Транспортировка конструкции

В математике , особенно в универсальной алгебре и теории категорий , перенос структуры относится к процессу, посредством которого математический объект приобретает новую структуру и свои канонические определения в результате того, что он изоморфен (или иным образом отождествлен с) другому объекту с предварительным определением. существующая структура. Определения путем переноса структуры считаются каноническими.

Поскольку математические структуры часто определяются со ссылкой на базовое пространство , многие примеры переноса структуры включают пространства и отображения между ними. Например, если $V$ и $W$ являются векторными пространствами с $(\cdot ,\cdot )$ быть продуктом внутренним $W$, такой, что существует изоморфизм $\phi$ от $V$ к $W$, то можно определить внутренний продукт $[\cdot ,\cdot ]$ на $V$ по следующему правилу:

$[v_{1},v_{2}]=(\phi (v_{1}),\phi (v_{2}))$

Хотя уравнение имеет смысл, даже если $\phi$ не является изоморфизмом, он только определяет скалярное произведение на $V$ когда $\phi$ есть, так как в противном случае это приведет к $[\cdot ,\cdot ]$ быть дегенератом . Идея в том, что $\phi$ позволяет рассмотреть $V$ и $W$ как «то же самое» векторное пространство, и, следуя этой аналогии, можно перенести внутренний продукт из одного пространства в другое.

Более сложный пример взят из дифференциальной топологии понятие гладкого многообразия : если , в которой используется $M$ такое многообразие, и если $X$ — любое пространство гомеоморфное , топологическое $M$, то можно рассмотреть $X$ как гладкое многообразие. То есть, учитывая гомеоморфизм $\phi \colon X\to M$, можно определить координатные карты на $X$ «оттягивая» координатные карты на $M$ через $\phi$. Напомним, что координатная карта на $M$ это открытый набор $U$ вместе с инъективным отображением

$c\colon U\to \mathbb {R} ^{n}$

для некоторого натурального числа $n$; чтобы получить такую ​​диаграмму $X$, используются следующие правила:

$U'=\phi ^{-1}(U)$ и $c'=c\circ \phi$.

Кроме того, необходимо, чтобы диаграммы охватывали $M$ (тот факт, что транспортируемые карты покрывают $X$ следует непосредственно из того, что $\phi$ является биекцией ). С $M$ является гладким многообразием, если U и V с их отображениями $c\colon U\to \mathbb {R} ^{n}$ и $d\colon V\to \mathbb {R} ^{n}$, две диаграммы на $M$, затем композиция, "карта перехода"

$d\circ c^{-1}\colon c(U\cap V)\to \mathbb {R} ^{n}$ (самокарта $\mathbb {R} ^{n}$)

гладкий. Чтобы проверить это для транспортируемых карт на $X$, заметьте, что

$\phi ^{-1}(U)\cap \phi ^{-1}(V)=\phi ^{-1}(U\cap V)$,

и поэтому

$c'(U'\cap V')=(c\circ \phi )(\phi ^{-1}(U\cap V))=c(U\cap V)$, и

$d'\circ (c')^{-1}=(d\circ \phi )\circ (c\circ \phi )^{-1}=d\circ (\phi \circ \phi ^{-1})\circ c^{-1}=d\circ c^{-1}$.

Таким образом, карта перехода для $U'$ и $V'$ то же самое, что и для $U$ и $V$, следовательно, гладкий. То есть, $X$ представляет собой гладкое многообразие за счет переноса структуры. Это частный случай транспортировки конструкций вообще.

Второй пример также иллюстрирует, почему «перенос структуры» не всегда желателен. А именно, можно взять $M$ быть самолетом, и $X$ быть бесконечным односторонним конусом. «Сплющивая» конус, гомеоморфизм $X$ и $M$ можно получить, а значит, и структуру гладкого многообразия на $X$, но конус не является «естественным» гладким многообразием. То есть можно рассматривать $X$ как подпространство трехмерного пространства, в котором оно не является гладким в точке конуса.

Более удивительным примером является случай экзотических сфер , открытый Милнором , который утверждает, что существует ровно 28 гладких многообразий, которые гомеоморфны но не диффеоморфны , $S^{7}$, 7-мерная сфера в 8-мерном пространстве. существует канонический Таким образом, перенос структуры наиболее продуктивен, когда между двумя объектами изоморфизм.

См. также

• Список математического жаргона
• Эквивалентные определения математических структур # Транспорт структур; изоморфизм