паппа доказана, поскольку продолжение паппова плоскости до проективной плоскости уникально.

Из-за параллельности в аффинной плоскости следует различать два случая: $g\not \parallel h$ и $g\parallel h$. Ключом к простому доказательству является возможность введения «подходящей» системы координат:

Случай 1: Линии $g,h$ пересекаться в точке $S=g\cap h$.
В этом случае вводятся координаты такие, что $\;S=(0,0),\;A=(0,1),\;c=(1,0)\;$ (см. схему). $B,C$ есть координаты $\;B=(0,\gamma ),\;C=(0,\delta ),\;\gamma ,\delta \notin \{0,1\}$.

Судя по параллельности линий $Bc,\;Cb$ каждый получает $b=({\tfrac {\delta }{\gamma }},0)$ и параллельность линий $Ab,Ba$ урожайность $a=(\delta ,0)$. Следовательно, линия $Ca$ имеет уклон $-1$ и является параллельной линией $Ac$.

Случай 2: $g\parallel h\$ (маленькая теорема).
В этом случае координаты выбираются так, что $\;c=(0,0),\;b=(1,0),\;A=(0,1),\;B=(\gamma ,1),\;\gamma \neq 0$. Из параллельности $Ab\parallel Ba$ и $cB\parallel bC$ каждый получает $\;C=(\gamma +1,1)\;$ и $\;a=(\gamma +1,0)\;$, соответственно, и, по крайней мере, параллельность $\;Ac\parallel Ca\;$.

Доказательство с однородными координатами

Выбирайте однородные координаты с

$C=(1,0,0),\;c=(0,1,0),\;X=(0,0,1),\;A=(1,1,1)$.

На линиях $AC,Ac,AX$, заданный $x_{2}=x_{3},\;x_{1}=x_{3},\;x_{2}=x_{1}$, возьми очки $B,Y,b$ быть

$B=(p,1,1),\;Y=(1,q,1),\;b=(1,1,r)$

для некоторых $p,q,r$. Три линии $XB,CY,cb$ являются $x_{1}=x_{2}p,\;x_{2}=x_{3}q,\;x_{3}=x_{1}r$, поэтому они проходят через одну и ту же точку $a$ тогда и только тогда, когда $rqp=1$. Условие для трех строк $Cb,cB$ и $XY$ с уравнениями $x_{2}=x_{1}q,\;x_{1}=x_{3}p,\;x_{3}=x_{2}r$ пройти через ту же точку $Z$ является $rpq=1$. Таким образом, этот последний набор из трех строк является параллельным, если все остальные восемь наборов созданы потому, что умножение коммутативно, поэтому $pq=qp$. Эквивалентно, $X,Y,Z$ коллинеарны.

Приведенное выше доказательство также показывает, что для справедливости теоремы Паппа для проективного пространства над телом достаточно и необходимо, чтобы тело было (коммутативным) полем. Немецкий математик Герхард Хессенберг доказал, что из теоремы Паппа следует теорема Дезарга . В общем, теорема Паппа справедлива для некоторой проективной плоскости тогда и только тогда, когда она является проективной плоскостью над коммутативным полем. Проективные плоскости, в которых не выполняется теорема Паппа, — это дезарговы проективные плоскости над некоммутативными телами и недесарговы плоскости .

Доказательство неверно, если $C,c,X$ оказываются коллинеарными. В этом случае можно предоставить альтернативное доказательство, например, используя другую проективную ссылку.

Двойственная теорема

Благодаря принципу двойственности проективных плоскостей двойственная теорема Паппа справедлива :

Если 6 строк $A,b,C,a,B,c$ выбираются поочередно из двух карандашей с центрами $G,H$, линии

$X:=(A\cap b)(a\cap B),$

$Y:=(c\cap A)(C\cap a),$

$Z:=(b\cap C)(B\cap c)$

параллельны, это означает: у них есть точка $U$ в общем.
На левой диаграмме показана проективная версия, на правой — аффинная версия, где точки $G,H$ являются точками на бесконечности. Если точка $U$ находится на линии $GH$ чем получается «двойная малая теорема» теоремы Паппа.

• 
  двойственная теорема: проективная форма
• 
  двойственная теорема: аффинная форма

Если в аффинной версии двойственной «малой теоремы» точка $U$ также является точкой, находящейся на бесконечности, можно получить теорему Томсена , утверждение о 6 точках на сторонах треугольника (см. диаграмму). Фигура Томсена играет важную роль, координируя аксиоматически определенную проективную плоскость. Доказательство замыкания фигуры Томсена покрыто доказательством «малой теоремы», приведенным выше. Но существует и простое прямое доказательство:

Поскольку в формулировке теоремы Томсена (замыкание рисунка) используются только термины соединять, пересекать и параллельно , это утверждение аффинно инвариантно, и можно ввести координаты такие, что $P=(0,0),\;Q=(1,0),\;R=(0,1)$ (см. диаграмму справа). Отправной точкой последовательности аккордов является $(0,\lambda ).$ Координаты точек легко проверить на схеме, на которой видно: последняя точка совпадает с первой точкой.

• 
  Фигура Томсена (точки $\color {red}1,2,3,4,5,6$ треугольника $PQR$) как двойственная теорема к малой теореме Паппа ( $U$ тоже на бесконечности!).
• 
  Фигура Томсена: доказательство

Другие утверждения теоремы

Треугольники $XcC$ и $BbY$ являются перспективными с $A$ и $a$, и так, также из $Z$.

В дополнение к приведенным выше характеристикам теоремы Паппа и двойственной к ней теоремы эквивалентны следующие утверждения:

• Если шесть вершин шестиугольника лежат попеременно на двух прямых, то три точки пересечения пар противоположных сторон лежат на одной прямой.
• Расположен в матрице из девяти точек (как на рисунке и в описании выше) и рассматривается как оценка перманента : если первые две строки и шесть «диагональных» триад коллинеарны, то третья строка коллинеарна.

$\left|{\begin{matrix}A&B&C\\a&b&c\\X&Y&Z\end{matrix}}\right|$

То есть, если $\ ABC,abc,AbZ,BcX,CaY,XbC,YcA,ZaB\$ являются линиями, то теорема Паппа утверждает, что $XYZ$ должна быть линия. Также обратите внимание, что та же матричная формулировка применима к двойственной форме теоремы, когда $(A,B,C)$ и т. д. представляют собой тройки параллельных строк.

• Учитывая три различных точки на каждой из двух различных линий, соедините каждую точку на одной из линий с одной из другой линии, тогда соединения неспаренных точек будут встречаться в (противоположных) парах в точках вдоль линии.
• Если два треугольника перспективны хотя бы в двух разных отношениях, то они перспективны в трех отношениях.
• Если $\;AB,CD,\;$ и $EF$ одновременно и $DE,FA,$ и $BC$ параллельны, то $AD,BE,$ и $CF$ являются одновременными.

Происхождение

В своей самой ранней известной форме теорема Паппа представляет собой предложения 138, 139, 141 и 143 книги VII « Паппа» Сборника . Это леммы XII, XIII, XV и XVII в части книги VII, состоящей из лемм к первой из трех книг Евклида Поризмов .

Леммы доказываются на основе того, что сегодня известно как перекрестное отношение четырех коллинеарных точек. Используются три предыдущие леммы. Первая из них, лемма III, имеет приведенную ниже диаграмму (в которой используются буквы Паппа: G вместо Γ, D вместо Δ, J вместо Θ и L вместо Λ).

Здесь три совпадающие прямые AB, AG и AD пересекаются двумя прямыми JB и JE, сходящимися в точке J. Также КЛ нарисован параллельно АЗ. Затем

KJ : JL :: (KJ : AG & AG : JL) :: (JD : GD и BG : JB).

Сегодня эти пропорции можно записать в виде уравнений:

KJ/JL = (KJ/AG)(AG/JL) = (JD/GD)(BG/JB).

Последнее составное соотношение (а именно JD: GD и BG: JB) — это то, что сегодня известно как перекрестное соотношение коллинеарных точек J, G, D и B в этом порядке; сегодня он обозначается (J, G; D, B). Итак, мы показали, что это не зависит от выбора конкретной прямой JD, пересекающей три прямые, совпадающие в точке A. В частности,

(J, G; D, B) = (J, Z; H, E).

Не имеет значения, с какой стороны от А падает прямая JE. В частности, ситуация может быть такой, как на следующей диаграмме, которая является диаграммой леммы X.

Как и прежде, имеем (J, G; D, B) = (J, Z; H, E). Папп не доказывает этого явно; но лемма X является обратной, а именно: если эти два перекрестных отношения одинаковы и прямые BE и DH пересекаются в точке A, то точки G, A и Z должны быть коллинеарны.

То, что мы показали изначально, можно записать как (J, ∞; K, L) = (J, G; D, B), где ∞ занимает место (несуществующего) пересечения JK и AG. Папп фактически показывает это в лемме XI, диаграмма которой, однако, имеет другие буквы:

Паппус показывает DE.ZH : EZ.HD :: GB : BE, что можно записать как

(D, Z; E, H) = (∞, B; E, G).

Схема для леммы XII:

Диаграмма для леммы XIII та же самая, но расширенные BA и DG встречаются в N. В любом случае, считая прямые линии, проходящие через G, пересеченными тремя прямыми линиями, проходящими через A (и признавая, что уравнения перекрестных отношений остаются в силе после перестановку элементов), мы имеем по лемме III или XI

(G, J; E, H) = (G, D; ∞ Z).

Учитывая, что прямые линии, проходящие через D, пересекаются тремя прямыми, проходящими через B, мы имеем

(L, D; E, K) = (G, D; ∞ Z).

Таким образом, (E, H; J, G) = (E, K; D, L), поэтому по лемме X точки H, M и K лежат на одной прямой. То есть точки пересечения пар противоположных сторон шестиугольника ADEGBZ лежат на одной прямой.

Леммы XV и XVII состоят в том, что если точку М определить как пересечение HK и BG, то точки A, M и D лежат на одной прямой. То есть точки пересечения пар противоположных сторон шестиугольника БЕХЗГ лежат на одной прямой.

Ссылки

• Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-50458-0 , МР   0123930
• Кронхейм, А. (1953), «Доказательство теоремы Хессенберга», Proceedings of the American Mathematical Society , 4 (2): 219–221, doi : 10.2307/2031794 , JSTOR   2031794
• Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия , Берлин: Springer-Verlag
• Хит, Томас (1981) [1921], История греческой математики , Нью-Йорк: Dover Publications
• Хессенберг, Герхард (1905), «Доказательство теоремы Дезарга из теории Паскаля», Mathematical Annals , 61 (2), Берлин / Гейдельберг: Springer: 161–172, doi : 10.1007/BF01457558 , ISSN   1432-1807 , S2CID   120456855
• Хульч, Фредерик (1877), Остатки коллекции Паппи Александрини , Берлин {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних до наших дней , Нью-Йорк: Oxford University Press
• Памбучян, Виктор; Шахт, Селия (2019), «Аксиоматическая судьба теорем Паппа и Дезарга», в Дэни, С.Г.; Пападопулос А. (ред.), Геометрия в истории , Springer, стр. 355–399, ISBN  978-3-030-13611-6
• Уичер, Олив (1971), Проективная геометрия , Rudolph Steiner Press, ISBN  0-85440-245-4

Внешние ссылки

• Теорема Паппа о шестиугольнике при разрезании узла
• Двойственно теореме Паппа о шестиугольнике при разрезании узла
• Теорема Паппа: девять доказательств и три вариации