Эквивалентные определения математических структур

В математике эквивалентные определения используются двумя несколько разными способами. Во-первых, в рамках конкретной математической теории (например, евклидовой геометрии ) понятие (например, эллипс или минимальная поверхность ) может иметь более одного определения. Эти определения эквивалентны в контексте данной математической структуры ( в данном случае евклидова пространства ). Во-вторых, математическая структура может иметь более одного определения (например, топологическое пространство имеет как минимум семь определений ; упорядоченное поле имеет как минимум два определения ).

В первом случае эквивалентность двух определений означает, что математический объект (например, геометрическое тело) удовлетворяет одному определению тогда и только тогда, когда он удовлетворяет другому определению.

В последнем случае смысл эквивалентности (между двумя определениями структуры) сложнее, поскольку структура более абстрактна, чем объект. Множество разных объектов могут реализовывать одну и ту же структуру.

Изоморфные реализации

Натуральные числа могут быть реализованы как 0 = { }, 1 = {0} = {{ }}, 2 = {0, 1} = {{ }, {{ }}}, 3 = {0, 1, 2} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}} и так далее; или, альтернативно, как 0 = { }, 1 = {0} = {{ }}, 2 = {1} = {{{ }}} и так далее. Это две разные, но изоморфные реализации натуральных чисел в теории множеств.Они изоморфны как модели аксиом Пеано , то есть тройки ( N ,0, S ), где N — множество, 0 — элемент N , а S (называемая функцией-последователем ) — отображение N в себя (удовлетворяющее соответствующим условиям ). ). В первой реализации S ( n ) = n ∪ { n }; во второй реализации S ( n ) = { n }. Как подчеркивается в проблеме идентификации Бенасеррафа , две реализации различаются в своем ответе на вопрос, принадлежит ли 0 2; однако это неправомерный вопрос о натуральных числах (поскольку отношение ∈ не оговорено соответствующей сигнатурой(ами), см. следующий раздел). используются разные, но изоморфные реализации Аналогично, для комплексных чисел .

структуры

Функция-преемник S над натуральными числами приводит к арифметическим операциям , сложению и умножению, а также к общему порядку, тем самым наделяя N упорядоченной полукольцевой структурой. Это пример выведенной структуры. Упорядоченная структура полукольца ( N , +, ·, ≤) выводится из структуры Пеано ( N , 0, S ) с помощью следующей процедуры: n + 0 = n , m + S ( n ) = S ( m + n ), m · 0 = 0, m · S ( n ) = m + ( m · n ), и m ≤ n тогда и только тогда, когда существует существует k ∈ N такой, что m + k = n . И наоборот, структура Пеано выводится из упорядоченной структуры полукольца следующим образом: S ( n ) = n + 1, а 0 определяется как 0 + 0 = 0. Это означает, что две структуры на N эквивалентны с помощью две процедуры.

Две изоморфные реализации натуральных чисел, упомянутые в предыдущем разделе, изоморфны как тройки ( N ,0, S ), то есть структуры одной и той же сигнатуры (0, S ), состоящие из постоянного символа 0 и унарной функции S . Упорядоченная полукольцевая структура ( N , +, ·, ≤) имеет еще одну сигнатуру (+, ·, ≤), состоящую из двух бинарных функций и одного бинарного отношения. Понятие изоморфизма не применимо к структурам разных сигнатур. В частности, структура Пеано не может быть изоморфна упорядоченному полукольцу. Однако упорядоченное полукольцо, полученное из структуры Пеано, может быть изоморфно другому упорядоченному полукольцу. Такое отношение между структурами разных сигнатур иногда называют криптоморфизмом .

Окружающие фреймворки

Структура может быть реализована в рамках теории множеств ZFC или другой теории множеств, такой как NBG , NFU , ETCS . Альтернативно, структуру можно рассматривать в рамках логики первого порядка , логики второго порядка , логики высшего порядка , теории типов , теории гомотопических типов и т. д.

Структуры по Бурбаки

«Математика [...] не может быть полностью объяснена одной концепцией, такой как математическая структура. Тем не менее структуралистский подход Бурбаки - лучшее, что у нас есть». ( Пудлак 2013 , стр. 3)

«Каким бы очевидным ни казалось в наши дни понятие математической структуры, оно, по крайней мере, не было ясно выражено до середины 20-го века. Тогда это было влияние проекта Бурбаки, а затем развитие теории категорий, которое сделало это понятие явный» ( nLab ).

Согласно Бурбаки , шкала множеств на данном множестве X состоит из всех множеств, возникающих из X путем взятия декартовых произведений и степенных множеств в любой комбинации конечное число раз. Примеры: X ; Х × Х ; П ( Х ); п ( п ( Икс × Икс ) × Икс × п ( п ( Икс ))) × Икс . (Здесь A × B — произведение A и B , а P ( A ) — множество степеней A. ) В частности, пара (0, S ), состоящая из элемента 0 ∈ N и унарной функции S : N → N принадлежит N × P ( N × N ) (поскольку функция является подмножеством декартова произведения ). Тройка (+, ·, ≤), состоящая из двух бинарных функций N × N → N и одного бинарного отношения на N, принадлежит P ( N × N × N ) × P ( N × N × N ) × P ( N × N ). Аналогично, каждая алгебраическая структура на множестве принадлежит соответствующему множеству в шкале множеств на X .

Неалгебраические структуры на множестве X часто включают наборы подмножеств X (то есть подмножества P ( X ), другими словами, элементы P ( P ( X )))). Например, структура топологического пространства , называемая топологией на X , рассматривается как набор «открытых» множеств ; или структура измеримого пространства, трактуемая как σ-алгебра «измеримых» множеств; оба являются элементами P ( P ( X )). Это структуры второго порядка.

Более сложные неалгебраические структуры сочетают в себе алгебраический и неалгебраический компоненты. Например, структура топологической группы состоит из топологии и структуры группы. Таким образом, он принадлежит произведению P ( P ( X )) и другого («алгебраического») множества шкалы; этот продукт снова представляет собой набор в масштабе.

Перевозка конструкций; изоморфизм

Основная статья: Транспортировка конструкции

Учитывая два набора X , Y и биекцию f : X → Y , строятся соответствующие биекции между масштабными множествами. А именно, биекция X × X → Y × Y переводит ( x ₁ , x ₂ ) в ( f ( x ₁ ), f ( x ₂ )); биекция P ( X ) → P ( Y ) переводит подмножество A из X в его образ f ( A ) в Y ; и так далее, рекурсивно: масштабный набор является либо произведением масштабных наборов, либо степенным набором масштабного набора, применяется одна из двух конструкций.

Пусть ( X , U ) и ( Y , V ) — две структуры одной и той же сигнатуры. Тогда U принадлежит масштабному набору S _X , а V принадлежит соответствующему масштабному набору S _Y . Используя биекцию F : S _X → S _Y, построенную на основе биекции f : X → Y , определяют:

f является изоморфизмом между ( X , U ) и ( Y , V ), если F ( U ) = V .

Это общее понятие изоморфизма обобщает многие менее общие понятия, перечисленные ниже.

• Для алгебраических структур: изоморфизм — это биективный гомоморфизм .
• В частности, для векторных пространств : линейная биекция .
• Для частично упорядоченных множеств : изоморфизм порядка .
• Для графов : изоморфизм графов .
• В более общем смысле, для множеств, наделенных бинарным отношением: изоморфизм, сохраняющий отношения .
• Для топологических пространств: гомеоморфизм или топологический изоморфизм или бинепрерывная функция .
• Для равномерных пространств : равномерный изоморфизм .
• Для метрических пространств : биективная изометрия .
• Для топологических групп: групповой изоморфизм, который также является гомеоморфизмом лежащих в основе топологических пространств .
• Для топологических векторных пространств : изоморфизм векторных пространств, который также является гомеоморфизмом лежащих в основе топологических пространств.
• Для банаховых пространств : биективная линейная изометрия .
• Для гильбертовых пространств : унитарное преобразование .
• Для групп Ли : биективный гладкий групповой гомоморфизм, обратный которому также является гладким групповым гомоморфизмом .
• Для гладких многообразий : диффеоморфизм .
• Для симплектических многообразий : симплектоморфизм .
• Для римановых многообразий : изометрический диффеоморфизм .
• Для конформных пространств : конформный диффеоморфизм .
• Для вероятностных пространств : биективное измеримое и сохраняющее меру отображение, обратное для которого также измеримо и сохраняющее меру .
• Для аффинных пространств : биективное аффинное преобразование .
• Для проективных пространств : гомография .

Фактически Бурбаки предусматривает две дополнительные особенности. Во-первых, можно использовать несколько наборов X ₁ , ..., X _n (так называемые главные базовые наборы), а не один набор X . Однако эта функция малопригодна. Все перечисленные выше элементы используют один основной базовый набор. так называемые вспомогательные базовые наборы E ₁ ,..., Em _{Во -} вторых, могут использоваться . Эта функция широко используется. Действительно, структура векторного пространства предполагает не только сложение X × X → X , но и скалярное умножение R × X → X (если R — поле скаляров). Таким образом, R является вспомогательным базовым набором (называемым также «внешним» ). Шкала множеств состоит из всех множеств, возникающих из всех базовых множеств (как главных, так и вспомогательных) путем декартовых произведений и степенных множеств. Тем не менее, отображение f (возможно, изоморфизм) действует на X только ; вспомогательные множества наделены тождественными отображениями. (Однако случай n главных множеств приводит к n отображениям.)

Функциональность

Некоторые утверждения, сформулированные Бурбаки без упоминания категорий, можно легко переформулировать на языке теории категорий . Сначала немного терминологии.

• Масштаб наборов индексируется «схемами эшелонного построения», называемые также «типами». Можно думать, скажем, о множестве P ( P ( X × X ) × X × P ( P ( X ))) × X как о множестве X, подставленном в формулу « P ( P ( a × a ) × a × P ( P ( a ))) × a " для переменной a ; эта формула является соответствующей схемой построения эшелона. (Это понятие, определенное для всех структур, можно рассматривать как обобщение сигнатуры, определенной только для алгебраических структур.)
• через Set* Обозначим группоид множеств и биекций. То есть категория, объекты которой являются (все) множествами, а морфизмы - (все) биекциями.

Предложение. Каждая схема построения эшелона приводит к функтору из Set* в себя.

В частности, группа перестановок множества X действует на каждом масштабируемом множестве S _X .

Для формулировки еще одного положения необходимо понятие «виды конструкций», поскольку эшелонированная схема построения дает лишь предварительную информацию о конструкции. Например, коммутативные группы и (произвольные) группы — это два разных вида одной и той же схемы построения эшелонов. Другой пример: топологические пространства и измеримые пространства. Они различаются так называемой аксиомой вида. Эта аксиома представляет собой совокупность всех необходимых свойств, таких как «умножение ассоциативно» для групп или «объединение открытых множеств является открытым множеством» для топологических пространств.

• Вид структур состоит из эшелонированной схемы построения и аксиомы вида.

Предложение. Каждый вид структур приводит к функтору из Set* в себя.

Пример. Для видов групп функтор F отображает множество X в множество F ( X всех групповых структур на X. ) Для видов топологических пространств функтор F отображает множество X в множество F ( X всех топологий на X. ) Морфизм F ( f ) : F ( X ) → F ( Y ), соответствующий биекции f : X → Y, является транспортом структур. Топологии на Y биективно соответствуют топологиям на X . То же самое справедливо и для групповых структур и т. д.

В частности, множество всех структур данного вида на данном множестве инвариантно относительно действия группы перестановок на соответствующем масштабном множестве S _X и является фиксированной точкой действия группы на другом масштабном множестве P ( С _Х ). Однако не все фиксированные точки этого действия соответствуют видам структур.

Учитывая два вида, Бурбаки определяет понятие «процедура выведения» (структуры второго вида из структуры первого вида). Пара взаимно обратных процедур дедукции приводит к понятию «эквивалентные виды».

Пример. Структура топологического пространства может быть определена как топология открытого множества или, альтернативно, топология закрытого множества . Две соответствующие процедуры дедукции совпадают; каждый из них заменяет все заданные подмножества X их дополнениями . В этом смысле это два равнозначных вида.

В общем определении Бурбаки процедура дедукции может включать в себя изменение основного базового набора(ов), но здесь этот случай не рассматривается. На языке теории категорий получается следующий результат.

Предложение. Эквивалентность двух видов структур приводит к естественному изоморфизму между соответствующими функторами.

Однако, в общем, не все естественные изоморфизмы между этими функторами соответствуют эквивалентностям между видами.

Математическая практика

«Мы часто не различаем изоморфные структуры и часто говорим, что « две структуры одинаковы с точностью до изоморфизма » .

«При изучении структур нас интересует только их форма, но когда мы доказываем их существование, нам нужно их сконструировать».

«Математики, конечно, привыкли на практике идентифицировать изоморфные структуры, но обычно они делают это путем «злоупотребления обозначениями» или каким-либо другим неформальным приемом, зная, что рассматриваемые объекты не «действительно» идентичны. (Ожидается радикально лучший подход; но на данный момент, лето 2014 года, в полной книге, цитируемой выше, структуры не рассматриваются.)

На практике не делается различий между эквивалентными видами структур.

Обычно в тексте, основанном на натуральных числах (например, в статье « Простое число ») не уточняется используемое определение натуральных чисел. Аналогично, текст, основанный на топологических пространствах (например, статья « Гомотопия », или « Индуктивная размерность »), не уточняет используемое определение топологического пространства. Таким образом, возможно (и весьма вероятно), что читатель и автор интерпретируют текст по-разному, согласно разным определениям. Тем не менее, коммуникация проходит успешно, а это означает, что такие разные определения можно считать эквивалентными.

Человек, знакомый с топологическими пространствами, знает основные отношения между окрестностями, сходимостью, непрерывностью, границей, замыканием, внутренностью, открытыми множествами, закрытыми множествами и ему не обязательно знать, что некоторые из этих понятий являются «первичными», предусмотренными в определении пространства. топологическое пространство, а другие — «вторичные», характеризующиеся с точки зрения «первичных» понятий. Более того, зная, что подмножества топологического пространства сами являются топологическими пространствами, а также продуктами топологических пространств, человек может построить некоторые новые топологические пространства независимо от определения.

Таким образом, на практике топология множества рассматривается как абстрактный тип данных , который предоставляет все необходимые понятия (и конструкторы ), но скрывает различие между «первичными» и «вторичными» понятиями. То же самое относится и к другим видам математических структур. «Интересно, что формализация структур в теории множеств — это та же задача, что и формализация структур для компьютеров».

Канонический, а не просто естественный

Как уже отмечалось, эквивалентность двух видов структур приводит к естественному изоморфизму между соответствующими функторами. Однако « естественное » не значит « каноническое ». Естественная трансформация, как правило, не уникальна.

Пример. Рассмотрим еще раз две эквивалентные структуры натуральных чисел. Одна — это «структура Пеано» (0, S ), другая — структура (+, ·, ≤) упорядоченного полукольца. Если множество X наделено обеими структурами, то, с одной стороны, X = { a ₀ , a ₁ , a ₂ , ... } где S ( a _n ) = a _{n +1} для всех n и 0 = a ₀ ; и с другой стороны, X = { b ₀ , b ₁ , b ₂ , ... } где b _{m + n} = b _m + b _n , b _{m · n} = b _m · b _n и b _m ≤ b _n тогда и только тогда, когда m ≤ n . Требуя, чтобы для _всех n , _{a n = bn} можно получить каноническую эквивалентность между двумя структурами. Однако можно также потребовать a ₀ = b ₁ , a ₁ = b ₀ и a _n = bn _{> 1} для всех n , получая таким образом другой, неканонический, естественный изоморфизм. Более того, каждая перестановка набора индексов { 0, 1, 2, ... } приводит к естественному изоморфизму; их несчетно много!

Другой пример. Структуру (простого) графа на множестве V = { 1, 2, ..., n } вершин можно описать с помощью его матрицы смежности , (0,1)-матрицы размера n × n ( с нулями по диагонали). В более общем смысле, для произвольного V функцию смежности на V × V. можно использовать Каноническая эквивалентность задается правилом: «1» означает «связно» (с ребром), «0» означает «несвязно». Однако может быть использовано другое правило: «0» означает «связано», «1» означает «нет», что приводит к другой, естественной, но не канонической эквивалентности. В этом примере каноничность — это скорее вопрос соглашения. Но здесь случай похуже. Вместо «0» и «1» можно использовать, скажем, две возможные ориентации плоскости R. ² («по часовой стрелке» и «против часовой стрелки»). В этом случае сложно выбрать каноническое правило!

«Естественный» — это четко определенное математическое понятие, но оно не гарантирует уникальности. «Канонический» есть, но в целом он более или менее традиционен. Последовательный выбор канонических эквивалентностей — неизбежная составляющая эквивалентных определений математических структур.

См. также

• Категория бетона
• Злоупотребление терминологией # Равенство против изоморфизма
• Эквивалентность категорий

Ссылки

• Пудлак, Павел (2013), Логические основы математики и сложность вычислений. Нежное введение , Спрингер .
• Бурбаки, Николя (1968), Элементы математики: Теория множеств , Герман (оригинал), Аддисон-Уэсли (перевод) .

Дальнейшее чтение

• Феферман, С. (2010), «Теоретико-множественные критерии инвариантности логичности», Notre Dame Journal of Formal Logic , 51 : 3–20, doi : 10.1215/00294527-2010-002 .
• Маршалл, М.В.; Чуаки, Р. (1991), «Предложения теории типов: единственные предложения, сохранившиеся при изоморфизмах», Журнал символической логики , 56 (3): 932–948, doi : 10.2178/jsl/1183743741 .
• Программа одновалентных оснований (2013), Теория гомотопических типов: одновалентные основы математики , Институт перспективных исследований, arXiv : 1308.0729 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) .

Внешние ссылки

• nLab:structured set «Почти все в современной математике является примером структурированного множества». (цитата из раздела «Примеры»)
• nLab: структура в теории моделей
• nLab: материал, структура, свойство
• MathOverflow: Что такое определение «канонического»? «Практическое правило: существует канонический изоморфизм между X и Y тогда и только тогда, когда вам удобно писать X = Y» (Рид Бартон)
• Абстрактная математика:Математические структуры «Когда вы думаете о структуре, лучше всего думать о ней как о содержащей всю информацию, а не только о том, что указано в определении» (Чарльз Уэллс)
• MathStackExchange: педантичный вопрос об определении новых структур независимым от пути способом . «Мы будем продолжать делать утверждения типа: «Топологическое пространство определяется своими открытыми множествами», но никогда не будем делать утверждения типа: «Топологическое пространство — это упорядоченное пространство». пара $(X,{\mathcal {O}})$ такое, что..."'
• MathStackExchange: Существует ли другой способ получения топологического пространства из метрического пространства, столь же заслуживающий термина «каноническое»?