Параллельные линии

Линии A, B и C совпадают в Y.

В геометрии , линии на плоскости или в многомерном пространстве считаются параллельными если они пересекаются в одной точке .

Совокупность всех прямых, проходящих через точку, называется карандашом , а их общее пересечение — вершиной карандаша. В любом аффинном пространстве (включая евклидово пространство ) набор прямых, параллельных данной прямой (имеющих одну и ту же ориентацию ), также называется карандашом , а вершина каждого пучка параллельных прямых является отдельной точкой в ​​бесконечности ; включение этих точек приводит к созданию проективного пространства , в котором каждая пара прямых имеет пересечение.

Примеры

Треугольники

В треугольнике четырьмя основными типами наборов совпадающих прямых являются высоты , биссектрисы , медианы и биссектрисы :

• Высоты треугольника проходят от каждой вершины и встречаются с противоположной стороной под прямым углом . Точка, где встречаются три высоты, является ортоцентром .
• Биссектрисы угла — это лучи, исходящие из каждой вершины треугольника и делящие соответствующий угол пополам . Все они встречаются в центре .
• Медианы соединяют каждую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы встречаются в центроиде .
• Биссектрисы – это линии, выходящие из середин каждой стороны треугольника под углом 90 градусов. Три серединных перпендикуляра встречаются в центре описанной окружности .

Другие наборы линий, связанные с треугольником, также являются параллельными. Например:

• Любая медиана (которая обязательно является биссектрисой площади треугольника ) совпадает с двумя другими биссектрисами площади, каждая из которых параллельна стороне.
• Кливер треугольника — это отрезок, который делит периметр треугольника пополам и имеет одну конечную точку в середине одной из трех сторон. Три скалывателя совпадают в центре круга Шпикера , который является вписанной окружностью медиального треугольника .
• Разветвитель треугольника — это отрезок линии, имеющий одну конечную точку в одной из трех вершин треугольника и делящий периметр пополам. Три разделителя совпадают в точке Нагеля треугольника.
• Любая линия, проходящая через треугольник, которая делит площадь треугольника и его периметр пополам, проходит через incenter треугольника , и каждый треугольник имеет одну, две или три такие линии. Таким образом, если их трое, они совпадают в центре.
• Точка Тарри треугольника — это точка совпадения линий, проходящих через вершины треугольника, перпендикулярных соответствующим сторонам первого треугольника Брокара .
• Точка Шиффлера треугольника - это точка совпадения линий Эйлера четырех треугольников: рассматриваемого треугольника и трех треугольников, каждый из которых имеет с ним две общие вершины и имеет центр в качестве другой вершины.
• Точки Наполеона и их обобщения являются точками совпадения. Например, первая точка Наполеона — это точка совпадения трех линий, каждая из которых ведет от вершины к центру тяжести равностороннего треугольника, нарисованного на внешней стороне противоположной от вершины стороны. Обобщением этого понятия является точка Якоби .
• Точка де Лонгшана — это точка совпадения нескольких линий с линией Эйлера .
• Три линии, каждая из которых образована путем рисования внешнего равностороннего треугольника на одной из сторон данного треугольника и соединения новой вершины с противоположной вершиной исходного треугольника, совпадают в точке, называемой первым изогональным центром . В случае, когда исходный треугольник не имеет угла больше 120°, эта точка также является точкой Ферма .
• Точка Аполлония — это точка совпадения трех линий, каждая из которых соединяет точку касания окружности, к которой внутренне касаются вписанные окружности треугольника , с противоположной вершиной треугольника.

Четырехугольники

• Две бимедианы четырехугольника . (отрезки, соединяющие середины противоположных сторон) и отрезок, соединяющий середины диагоналей, совпадают и делятся пополам точкой пересечения
• В касательном четырехугольнике четыре биссектрисы совпадают в центре вписанной окружности .
• Другие схождения касательного четырехугольника приведены здесь .
• В вписанном четырехугольнике четыре отрезка, каждый из которых перпендикулярен противоположной стороны одной стороне и проходит через середину , совпадают. Эти отрезки называются мальтийами . что является аббревиатурой средней точки высоты. Их общая точка называется антицентром .
• Выпуклый четырехугольник является экскасательным тогда и только тогда, когда существует шесть совпадающих биссектрис: биссектрисы внутреннего угла при двух противоположных углах при вершине, биссектрисы внешнего угла при двух других углах при вершине и биссектрисы внешнего угла при углах, образованных продолжения противоположных сторон пересекаются.

Шестиугольники

• Если последовательные стороны циклического шестиугольника — это a , b , c , d , e , f , то три основные диагонали совпадают в одной точке тогда и только тогда, когда ace = bdf .
• Если в шестиугольник есть вписанная коника , то по теореме Брианшона его главные диагонали совпадают (как на изображении выше).
• Совпадающие прямые возникают в двойственной теореме Паппа о шестиугольнике .
• Для каждой стороны вписанного шестиугольника продлите смежные стороны до их пересечения, образуя треугольник, внешний по отношению к данной стороне. Тогда отрезки, соединяющие центры описанных окружностей противоположных треугольников, совпадают.

Правильные многоугольники

• Если у правильного многоугольника четное число сторон, то диагонали, соединяющие противоположные вершины, совпадают в центре многоугольника.

Круги

• Биссектрисы всех хорд окружности окружности совпадают в центре .
• Линии, перпендикулярные касательным к окружности в точках касания, совпадают в центре.
• Все площади биссектрисы и биссектрисы периметра круга являются диаметрами и совпадают в центре круга.

Эллипсы

• Все биссектрисы площади и биссектрисы периметра эллипса совпадают в центре эллипса.

Гиперболы

• В гиперболе гиперболы одновременно совпадают: (1) окружность, проходящая через фокусы и с центром в центре гиперболы; (2) любая из прямых, касающихся гиперболы в вершинах; и (3) любая из асимптот гиперболы.
• Следующие элементы также являются параллельными: (1) окружность с центром в центре гиперболы и проходящая через вершины гиперболы; (2) любая директриса; и (3) любая из асимптот.

Тетраэдры

• В тетраэдре четыре медианы и три бимедианы совпадают в точке, называемой центроидом тетраэдра.
• Изодинамический тетраэдр - это тетраэдр, в котором чевианы , соединяющие вершины с центрами противоположных граней, совпадают, а изогонический тетраэдр имеет совпадающие чевианы, соединяющие вершины с точками контакта противоположных граней с вписанной сферой тетраэдра. .
• В ортоцентрическом тетраэдре четыре высоты совпадают.

Алгебра

См. Также: Заболеваемость (геометрия) § Совпадение

Согласно теореме Руше–Капелли , система уравнений непротиворечива тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы (матрицы коэффициентов, дополненной столбцом членов-членов), и система имеет единственное решение тогда и только тогда , когда этот общий ранг равен количеству переменных. Таким образом, при двух переменных k линий на плоскости, связанных с набором k уравнений, совпадают тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов k × 2 и ранг расширенной матрицы k × 3 равны 2. В этом В этом случае только два из k уравнений являются независимыми , а точку совпадения можно найти, решая любые два взаимно независимых уравнения одновременно для двух переменных.

Проективная геометрия

В проективной геометрии в двух измерениях параллелизм двойником коллинеарности является ; в трех измерениях параллелизм является двойником компланарности .

Внешние ссылки

• Wolfram MathWorld Concurrent , 2010.