Теорема о пересечении

В проективной геометрии теорема пересечения или теорема инцидентности — это утверждение, касающееся структуры инцидентности , состоящей из точек, линий и, возможно, объектов более высокой размерности и их инцидентностей, вместе с парой объектов $A$ и $B$ (например, точка и линия). « Теорема » утверждает, что всякий раз, когда набор объектов удовлетворяет инцидентностям ( т.е. может быть отождествлен с объектами структуры инцидентности таким образом, что инцидентность сохраняется), тогда объекты $A$ и $B$ также должны быть инцидентами. Теорема о пересечении не обязательно верна во всех проективных геометриях; это свойство, которому некоторые геометрии удовлетворяют, а другие нет.

Например, теорему Дезарга можно сформулировать, используя следующую структуру инцидентности:

Очки: $\{A,B,C,a,b,c,P,Q,R,O\}$
Линии: $\{AB,AC,BC,ab,ac,bc,Aa,Bb,Cc,PQ\}$
Случаи (помимо очевидных, таких как $(A,AB)$ ): $\{(O,Aa),(O,Bb),(O,Cc),(P,BC),(P,bc),(Q,AC),(Q,ac),(R,AB),(R,ab)\}$

Импликация тогда $(R,PQ)$ — точка $R$ инцидентна прямой $PQ$ .

Известные примеры

Теорема Дезарга справедлива в проективной плоскости $P$ тогда и только тогда, когда $P$ — проективная плоскость над некоторым телом (телом) $D$ — $P=\mathbb {P} _{2}D$ . Проективная плоскость тогда называется дезарговой .Теорема Амицура и Бергмана утверждает, что в контексте дезарговых проективных плоскостей для каждой теоремы о пересечении существует рациональное тождество, такое, что плоскость $P$ удовлетворяет теореме о пересечении тогда и только тогда, когда тело $D$ удовлетворяет рациональному тождеству.

Теорема Паппа о шестиугольнике справедлива в дезарговой проективной плоскости. $\mathbb {P} _{2}D$ тогда и только тогда, когда $D$ — поле ; это соответствует тождеству $\forall a,b\in D,\quad a\cdot b=b\cdot a$ .
Аксиома Фано (которая утверждает, что определенного пересечения не происходит) справедлива. $\mathbb {P} _{2}D$ тогда и только тогда, когда $D$ имеет характеристику $\neq 2$ ; оно соответствует тождеству $a + a = 0$ .

Ссылки

Роуэн, Луи Галле, изд. (1980). Полиномиальные тождества в теории колец . Чистая и прикладная математика. Том. 84. Академическая пресса. дои : 10.1016/s0079-8169(08)x6032-5 . ISBN 9780125998505 .
Амицур, С.А. (1966). «Рациональные тождества и приложения к алгебре и геометрии» . Журнал алгебры . 3 (3): 304–359. дои : 10.1016/0021-8693(66)90004-4 .