Вселенная (математика)

Отношения между вселенной и дополнением

В математике , и особенно в теории множеств , теории категорий , теории типов и основах математики , вселенная — это совокупность, содержащая все сущности, которые нужно рассматривать в данной ситуации.

В теории множеств вселенные часто представляют собой классы , содержащие (в качестве элементов ) все множества, для которых надеются доказать ту или иную теорему . Эти классы могут служить внутренними моделями для различных аксиоматических систем, таких как ZFC или теория множеств Морса – Келли . Вселенные имеют решающее значение для формализации концепций теории категорий внутри теоретико-множественных оснований. Например, каноническим мотивирующим примером категории является Set , категория всех множеств, которую невозможно формализовать в теории множеств без некоторого понятия вселенной.

В теории типов вселенная — это тип, элементы которого являются типами.

В конкретном контексте

Основная статья: Область дискурса

Возможно, самая простая версия состоит в том, что любое множество может быть вселенной, если объект исследования ограничен этим конкретным множеством. Если объект исследования образован действительными числами , то вещественная линия R , представляющая собой множество действительных чисел, могла бы быть рассматриваемой Вселенной. Неявно это та вселенная, которую Георг Кантор использовал впервые разработал современную наивную теорию множеств и мощность , когда в 1870-х и 1880-х годах в приложениях к реальному анализу . которые изначально интересовали Кантора, подмножествами R. были Единственные множества ,

Эта концепция Вселенной отражена в использовании диаграмм Венна . На диаграмме Венна действие традиционно происходит внутри большого прямоугольника, который представляет U. вселенную Обычно говорят, что множества изображаются кругами; могут быть только подмножествами U. но эти множества Тогда дополнением пределами множества A является та часть прямоугольника, которая находится за A. круга Строго говоря, это относительное дополнение U \ A к A относительно U ; но в контексте, где U — это вселенная, ее можно рассматривать как абсолютное дополнение A. ^С А. ​ ​ Точно так же существует понятие нулевого пересечения , то есть пересечения нулевых множеств (что означает отсутствие множеств, а не нулевые множества ).

Без вселенной нулевое пересечение было бы совокупностью абсолютно всего, что обычно считается невозможным; но, имея в виду Вселенную, нулевое пересечение можно рассматривать как множество всего рассматриваемого, что представляет собой просто U . Эти соглашения весьма полезны в алгебраическом подходе к базовой теории множеств, основанном на булевых решетках . За исключением некоторых нестандартных форм аксиоматической теории множеств (таких как «Новые основы» ), класс всех множеств не является булевой решеткой (это лишь относительно дополняемая решетка ).

Напротив, класс всех подмножеств U , называемый набором степеней U , представляет собой булеву решетку. Описанное выше абсолютное дополнение представляет собой операцию дополнения в булевой решетке; и U , как нулевое пересечение, служит верхним элементом (или нулевым пересечением ) в булевой решетке. Тогда применяются законы Де Моргана , которые имеют дело с дополнениями встреч и соединений (которые являются объединениями в теории множеств), и применимы даже к нуллярному соединению и нуллярному соединению (которое представляет собой пустое множество ).

В обычной математике

Однако, как только будут рассмотрены подмножества данного множества X (в случае Кантора X = R должна будет представлять собой набор подмножеств X. ), Вселенная, возможно , (Например, X — X это набор подмножеств X. ) Различные наборы подмножеств , сами по себе не будут подмножествами X а вместо этого будут подмножествами P X , множества X. топология степенного Это можно продолжать; объект исследования может затем состоять из таких наборов подмножеств X и так далее, и в этом случае вселенная будет P ( P X ). В другом направлении бинарные отношения на X (подмножества декартова произведения X × X ) можно рассматривать или функции от X к самому себе, требуя таких вселенных, как P ( X × X ) или X. ^Икс .

Таким образом, даже если основной интерес представляет X , Вселенная, возможно, должна быть значительно больше, X. чем Следуя изложенным выше идеям, можно захотеть иметь надстройку над X как Вселенную. Это можно определить с помощью структурной рекурсии следующим образом:

• Пусть S ₀ X — это X. сам
• Пусть S ₁ X — объединение X ​ и P X .
• Пусть S ₂ X — объединение S ₁ X и P ( S ₁ X ).
• В общем, пусть Sn _{+1 X} — объединение Sn _и X ( P ) S _n X .

Тогда надстройка над X , обозначаемая S X , представляет собой объединение S ₀ X , S ₁ X , S ₂ X и т. д.; или

$\mathbf {S} X:=\bigcup _{i=0}^{\infty }\mathbf {S} _{i}X{\mbox{.}}\!$

Независимо от того, какое множество X является отправной точкой, пустое множество {} будет принадлежать S ₁ X . Пустое множество — это ординал фон Неймана [0]. Тогда {[0]}, множество, единственным элементом которого является пустое множество, будет принадлежать S ₂ X ; это ординал фон Неймана [1]. Аналогично, {[1]} будет принадлежать S ₃ X , а значит, и {[0],[1]} как объединение {[0]} и {[1]}; это ординал фон Неймана [2]. Продолжая этот процесс, каждое натуральное число представляется в надстройке своим ординалом фон Неймана. Далее, если x и y принадлежат надстройке, то так же принадлежит и {{ x },{ x , y }}, которая представляет упорядоченную пару ( x , y ). Таким образом, надстройка будет содержать различные желаемые декартовы произведения. Тогда надстройка также содержит функции и отношения , поскольку они могут быть представлены как подмножества декартовых произведений. Этот процесс также дает упорядоченные n -кортежи, представленные как функции, областью определения которых является ординал фон Неймана [ n ] и так далее.

Таким образом, если отправной точкой является просто X = {}, большая часть множеств, необходимых для математики, появляется как элементы надстройки над {}. Но каждый из элементов S {} будет конечным множеством . Каждое из натуральных чисел принадлежит ему, но множество N всех натуральных чисел — нет (хотя оно является { } подмножеством S ). Фактически, надстройка над {} состоит из всех наследственно конечных множеств . Таким образом, ее можно рассматривать как вселенную финитистской математики . финитист XIX века Леопольд Кронекер Говоря анахронично, можно было бы предположить, что в этой вселенной работал ; он считал, что каждое натуральное число существует, но что множество N (« полная бесконечность ») нет.

Однако S {} неудовлетворительно для обычных математиков (которые не являются финитистами), поскольку, хотя N может быть доступно как подмножество S {}, набор степеней N все равно недоступен. В частности, недоступны произвольные наборы действительных чисел. Поэтому возможно придется начать процесс заново и сформировать S ( S {}). Однако для простоты можно взять набор N натуральных чисел SN , надстройку над N. как заданный и сформировать Это часто считают вселенной обычной математики . Идея состоит в том, что вся математика, которую обычно изучают, относится к элементам этой вселенной. Например, любая из обычных конструкций действительных чисел (скажем, по Дедекинду разрезам ) принадлежит SN . Даже нестандартный анализ можно провести в надстройке над нестандартной моделью натуральных чисел.

В философии есть небольшое отклонение от предыдущего раздела, где Вселенная представляла собой любое множество U. интересующее нас Там изучаемые множества были подмножествами Вселенной; теперь они члены вселенной. Таким образом, хотя P ( S X ) является булевой решеткой, важно то, что сама S X ею не является. Следовательно, понятия булевых решеток и диаграмм Венна редко применяются непосредственно к вселенной сверхструктуры, как это было к вселенным со степенным набором из предыдущего раздела. Вместо этого можно работать с отдельными булевыми решетками PA — любое соответствующее множество , , где A принадлежащее S X ; тогда PA X является подмножеством S ( и фактически принадлежит S X ). В частности, в случае Кантора X = R произвольные наборы действительных чисел недоступны, поэтому в этом случае действительно может потребоваться начать процесс заново.

В теории множеств

Можно придать точный смысл утверждению, что SN — это вселенная обычной математики; это модель теории множеств Цермело , аксиоматической теории множеств, первоначально разработанной Эрнстом Цермело в 1908 году. Теория множеств Цермело имела успех именно потому, что она была способна аксиоматизировать «обычную» математику, выполняя программу, начатую Кантором более 30 лет назад. Но теория множеств Цермело оказалась недостаточной для дальнейшего развития аксиоматической теории множеств и других работ по основам математики , особенно теории моделей .

Яркий пример: приведенное выше описание процесса надстройки само по себе не может быть выполнено в теории множеств Цермело. Последний шаг, формирование S как бесконечного союза, требует аксиомы замены , которая была добавлена ​​к теории множеств Цермело в 1922 году, чтобы сформировать теорию множеств Цермело-Френкеля , набор аксиом, наиболее широко принятый сегодня. хотя обычную математику можно выполнять в СН , обсуждение СН Таким образом , выходит за рамки «обычного» и переходит в метаматематику .

Но если применить мощную теорию множеств, описанный выше процесс надстройки окажется всего лишь началом трансфинитной рекурсии . Возвращаемся к X = {}, пустому множеству, и вводим (стандартные) обозначения V _i для S _i {}, V ₀ = {}, V ₁ = P {} и так далее, как и раньше. Но то, что раньше называлось «надстройкой», теперь является лишь следующим пунктом в списке: V _ω , где ω — первое бесконечное порядковое число . Это можно распространить на произвольные порядковые номера :

$V_{i}:=\bigcup _{j<i}\mathbf {P} V_{j}\!$

определяет V _i для любого порядкового номера i . Объединение всех Vi _{представляет} собой вселенную фон Неймана V :

$V:=\bigcup _{i}V_{i}\!$.

Каждый индивидуум Vi _{представляет} собой множество, но их объединение V является собственным классом . Аксиома основания , которая была добавлена ​​в теорию множеств ZF примерно в то же время, что и аксиома замены, говорит, что множество принадлежит V. каждое

Курта Гёделя L Конструируемая вселенная и аксиома конструктивности

Недоступные кардиналы дают модели ZF, а иногда и дополнительные аксиомы, и эквивалентны существованию Гротендика. множества вселенных

В исчислении предикатов

В интерпретации логики первого порядка вселенная (или область дискурса) представляет собой набор индивидов (индивидуальных констант), по которым распространяются кванторы . Такое предложение, как ∀ x ( x ² ≠ 2) неоднозначен, если не выявлена ​​область дискурса. В одной интерпретации областью дискурса может быть множество действительных чисел ; в другой интерпретации это может быть набор натуральных чисел . Если областью дискурса является набор действительных чисел, предложение неверно, и x = √ 2 является контрпримером; если область определения представляет собой набор натуральных чисел, предложение верно, поскольку 2 не является квадратом какого-либо натурального числа.

В теории категорий

Основная статья: Вселенная Гротендика

Существует еще один подход к вселенным, исторически связанный с теорией категорий . В этом заключается идея вселенной Гротендика . Грубо говоря, вселенная Гротендика — это множество, внутри которого могут выполняться все обычные операции теории множеств. Эта версия вселенной определяется как любой набор, для которого выполняются следующие аксиомы:

1. $x\in u\in U$ подразумевает $x\in U$
2. $u\in U$ и $v\in U$ подразумевают { u , v }, ( u , v ) и $u\times v\in U$.
3. $x\in U$ подразумевает ${\mathcal {P}}x\in U$ и $\cup x\in U$
4. $\omega \in U$ (здесь $\omega =\{0,1,2,...\}$ есть множество всех конечных ординалов .)
5. если $f:a\to b$ является сюръективной функцией с $a\in U$ и $b\subset U$, затем $b\in U$.

Наиболее распространенный вариант использования вселенной Гротендика U — это замена U категории всех множеств. Говорят, что множество S является U - малым , если S ∈ U , и U - большим в противном случае. Категория U - Множество всех U -малых множеств имеет в качестве объектов все U -малые множества и в качестве морфизмов все функции между этими множествами. И набор объектов, и набор морфизмов являются множествами, поэтому становится возможным обсуждать категорию «всех» множеств, не обращаясь к соответствующим классам. Тогда становится возможным определить другие категории в терминах этой новой категории. Например, категория всех U -малых категорий — это категория всех категорий, набор объектов и набор морфизмов которых находятся U. в Тогда обычные рассуждения теории множеств применимы к категории всех категорий, и можно не беспокоиться о том, что случайно заговорят о собственных классах. Поскольку вселенные Гротендика чрезвычайно велики, этого достаточно почти во всех приложениях.

Часто, работая с вселенными Гротендика, математики исходят из аксиомы вселенных : «Для любого множества x существует вселенная U такая, что x ∈ U ». Суть этой аксиомы в том, что любое множество, с которым мы сталкиваемся, тогда U -маленькое для некоторого U , поэтому можно применить любой аргумент, сделанный в общей вселенной Гротендика. Эта аксиома тесно связана с существованием сильно недоступных кардиналов .

В теории типов

В некоторых теориях типов, особенно в системах с зависимыми типами , сами типы могут рассматриваться как термины . Существует тип, называемый вселенной (часто обозначаемый ${\mathcal {U}}$), элементами которого являются типы. Чтобы избежать парадоксов, таких как парадокс Жирара (аналог парадокса Рассела для теории типов), теории типов часто снабжаются счетной бесконечной иерархией таких вселенных, где каждая вселенная является термином следующей.

В теории типов можно рассматривать как минимум два типа вселенных: вселенные в стиле Рассела (названные в честь Бертрана Рассела ) и вселенные в стиле Тарского (названные в честь Альфреда Тарского ). Вселенная в стиле Рассела — это тип, члены которого являются типами. Вселенная в стиле Тарского представляет собой тип вместе с операцией интерпретации, позволяющей нам рассматривать ее термины как типы.

Например:

Открытость теории типов Мартина-Лёфа особенно проявляется при введении так называемых вселенных. Вселенные типов инкапсулируют неформальное понятие отражения, роль которого можно объяснить следующим образом. В ходе разработки конкретной формализации теории типов теоретик типов может оглянуться назад на правила для типов, скажем, C, которые были введены до сих пор, и выполнить шаг признания того, что они действительны в соответствии с Мартина-Лёфа. неформальной формулой семантика объяснения смысла. Этот акт «самоанализа» представляет собой попытку осознать концепции, которые управляли нашими конструкциями в прошлом. Это порождает « принцип отражения , который, грубо говоря, говорит, что все, что мы привыкли делать с типами, может быть сделано внутри вселенной» (Мартин-Лёф 1975, 83). На формальном уровне это приводит к расширению существующей формализации теории типов, заключающейся в том, что способности C к формированию типов закрепляются во вселенной типов U _C, зеркально отражающей C.

См. также

• Область дискурса
• Вселенная Гротендика
• Вселенная Эрбрана
• Бесплатный объект
• Открытая формула
• Космос (математика)

Ссылки

• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Спрингер-Верлаг Нью-Йорк, Инк.

Внешние ссылки

• «Вселенная» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Универсальный набор» . Математический мир .