Аффинное пространство

Не путать с аффинити-пространством .

В $\mathbb {R} ^{3},$ верхняя плоскость (синим цветом) $P_{2}$ не является векторным подпространством, поскольку $\mathbf {0} \notin P_{2}$ и $\mathbf {a} +\mathbf {b} \notin P_{2};$ это аффинное подпространство . Его направление (линейное подпространство, связанное с этим аффинным подпространством) — это нижняя (зеленая) плоскость. $P_{1},$, которое является векторным подпространством. Хотя $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ находятся в $P_{2},$ их разность — это вектор смещения , не принадлежащий $P_{2},$ но принадлежит векторному пространству $P_{1}.$

В математике аффинное пространство — это геометрическая структура , которая обобщает некоторые свойства евклидовых пространств таким образом, что они независимы от понятий расстояния и меры углов , сохраняя только свойства, связанные с параллельностью и соотношением длин параллельных пространств. отрезки линии . Аффинное пространство — это настройка аффинной геометрии .

Как и в евклидовом пространстве, фундаментальные объекты в аффинном пространстве называются точками , которые можно рассматривать как местоположения в пространстве без какого-либо размера или формы: нульмерные . Через любую пару точек можно провести бесконечную прямую — одномерный набор точек; двумерную плоскость через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести ; и вообще, через k + 1 точку общего положения k -мерное плоское можно нарисовать или аффинное подпространство. Аффинное пространство характеризуется представлением пар параллельных линий, которые лежат в одной плоскости, но никогда не встречаются друг с другом (непараллельные линии в одной плоскости пересекаются в точке). Учитывая любую линию, линия, параллельная ей, может быть проведена через любую точку пространства, и класс эквивалентности говорят, что параллельных линий имеет общее направление .

В отличие от векторов в векторном пространстве , в аффинном пространстве нет выделенной точки, которая служила бы началом координат . Не существует заранее определенной концепции сложения или умножения точек, а также умножения точки на скалярное число. Однако для любого аффинного пространства связанное векторное пространство может быть построено на основе разностей между начальной и конечной точками, которые называются векторами смещения , перемещения векторами или просто перемещениями . Аналогично, имеет смысл добавить вектор смещения к точке аффинного пространства, в результате чего новая точка будет переведена из начальной точки этим вектором. Хотя точки не могут быть произвольно сложены вместе, имеет смысл брать аффинные комбинации точек: взвешенные суммы с числовыми коэффициентами, сумма которых равна 1, что приводит к получению еще одной точки. Эти коэффициенты определяют барицентрическую систему координат квартиры через точки.

Любое векторное пространство можно рассматривать как аффинное пространство; это равнозначно «забытию» особой роли нулевого вектора . В этом случае элементы векторного пространства можно рассматривать либо как точки аффинного пространства, либо как векторы смещения или трансляции . Если рассматривать нулевой вектор как точку, он называется началом координат . Добавление фиксированного вектора к элементам линейного подпространства (векторного подпространства) векторного пространства создает аффинное подпространство векторного пространства. Обычно говорят, что это аффинное подпространство было получено путем перемещения (от начала координат) линейного подпространства с помощью вектора перемещения (вектора, добавленного ко всем элементам линейного пространства). В конечных размерностях такое аффинное подпространство является множеством решений неоднородной линейной системы. Векторы смещения этого аффинного пространства являются решениями соответствующей однородной линейной системы, которая является линейным подпространством. Линейные подпространства, напротив, всегда содержат начало векторного пространства.

Размерность размерность аффинного пространства определяется как векторного пространства его переводов. Аффинное пространство размерности один — это аффинная линия . Аффинное пространство размерности 2 является аффинной плоскостью . Аффинное подпространство размерности n – 1 в аффинном пространстве или векторном пространстве размерности n является аффинной гиперплоскостью .

Неофициальное описание

Происхождение с точки зрения Алисы и Боба. Векторные вычисления с точки зрения Алисы показаны красным, а с точки зрения Боба — синим.

Следующую характеристику, возможно, легче понять, чем обычное формальное определение: аффинное пространство — это то, что осталось от векторного пространства после того, как мы забыли, какая точка является началом координат (или, по словам французского математика Марселя Берже , «аффинное пространство пространство — это не что иное, как векторное пространство, о происхождении которого мы пытаемся забыть, добавляя переводы к линейным картам». ). Представьте, что Алиса знает, что определенная точка является фактическим началом координат, но Боб считает, что другая точка — назовем ее p — является началом координат. два вектора a и b Необходимо сложить . Боб рисует стрелку из точки p в точку a и еще одну стрелку из точки p в точку b и завершает параллелограмм, чтобы найти то, что, по мнению Боба, равно a + b , но Алиса знает, что он на самом деле вычислил

п + ( а - п ) + ( б - п ) .

Точно так же Алиса и Боб могут оценить любую линейную комбинацию a b и или любого конечного набора векторов и, как правило , получат разные ответы. Однако если сумма коэффициентов линейной комбинации равна 1, то Алиса и Боб придут к одному и тому же ответу.

Если Алиса отправится в

λ а + (1 − λ) б

тогда Боб аналогичным образом может отправиться в

п + λ( а - п ) + (1 - λ)( б - п ) знак равно λ а + (1 - λ) б .

При этом условии для всех коэффициентов λ + (1 − λ) = 1 Алиса и Боб описывают одну и ту же точку с одной и той же линейной комбинацией, несмотря на использование разных начал координат.

Хотя только Алиса знает «линейную структуру», и Алиса, и Боб знают «аффинную структуру», то есть значения аффинных комбинаций , определяемых как линейные комбинации, в которых сумма коэффициентов равна 1. Множество с аффинной структурой — это аффинное пространство.

Определение

Хотя аффинное пространство можно определить аксиоматически (см. § Аксиомы ниже), аналогично определению евклидова пространства, подразумеваемому » Евклида «Элементами , для удобства большинство современных источников определяют аффинные пространства в терминах хорошо развитой теории векторного пространства.

Аффинное пространство — это множество A вместе с векторным пространством. ${\overrightarrow {A}}$и транзитивное и действие аддитивной группы свободное ${\overrightarrow {A}}$ множестве А. на Элементы аффинного пространства А называются точками . Векторное пространство ${\overrightarrow {A}}$ Говорят, что оно связано с аффинным пространством, а его элементы называются векторами , трансляциями или иногда свободными векторами .

В явном виде приведенное выше определение означает, что действие представляет собой отображение, обычно обозначаемое как дополнение,

${\begin{aligned}A\times {\overrightarrow {A}}&\to A\\(a,v)\;&\mapsto a+v,\end{aligned}}$

который имеет следующие свойства.

1. Правильная личность :

   $\forall a\in A,\;a+0=a$, где 0 — нулевой вектор в ${\overrightarrow {A}}$

2. Ассоциативность :

   $\forall v,w\in {\overrightarrow {A}},\forall a\in A,\;(a+v)+w=a+(v+w)$ (здесь последний + — это добавление в ${\overrightarrow {A}}$)

3. Свободное и переходное действие :

   Для каждого $a\in A$, отображение ${\overrightarrow {A}}\to A\colon v\mapsto a+v$ является биекцией .

Первые два свойства просто определяют свойства (правого) группового действия. Третье свойство характеризует свободные и транзитивные действия, причем из транзитивности вытекает онтотип , а инъективный из свободы действия вытекает характер. Существует четвертое свойство, вытекающее из пунктов 1, 2 выше:

4. Наличие индивидуальных переводов

Для всех $v\in {\overrightarrow {A}}$, отображение $A\to A\colon a\mapsto a+v$ является биекцией.

Свойство 3 часто используют в следующей эквивалентной форме (5-е свойство).

5. Вычитание:

Для каждого a , b в A существует уникальный $v\in {\overrightarrow {A}}$, обозначаемый b – a , такой, что $b=a+v$.

Другой способ выразить определение состоит в том, что аффинное пространство — это главное однородное пространство для действия аддитивной группы векторного пространства. Однородные пространства по определению наделены транзитивным групповым действием, а для главного однородного пространства такое транзитивное действие по определению свободно.

Вычитание и аксиомы Вейля

Свойства группового действия позволяют определить вычитание для любой заданной упорядоченной пары ( b , a ) точек в A , создавая вектор ${\overrightarrow {A}}$. Этот вектор, обозначенный $b-a$ или ${\overrightarrow {ab}}$, определяется как уникальный вектор в ${\overrightarrow {A}}$ такой, что

$a+(b-a)=b.$

Существование следует из транзитивности действия, а единственность вытекает из того, что действие свободно.

Это вычитание обладает двумя следующими свойствами, называемыми Вейля : аксиомами

1. $\forall a\in A,\;\forall v\in {\overrightarrow {A}}$, есть уникальная точка $b\in A$ такой, что $b-a=v.$
2. $\forall a,b,c\in A,\;(c-b)+(b-a)=c-a.$

выполняется Свойство параллелограмма в аффинных пространствах, где оно выражается как: по четырем точкам $a,b,c,d,$ равенства $b-a=d-c$ и $c-a=d-b$ эквивалентны. Это следует из второй аксиомы Вейля, поскольку $d-a=(d-b)+(b-a)=(d-c)+(c-a).$

Аффинные пространства можно эквивалентным образом определить как множество точек A вместе с векторным пространством. ${\overrightarrow {A}}$, и вычитание, удовлетворяющее аксиомам Вейля. В этом случае добавление вектора к точке определяется из первой аксиомы Вейля.

Аффинные подпространства и параллелизм

Аффинное подпространство (также называемое в некоторых контекстах линейным многообразием , плоскостью или, над действительными числами , линейным многообразием ) B аффинного пространства A — это подмножество A такое, что для данной точки $a\in B$, набор векторов ${\overrightarrow {B}}=\{b-a\mid b\in B\}$ является линейным подпространством ${\overrightarrow {A}}$. Это свойство, не зависящее от выбора a , означает, что B — аффинное пространство, имеющее ${\overrightarrow {B}}$ как связанное с ним векторное пространство.

Аффинные подпространства A - это подмножества A вида

$a+V=\{a+w:w\in V\},$

где a — точка A , а V — линейное подпространство ${\overrightarrow {A}}$.

Линейное подпространство, связанное с аффинным подпространством, часто называют его направлении , а два подпространства, имеющие одно и то же направление, называются параллельными .

Это подразумевает следующее обобщение аксиомы Плейфэра : для любого направления V для любой точки a из A существует одно и только одно аффинное подпространство направления V которое проходит через a , а именно подпространство a + V. ,

Каждый перевод $A\to A:a\mapsto a+v$ отображает любое аффинное подпространство в параллельное подпространство.

Термин «параллель» также используется для обозначения двух аффинных подпространств, направление одного из которых включено в направление другого.

Аффинная карта

Даны два аффинных пространства A и B, ассоциированные векторные пространства которых ${\overrightarrow {A}}$ и ${\overrightarrow {B}}$аффинное отображение или аффинный гомоморфизм из A в B — это отображение

$f:A\to B$

такой, что

${\begin{aligned}{\overrightarrow {f}}:{\overrightarrow {A}}&\to {\overrightarrow {B}}\\b-a&\mapsto f(b)-f(a)\end{aligned}}$

является четко определенным линейным отображением. К $f$ будучи корректным, это означает, что b – a = d – c подразумевает f ( b ) – f ( a ) = f ( d ) – f ( c ) .

Это означает, что в какой-то момент $a\in A$ и вектор $v\in {\overrightarrow {A}}$, у одного есть

$f(a+v)=f(a)+{\overrightarrow {f}}(v).$

поскольку для любого данного b в A Следовательно , b = a + v для уникального v , f полностью определяется своим значением в одной точке и соответствующим линейным отображением. ${\overrightarrow {f}}$.

Эндоморфизмы

Основные статьи: Аффинное преобразование и Аффинная группа

Аффинное преобразование или эндоморфизм аффинного пространства. $A$ является аффинным отображением этого пространства в себя. Одним из важных примеров является перевод: если задан вектор ${\overrightarrow {v}}$, карта перевода $T_{\overrightarrow {v}}:A\rightarrow A$ который отправляет $a\mapsto a+{\overrightarrow {v}}$ для каждого $a$ в $A$ является аффинным отображением. Другое важное семейство примеров — это линейные карты с центром в начале координат: задана точка $b$ и линейная карта $M$, можно определить аффинное отображение $L_{M,b}:A\rightarrow A$ к $$L_{M,b}(a)=b+M(a-b)$$для каждого $a$ в $A$.

После выбора происхождения $b$, любое аффинное отображение может быть записано однозначно как комбинация перевода и линейного отображения с центром в $b$.

Векторные пространства как аффинные пространства

Каждое векторное пространство V можно рассматривать как аффинное пространство над собой. Это означает, что каждый элемент V можно рассматривать либо как точку, либо как вектор. Это аффинное пространство иногда обозначается ( V , V ), подчеркнуть двойную роль элементов V. чтобы рассматривается как точка, Когда нулевой вектор он обычно обозначается o (или O , когда для точек используются заглавные буквы) и называется началом координат .

Если A — другое аффинное пространство над тем же векторным пространством (т.е. $V={\overrightarrow {A}}$) выбор любой точки a в A определяет единственный аффинный изоморфизм, который является тождеством V и отображает a в o . Другими словами, выбор начала координат a в A позволяет отождествить A и ( V , V ) с точностью до канонического изоморфизма . Противоположностью этого свойства является то, что аффинное пространство A можно отождествить с векторным пространством V, в котором «место начала забыто».

Связь с евклидовыми пространствами

Определение евклидовых пространств

Евклидовы пространства (включая одномерную линию, двумерную плоскость и трехмерное пространство, обычно изучаемые в элементарной геометрии, а также многомерные аналоги) являются аффинными пространствами.

Действительно, в большинстве современных определений евклидово пространство определяется как аффинное пространство, такое, что связанное векторное пространство представляет собой вещественное пространство внутреннего произведения конечной размерности, то есть векторное пространство над вещественными числами с положительно определенной квадратичной формой q. ( х ) . Внутренний продукт двух векторов x и y является значением симметричной билинейной формы

$x\cdot y={\frac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y)).$

Обычное евклидово расстояние между двумя точками A и B равно

$d(A,B)={\sqrt {q(B-A)}}.$

В более старом определении евклидовых пространств через синтетическую геометрию векторы определяются как классы эквивалентности упорядоченных пар точек при равновесии (пары ( A , B ) и ( C , D ) равносильны, если точки A , B , D , C ( именно в таком порядке) образуют параллелограмм . Несложно проверить, что векторы образуют векторное пространство, квадрат евклидова расстояния является квадратичной формой в пространстве векторов, а два определения евклидовых пространств эквивалентны.

Аффинные свойства

В евклидовой геометрии общая фраза « аффинное свойство » относится к свойству, которое можно доказать в аффинных пространствах, то есть его можно доказать без использования квадратичной формы и связанного с ней внутреннего продукта. Другими словами, аффинное свойство — это свойство, не связанное с длинами и углами. Типичными примерами являются параллелизм и определение касательной . Непримером является определение нормального .

Эквивалентно, аффинное свойство — это свойство, которое инвариантно относительно аффинных преобразований евклидова пространства.

Аффинные комбинации и барицентр

Пусть a ₁ , ..., an _n — набор из n точек в аффинном пространстве, и $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ быть n элементами основного поля .

Предположим, что $\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=0$. Для любых двух точек o и o' имеется

$\lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}=\lambda _{1}{\overrightarrow {o'a_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {o'a_{n}}}.$

Таким образом, эта сумма не зависит от выбора начала координат, а результирующий вектор можно обозначить

$\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.$

Когда $n=2,\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=-1$, получаем определение вычитания точек.

Теперь предположим, что элементы поля удовлетворяют $\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1$. Для некоторого выбора начала координат o обозначим через $g$ единственная точка такая, что

$\lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}={\overrightarrow {og}}.$

Можно показать, что $g$ не зависит от выбора o . Следовательно, если

$\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1,$

можно написать

$g=\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.$

Суть $g$ называется барицентром ​ $a_{i}$ для весов $\lambda _{i}$. Говорят также, что $g$ представляет собой аффинную комбинацию $a_{i}$ с коэффициентами $\lambda _{i}$.

Примеры

• Когда дети находят ответы на такие суммы, как 4 + 3 или 4 - 2 , считая вправо или влево на числовой прямой , они рассматривают числовую прямую как одномерное аффинное пространство.
• Время можно смоделировать как одномерное аффинное пространство. Конкретные моменты времени (например, дата в календаре) — это точки в аффинном пространстве, а длительности (например, количество дней) — это смещения.
• Пространство энергий является аффинным пространством для $\mathbb {R}$, поскольку зачастую не имеет смысла говорить об абсолютной энергии, но имеет смысл говорить об энергетических различиях. Энергия вакуума при ее определении приобретает каноническое происхождение.
• Физическое пространство часто моделируется как аффинное пространство для $\mathbb {R} ^{3}$ в нерелятивистских условиях и $\mathbb {R} ^{1,3}$ в релятивистской обстановке. Чтобы отличить их от векторного пространства, их иногда называют евклидовыми пространствами. ${\text{E}}(3)$ и ${\text{E}}(1,3)$.
• Любой смежный класс подпространства V векторного пространства является аффинным пространством над этим подпространством.
• Если T — матрица и b ее лежит в пространстве столбцов , множество решений уравнения T x = b является аффинным пространством над подпространством решений T x = 0 .
• Решения неоднородного линейного дифференциального уравнения образуют аффинное пространство над решениями соответствующего однородного линейного уравнения.
• Обобщая все вышесказанное, если T : V → W — линейное отображение и y лежит в его образе , множество решений x ∈ V уравнения T x = y является смежным классом ядра T и, следовательно, является аффинное пространство над Ker T   .
• Пространство (линейных) дополнительных подпространств векторного подпространства V в векторном пространстве W является аффинным пространством над Hom( W / V , V ) . То есть, если 0 → V → W → X → 0 — короткая точная последовательность векторных пространств, то пространство всех расщеплений точной последовательности естественным образом несет в себе структуру аффинного пространства над Hom( X , V ) .
• Пространство связностей (если смотреть со стороны векторного расслоения $E\xrightarrow {\pi } M$, где $M$ — гладкое многообразие ) — аффинное пространство для векторного пространства ${\text{End}}(E)$ оценены 1-формы . Пространство связностей (если смотреть со стороны главного расслоения $P\xrightarrow {\pi } M$) является аффинным пространством для векторного пространства ${\text{ad}}(P)$-значные 1-формы, где ${\text{ad}}(P)$ — ассоциированное присоединенное расслоение .

Аффинный диапазон и базы

Для любого непустого подмножества X аффинного пространства A существует наименьшее содержащее его аффинное подпространство, называемое оболочкой X аффинной . Это пересечение всех аффинных подпространств, содержащих X , и его направление является пересечением направлений аффинных подпространств, X. содержащих

Аффинная оболочка X — это набор всех (конечных) аффинных комбинаций точек , а ее направление — это оболочка линейная x − y для x и y в X. X Если кто-то выбирает конкретную точку x ₀ , направление аффинного промежутка X также является линейным промежутком x – x ₀ для x в X .

Говорят также, что аффинная оболочка X и X порождается что X является порождающим множеством ее аффинной оболочки.

Множество X точек аффинного пространства называется аффинно независимый или просто независимый аффинная оболочка любого строгого подмножества X X является строгим подмножеством аффинной оболочки , если . Ан Аффинный базис или барицентрический фрейм (см . § Барицентрические координаты ниже) аффинного пространства представляет собой порождающий набор, который также является независимым (то есть минимальным порождающим набором ).

Напомним, что размерность аффинного пространства — это размерность связанного с ним векторного пространства. Базисы аффинного пространства конечной размерности n — это независимые подмножества из n + 1 элементов или, что то же самое, порождающие подмножества из n + 1 элементов. Эквивалентно, { x ₀ , ..., x _n } является аффинным базисом аффинного пространства тогда и только тогда, когда { x ₁ - x ₀ , ..., x _n - x ₀ } является линейным базисом соответствующего вектора. космос.

Есть два сильно связанных типа систем координат , которые можно определить в аффинных пространствах.

Барицентрические координаты

См. Также: Барицентрическая система координат.

Пусть A — аффинное пространство размерности n над полем k и $\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ быть аффинным базисом A . Из свойств аффинного базиса следует, что для каждого в A существует единственный ( n + 1) -кортеж x $(\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n})$ элементов k таких, что

$\lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1$

и

$x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.$

The $\lambda _{i}$ называются барицентрическими координатами x над аффинным базисом $\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$. Если x _i рассматривать как тела, имеющие веса (или массы) $\lambda _{i}$ образом , точка x является барицентром x Таким _i , и это объясняет происхождение термина барицентрические координаты .

Барицентрические координаты определяют аффинный изоморфизм между аффинным пространством A и аффинным подпространством k ^{п + 1} определяется уравнением $\lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1$.

Для аффинных пространств бесконечной размерности применяется то же определение, но с использованием только конечных сумм. Это означает, что для каждой точки только конечное число координат отличны от нуля.

Аффинные координаты

Аффинный фрейм аффинного пространства состоит из точки, называемой началом координат , и линейного базиса соответствующего векторного пространства. Точнее, для аффинного пространства A с ассоциированным векторным пространством ${\overrightarrow {A}}$, начало o принадлежит A , а линейный базис является базисом v 1 _, ..., v _n ) ( ${\overrightarrow {A}}$ (для простоты обозначений мы рассматриваем только случай конечной размерности, общий случай аналогичен).

Для каждой точки p из A существует уникальная последовательность $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ элементов наземного поля таких, что

$p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},$

или эквивалентно

${\overrightarrow {op}}=\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n}.$

The $\lambda _{i}$ называются аффинными координатами p , в аффинной системе отсчета ( o , v ₁ ,... v _n ) .

Пример: В евклидовой геометрии декартовы координаты — это аффинные координаты относительно ортонормированной системы отсчета , то есть аффинной системы отсчета ( o , v ₁ , ..., v _n ), такой что ( v ₁ , ..., v _n ) является ортонормированный базис .

Связь между барицентрическими и аффинными координатами

Барицентрические координаты и аффинные координаты тесно связаны между собой и могут считаться эквивалентными.

Действительно, в барицентрической системе отсчёта

$(x_{0},\dots ,x_{n}),$

сразу выводится аффинная система координат

$(x_{0},{\overrightarrow {x_{0}x_{1}}},\dots ,{\overrightarrow {x_{0}x_{n}}})=\left(x_{0},x_{1}-x_{0},\dots ,x_{n}-x_{0}\right),$

и, если

$\left(\lambda _{0},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)$

— барицентрические координаты точки в барицентрической системе отсчета, то аффинные координаты той же точки в аффинной системе отсчета равны

$\left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).$

И наоборот, если

$\left(o,v_{1},\dots ,v_{n}\right)$

является аффинной рамкой, то

$\left(o,o+v_{1},\dots ,o+v_{n}\right)$

представляет собой барицентрическую систему отсчета. Если

$\left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)$

являются аффинными координатами точки в аффинной системе отсчета, то ее барицентрические координаты в барицентрической системе отсчета равны

$\left(1-\lambda _{1}-\dots -\lambda _{n},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).$

Следовательно, барицентрические и аффинные координаты практически эквивалентны. В большинстве приложений предпочтительны аффинные координаты, поскольку они включают меньше независимых координат. Однако в ситуациях, когда важные точки изучаемой задачи аффинно независимы, барицентрические координаты могут привести к более простым вычислениям, как в следующем примере.

Пример треугольника

Вершины неплоского треугольника образуют аффинный базис евклидовой плоскости . Барицентрические координаты позволяют легко охарактеризовать элементы треугольника, не связанные с углами или расстояниями:

Вершины — это точки барицентрических координат (1, 0, 0) , (0, 1, 0) и (0, 0, 1) . Линии, поддерживающие края, — это точки, имеющие нулевую координату. Сами ребра — это точки, имеющие одну нулевую координату и две неотрицательные координаты. Внутренностью . треугольника являются точки, все координаты которых положительны Медианы — это точки, имеющие две равные координаты, а центроид — это точка координат ( ⁠ 1 / 3 ⁠ , ⁠ 1 / 3 ⁠ , ⁠ 1 / 3 ⁠ ) .

Изменение координат

Случай барицентрических координат

Барицентрические координаты легко меняются от одного базиса к другому. Позволять $\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ и $\{x'_{0},\dots ,x'_{n}\}$ быть аффинными базисами A . Для каждого x в A существует кортеж $\{\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n}\}$ для чего

$x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.$

Аналогично для каждого $x_{i}\in \{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ из первого базиса, теперь мы имеем во втором базисе

$x_{i}=\lambda _{i,0}x'_{0}+\dots +\lambda _{i,j}x'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}x'_{n}$

для некоторого кортежа $\{\lambda _{i,0},\dots ,\lambda _{i,n}\}$. Теперь мы можем переписать наше выражение в первом базисе как выражение во втором с помощью

$\,x=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}x_{i}=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=0}^{n}\lambda _{i,j}x'_{j}=\sum _{j=0}^{n}{\biggl (}\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}x'_{j}\,,$

давая нам координаты во втором базисе в виде кортежа ${\textstyle {\bigl \{}\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,0},\,\dots ,\,{}}$${\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$.

Случай аффинных координат

Аффинные координаты также легко переходят из одного базиса в другой. Позволять $o$, $\{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ и $o'$, $\{v'_{1},\dots ,v'_{n}\}$ быть аффинными рамками A . Для каждой точки p из A существует уникальная последовательность $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ элементов наземного поля таких, что

$p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},$

и аналогично для каждого $v_{i}\in \{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ из первого базиса, теперь мы имеем во втором базисе

$o=o'+\lambda _{o,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{o,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{o,n}v'_{n}\,$

$v_{i}=\lambda _{i,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{i,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}v'_{n}$

для кортежа $\{\lambda _{o,1},\dots ,\lambda _{o,n}\}$ и кортежи $\{\lambda _{i,1},\dots ,\lambda _{i,n}\}$. Теперь мы можем переписать наше выражение в первом базисе как выражение во втором с помощью

${\begin{aligned}\,p&=o+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}={\biggl (}o'+\sum _{j=1}^{n}\lambda _{o,j}v'_{j}{\biggr )}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i,j}v'_{j}\\&=o'+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}\lambda _{o,j}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}v'_{j}\,,\end{aligned}}$

давая нам координаты во втором базисе в виде кортежа ${\textstyle {\bigl \{}\lambda _{o,1}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,1},\,\dots ,\,{}}$${\textstyle \lambda _{o,n}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$.

Свойства аффинных гомоморфизмов

Изображение и волокна

Позволять

$f\colon E\to F$

— аффинный гомоморфизм, причем

${\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}$

связанная с ним линейная карта. Образ f - это аффинное подпространство $f(E)=\{f(a)\mid a\in E\}$ F имеет , который ${\overrightarrow {f}}({\overrightarrow {E}})$ как связанное векторное пространство. Поскольку аффинное пространство не имеет нулевого элемента , аффинный гомоморфизм не имеет ядра . Однако линейное отображение ${\overrightarrow {f}}$ делает, и если мы обозначим через $K=\{v\in {\overrightarrow {E}}\mid {\overrightarrow {f}}(v)=0\}$ его ядро, то для любой точки x из $f(E)$, обратное изображение $f^{-1}(x)$ x направление является аффинным подпространством E, которого равно $K$. называется слоем x . Это аффинное подпространство

Проекция

Смотрите также: Проекция (математика)

Важным примером является проекция, параллельная некоторому направлению, на аффинное подпространство. Важность этого примера заключается в том, что евклидовы пространства являются аффинными пространствами и что такого рода проекции являются фундаментальными в евклидовой геометрии .

Точнее, учитывая аффинное пространство E с соответствующим векторным пространством ${\overrightarrow {E}}$, пусть F — аффинное подпространство направления ${\overrightarrow {F}}$, а D — дополнительное подпространство в ${\overrightarrow {F}}$ в ${\overrightarrow {E}}$ (это означает, что каждый вектор ${\overrightarrow {E}}$ может быть разложена единственным образом как сумма элементов ${\overrightarrow {F}}$ и элемент D ). Для каждой точки x из E ее проекция на F, параллельная D, является единственной точкой p ( x ) в F такой, что

$p(x)-x\in D.$

Это аффинный гомоморфизм, ассоциированное с ним линейное отображение ${\overrightarrow {p}}$ определяется

${\overrightarrow {p}}(x-y)=p(x)-p(y),$

для x и y в E .

Образ этой проекции — F его слои — подпространства направления D. , а

Факторное пространство

Хотя ядра для аффинных пространств не определены, факторпространства определены. Это следует из того, что «принадлежность одному и тому же слою аффинного гомоморфизма» является отношением эквивалентности.

Пусть E — аффинное пространство, а D — линейное подпространство соответствующего векторного пространства. ${\overrightarrow {E}}$. Фактор если E / D E D по такой это фактор E — по отношению эквивалентности , что x и y эквивалентны,

$x-y\in D.$

Этот фактор представляет собой аффинное пространство, имеющее ${\overrightarrow {E}}/D$ как связанное векторное пространство.

Для любого аффинного гомоморфизма $E\to F$, образ изоморфен фактору E по ядру соответствующего линейного отображения. Это первая теорема об изоморфизме аффинных пространств.

Аксиомы

Аффинные пространства обычно изучаются с помощью аналитической геометрии с использованием координат или, что то же самое, векторных пространств. Их также можно изучать как синтетическую геометрию , записывая аксиомы, хотя этот подход встречается гораздо реже. Существует несколько различных систем аксиом аффинного пространства.

Коксетер (1969 , стр. 192) аксиоматизирует частный случай аффинной геометрии над вещественными числами как упорядоченную геометрию вместе с аффинной формой теоремы Дезарга и аксиомой, утверждающей, что на плоскости существует не более одной линии, проходящей через данную точку, не пересекающей заданную точку. данную строку.

Аффинные плоскости удовлетворяют следующим аксиомам ( Камерон 1991 , глава 2):(в котором две прямые называются параллельными, если они равны илинепересекающиеся):

• Любые две различные точки лежат на одной прямой.
• Учитывая точку и линию, существует уникальная линия, содержащая точку и параллельная линии.
• Существуют три неколлинеарные точки.

Помимо аффинных плоскостей над полями (или тел ), существует также множество недезарговых плоскостей, удовлетворяющих этим аксиомам. ( Камерон 1991 , глава 3) дает аксиомы для аффинных пространств более высокой размерности.

Чисто аксиоматическая аффинная геометрия является более общей, чем аффинные пространства, и рассматривается в отдельной статье .

Связь с проективными пространствами

Аффинное пространство — это подпространство проективного пространства, которое, в свою очередь, является фактором векторного пространства по отношению эквивалентности (а не по линейному подпространству).

Аффинные пространства содержатся в проективных пространствах . Например, аффинную плоскость можно получить из любой проективной плоскости , удалив одну прямую и все точки на ней, и наоборот, любую аффинную плоскость можно использовать для построения проективной плоскости в качестве замыкания , добавив бесконечную линию , точки которой соответствуют классы эквивалентности параллельных прямых . Подобные конструкции справедливы и в более высоких размерностях.

Кроме того, преобразования проективного пространства, сохраняющие аффинное пространство (т. е. оставляющие гиперплоскость на бесконечности инвариантной как множество ), приводят к преобразованиям аффинного пространства. И наоборот, любое аффинное линейное преобразование однозначно расширяется до проективного линейного преобразования , поэтому аффинная группа является подгруппой проективной группы . Например, преобразования Мёбиуса (преобразования комплексной проективной прямой или сферы Римана ) являются аффинными (преобразования комплексной плоскости ) тогда и только тогда, когда они фиксируют точку на бесконечности .

Аффинная алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии аффинное многообразие (или, в более общем плане, аффинное алгебраическое множество ) определяется как подмножество аффинного пространства, которое представляет собой набор общих нулей набора так называемых полиномиальных функций над аффинным пространством . Для определения полиномиальной функции в аффинном пространстве необходимо выбрать аффинную систему координат . Тогда полиномиальная функция — это такая функция, что изображение любой точки является значением некоторой многомерной полиномиальной функции координат точки. Поскольку изменение аффинных координат может быть выражено линейными функциями (точнее, аффинными функциями) координат, это определение не зависит от конкретного выбора координат.

Выбор системы аффинных координат для аффинного пространства. $\mathbb {A} _{k}^{n}$ размерности n над полем k индуцирует аффинный изоморфизм между $\mathbb {A} _{k}^{n}$ и аффинное координатное пространство k ^н . Это объясняет, почему во многих учебниках для упрощения пишут $\mathbb {A} _{k}^{n}=k^{n}$и ввести аффинные алгебраические многообразия как общие нули полиномиальных функций над k ^н .

Поскольку все аффинное пространство представляет собой набор общих нулей нулевого многочлена , аффинные пространства являются аффинными алгебраическими многообразиями.

Кольцо полиномиальных функций

По приведенному выше определению выбор аффинной рамки аффинного пространства $\mathbb {A} _{k}^{n}$ позволяет идентифицировать полиномиальные функции на $\mathbb {A} _{k}^{n}$ с полиномами от n переменных, i -я переменная представляет функцию, которая сопоставляет точку с ее i -й координатой. Отсюда следует, что множество полиномиальных функций над $\mathbb {A} _{k}^{n}$ является k -алгеброй , обозначаемой $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$, изоморфное кольцу полиномов $k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]$.

При изменении координат изоморфизм между $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$ и $k[X_{1},\dots ,X_{n}]$ соответственно изменяется, и это индуцирует автоморфизм $k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]$, который отображает каждую неопределенную величину в полином первой степени. Отсюда следует, что степень определяет фильтрацию полная $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$, который не зависит от выбора координат. Общая степень определяет также градуировку , но она зависит от выбора координат, так как изменение аффинных координат может отобразить неопределенные величины на неоднородные многочлены .

Топология Зариского

См. Также: топология Зарисского.

Аффинные пространства над топологическими полями , такими как действительные или комплексные числа, имеют естественную топологию . Топология Зарисского, определенная для аффинных пространств над любым полем, в любом случае позволяет использовать топологические методы. Топология Зариского — это единственная топология в аффинном пространстве, замкнутые множества которого представляют собой аффинные алгебраические множества (то есть множества общих нулей полиномиальных функций над аффинным множеством). Поскольку полиномиальные функции над топологическим полем непрерывны, каждое замкнутое по Зарисскому множество замкнуто для обычной топологии, если таковая имеется. Другими словами, топология Зарисского над топологическим полем грубее естественной топологии.

Существует естественная инъективная функция из аффинного пространства во множество простых идеалов (то есть спектр ) его кольца полиномиальных функций. Когда выбраны аффинные координаты, эта функция отображает точку координат $\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)$ к максимальному идеалу $\left\langle X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}\right\rangle$. Эта функция является гомеоморфизмом (для топологии Зарисского аффинного пространства и спектра кольца полиномиальных функций) аффинного пространства на образ функции.

Случай алгебраически замкнутого основного поля особенно важен в алгебраической геометрии, потому что в этом случае приведенный выше гомеоморфизм представляет собой отображение между аффинным пространством и множеством всех максимальных идеалов кольца функций (это Nullstellensatz Гильберта ).

Это исходная идея теории схем Гротендика , которая состоит в том, чтобы при изучении алгебраических многообразий рассматривать в качестве «точек» не только точки аффинного пространства, но и все простые идеалы спектра. Это позволяет склеивать алгебраические многообразия аналогично тому, как для склеиваются многообразий . карты для построения многообразия

Когомологии

Как и все аффинные разновидности, локальные данные в аффинном пространстве всегда можно объединить глобально: когомологии аффинного пространства тривиальны. Точнее, $H^{i}\left(\mathbb {A} _{k}^{n},\mathbf {F} \right)=0$ для всех когерентных пучков F и целых чисел $i>0$. Этим свойством обладают и все остальные родственные сорта . Но также все группы этальных когомологий в аффинном пространстве тривиальны. В частности, каждое линейное расслоение тривиально. В более общем смысле, из теоремы Квиллена–Суслина следует, что каждое алгебраическое векторное расслоение над аффинным пространством тривиально.

См. также

• Аффинная оболочка - наименьшее аффинное подпространство, содержащее подмножество.
• Комплексное аффинное пространство - Аффинное пространство над комплексными числами.
• Анализ размеров § Геометрия: положение и смещение
• Экзотическое аффинное пространство - Реальное аффинное пространство четной размерности, не изоморфное комплексному аффинному пространству.
• Пространство (математика) - математический набор с некоторой дополнительной структурой.
• Барицентрическая система координат - система координат, определяемая точками, а не векторами.

Ссылки

• Бергер, Марсель (1984), «Аффинные пространства» , Проблемы геометрии , Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90971-4
• Бергер, Марсель (1987), Геометрия I , Берлин: Springer, ISBN  3-540-11658-3
• Кэмерон, Питер Дж. (1991), Проективные и полярные пространства , QMW Maths Notes, vol. 13, Лондон: Школа математических наук колледжа Королевы Марии и Вестфилда, MR   1153019
• Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-50458-0 , МР   0123930
• Долгачев, ИВ ; Широков, А.П. (2001) [1994], «Аффинное пространство» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Хартшорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Спрингер-Верлаг . ISBN  978-0-387-90244-9 . Збл   0367.14001 .
• Номидзу, К. ; Сасаки, С. (1994), Аффинная дифференциальная геометрия (новое издание), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-44177-3
• Снаппер, Эрнст ; Тройер, Роберт Дж. (1989), Метрическая аффинная геометрия (Дуврское издание, впервые опубликовано в 1989 году), Dover Publications, ISBN  0-486-66108-3
• Ревентос Таррида, Агусти (2011), «Аффинные пространства», Аффинные карты, евклидовы движения и квадрики , Springer, ISBN  978-0-85729-709-9