Теорема Руше – Капелли

Теорема Руше-Капелли — теорема линейной алгебры , определяющая количество решений системы линейных уравнений с учетом ранга ее дополненной матрицы и матрицы коэффициентов . Теорема известна под разными названиями:

Теорема Руше-Капелли в англоязычных странах , Италии и Бразилии ;
Теорема Кронекера-Капелли в Австрии , Польше , Украине , Хорватии , Румынии , Сербии и России ;
Теорема Руше – Фонтене во Франции ;
Теорема Руше-Фробениуса в Испании и многих странах Латинской Америки ;
Теорема Фробениуса в Чехии и Словакии .

Официальное заявление

Система линейных уравнений с $n$ переменными и коэффициентами в поле $K$ имеет решение тогда и только тогда, когда ее матрица коэффициентов $A$ и ее дополненная матрица $[A | б]$ имеют одинаковый ранг . ^{[ 1 ]} Если решения существуют, они образуют подпространство аффинное $K^{n}$ размерности $n - ранг(А)$ . В частности:

если $n = Rank(A)$ , решение единственное,
если $n > Rank(A)$ и $K$ — бесконечное поле , система линейных уравнений допускает бесконечно много решений,
если $K$ — конечное поле, число решений конечно, а именно $|K|^{n-\mathrm {rank} (A)}$ .

Пример

Рассмотрим систему уравнений

х + у + 2 г = 3,

х + у + г = 1,

2 х + 2 у + 2 г = 2.

Матрица коэффициентов

A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},

и расширенная матрица

(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&2\end{array}}\right].

Поскольку оба они имеют одинаковый ранг, а именно 2, существует хотя бы одно решение; и поскольку их ранг меньше числа неизвестных (последнее равно 3), решений существует бесконечно много.

Напротив, рассмотрим систему

х + у + 2 г = 3,

х + у + г = 1,

2 х + 2 у + 2 г = 5.

Матрица коэффициентов

A={\begin{bmatrix}1&1&2\\1&1&1\\2&2&2\\\end{bmatrix}},

и расширенная матрица

(A|B)=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&1&2&3\\1&1&1&1\\2&2&2&5\end{array}}\right].

В этом примере матрица коэффициентов имеет ранг 2, а расширенная матрица — ранг 3; поэтому эта система уравнений не имеет решения. Действительно, увеличение числа линейно независимых столбцов сделало систему уравнений несовместной.

Доказательство

Существует несколько доказательств теоремы. Один из них следующий.

Использование метода исключения Гаусса для приведения расширенной матрицы в виде сокращенного звена строк не меняет множество решений и ранги задействованных матриц. Теорему можно прочитать почти непосредственно на сокращенной форме эшелона строк следующим образом.

Ранг матрицы — это количество ненулевых строк в форме сокращенного эшелона строк. Если ранги матрицы коэффициентов и расширенной матрицы различны, то последняя ненулевая строка имеет вид $[0\ldots 0\mid 1],$ соответствующее уравнению $0 = 1$ . В противном случае $i$ -я строка сокращенной формы эшелона строк позволяет выразить $i$ -ю ведущую переменную как сумму константы и линейной комбинации несводных переменных, показывая, что размерность множества решений равна числу неосновных переменных. -сводные переменные.

См. также

Правило Крамера

Ссылки

^ Шафаревич Игорь Робертович; Ремизов, Алексей (23 августа 2012 г.). Линейная алгебра и геометрия . Springer Science & Business Media. п. 56. ИСБН 9783642309946 .

А. Карпинтери (1997). Строительная механика . Тейлор и Фрэнсис. п. 74. ИСБН 0-419-19160-7 .

Внешние ссылки

Теорема Кронекера-Капелли в Wikibooks
Теорема Кронекера-Капелли - видео на YouTube с доказательством
Теорема Кронекера-Капелли в математической энциклопедии

[1] Шафаревич Игорь Робертович; Ремизов, Алексей (23 августа 2012 г.). Линейная алгебра и геометрия . Springer Science & Business Media. п. 56. ИСБН 9783642309946 .

[ 1 ]