Математическая структура

О понятии «структура» в математической логике см. Структура (математическая логика) .

В математике структура набор — это , снабженный некоторыми дополнительными функциями этого набора (например, операцией , отношением , метрикой или топологией ). Часто дополнительные функции прикрепляются к набору или связаны с ним, чтобы придать ему дополнительный смысл или значение.

Частичным списком возможных структур являются меры , алгебраические структуры ( группы , поля и т. д.), топологии , метрические структуры ( геометрии ), порядки , графы , события , отношения эквивалентности , дифференциальные структуры и категории .

Иногда набор наделен более чем одним признаком одновременно, что позволяет математикам более полно изучать взаимодействие между различными структурами. Например, упорядочение налагает на набор жесткую форму, форму или топологию, и если набор имеет как топологический признак, так и групповой признак, так что эти два признака связаны определенным образом, то структура становится топологической . группа .

Отображения между множествами, сохраняющими структуры (т. е. структуры в предметной области отображаются в эквивалентные структуры в кодомене ), представляют особый интерес во многих областях математики. Примерами являются гомоморфизмы , сохраняющие алгебраические структуры; гомеоморфизмы , сохраняющие топологические структуры; и диффеоморфизмы , сохраняющие дифференциальные структуры.

История

В 1939 году французская группа под псевдонимом Николя Бурбаки рассматривала структуры как корень математики. Впервые они упомянули их в своем «Главе» по теории множеств и расширили его до главы IV издания 1957 года. Они выделили три материнские структуры : алгебраическую, топологическую и порядковую.

Пример: действительные числа

Множество действительных чисел имеет несколько стандартных структур:

• Порядок: каждое число либо меньше, либо больше любого другого числа.
• Алгебраическая структура: существуют операции сложения и умножения, первая из которых образует группу , а пара вместе образует поле .
• Мера: интервалы вещественной линии имеют определенную длину , которую можно расширить до меры Лебега на многих ее подмножествах .
• Метрика: существует понятие расстояния между точками.
• Геометрия: оснащена метрикой и плоская .
• Топология: существует понятие открытых множеств .

Среди них есть интерфейсы:

• Его порядок и, независимо, его метрическая структура порождают его топологию.
• Его порядок и алгебраическая структура превращают его в упорядоченное поле .
• Ее алгебраическая структура и топология превращают ее в группу Ли , тип топологической группы .

См. также

• Абстрактная структура
• изоморфизм
• Эквивалентные определения математических структур
• Интуиционистская теория типов
• Математический объект
• Космос (математика)

Дальнейшее чтение

• Фолдс, Стефан (1994). Фундаментальные структуры алгебры и дискретной математики . Хобокен: Джон Уайли и сыновья. ISBN  9781118031438 .
• Хегедус, Стивен Джон; Морено-Армелла, Луис (2011). «Появление математических структур». Образовательные исследования по математике . 77 (2): 369–388. дои : 10.1007/s10649-010-9297-7 . S2CID   119981368 .
• Колман, Бернард; Басби, Роберт С.; Росс, Шэрон Катлер (2000). Дискретные математические структуры (4-е изд.). Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN  978-0-13-083143-9 .
• Малик, Д.С.; Сен, МК (2004). Дискретные математические структуры: теория и приложения . Австралия: Томсон/Курс Технологии. ISBN  978-0-619-21558-3 .
• Пудлак, Павел (2013). «Математические структуры». Логические основы математики и сложность вычислений: нежное введение . Чам: Спрингер. стр. 2–24. ISBN  9783319001197 .
• Сенешаль, М. (21 мая 1993 г.). «Математические структуры». Наука . 260 (5111): 1170–1173. дои : 10.1126/science.260.5111.1170 . ПМИД   17806355 .

Внешние ссылки

• «Структура» . ПланетаМатематика . (дает теоретическое определение модели.)
• Математические структуры в информатике (журнал)