Криптоморфизм

В математике два объекта, особенно системы аксиом или семантики для них, называются криптоморфными, если они эквивалентны, но не очевидно эквивалентны. В частности, два определения или аксиоматизации одного и того же объекта являются «криптоморфными», если не очевидно, что они определяют один и тот же объект. Примеры криптоморфных определений изобилуют теорией матроидов , а другие можно найти в других источниках, например, в теории групп определение группы с помощью одной операции деления, которая явно не эквивалентна обычным трем «операциям» единичного элемента, обратного, и умножение.

Это слово представляет собой игру со многими морфизмами в математике, но «криптоморфизм» лишь очень отдаленно связан с « изоморфизмом », « гомоморфизмом » или «морфизмами». Эквивалентность в криптоморфизме, если она не является фактической идентичностью, может быть неформальной или может быть формализована в терминах биекции или эквивалентности категорий между математическими объектами, определяемыми двумя криптоморфными системами аксиом.

Этимология

Это слово было придумано Гарретом Биркгофом до 1967 года для использования в третьем издании его книги «Теория решеток» . Биркгоф не дал этому формального определения, хотя с тех пор другие специалисты в этой области предприняли некоторые попытки.

в

Его неформальный смысл был популяризирован (и значительно расширен в объеме) Джан-Карло Ротой в контексте теории матроидов : существуют десятки эквивалентных аксиоматических подходов к матроидам, но две разные системы аксиом часто выглядят очень по-разному.

В своей книге «Неограниченные мысли» 1997 года Рота описывает ситуацию следующим образом:

Как и многие другие великие идеи, теория матроидов была изобретена одним из великих американских пионеров Хасслером Уитни . Его статья, которая до сих пор является лучшим введением в эту тему, вопиюще раскрывает уникальную особенность этой области, а именно, исключительное разнообразие криптоморфных определений матроида, досадно не связанных друг с другом и демонстрирующих совершенно разные математические родословные. Это как если бы нужно было сжать все направления современной математики в единую конечную структуру — подвиг, который любой априори счел бы невозможным, если бы не тот факт, что матроиды действительно существуют.

Хотя в математике существует множество криптоморфных концепций, помимо теории матроидов и универсальной алгебры , в целом это слово не прижилось среди математиков. Однако он довольно широко используется исследователями теории матроидов.

См. также

• Комбинаторный класс , эквивалентность комбинаторных задач перечисления , намекающая на существование криптоморфизма.

Ссылки

• Биркгоф, Г.: Теория решеток , 3-е издание. Публикации коллоквиума Американского математического общества, Vol. XXV. 1967.
• Крапо Х. и Рота Г.-К.: Об основах комбинаторной теории: Комбинаторные геометрии. MIT Press, Кембридж, Массачусетс, 1970.
• Элкинс, Джеймс: Криптоморфы главы в книге «Почему наши изображения являются загадками?: О современных истоках сложности изображений» , 1999
• Рота, Г.-К.: Нескромные мысли , Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс. 1997.
• Уайт, Н., редактор: Теория матроидов , Энциклопедия математики и ее приложений, 26. Издательство Кембриджского университета, Кембридж. 1986.