Фактическая бесконечность
 | Эта статья содержит слишком много или слишком длинные цитаты . ( июнь 2010 г. ) |
В философии математики абстракция , также актуальной бесконечности называемая завершенной бесконечностью , [1] предполагает принятие (если аксиома бесконечности включена ) бесконечных сущностей как данных, актуальных и завершенных объектов. Они могут включать набор натуральных чисел , расширенные действительные числа , трансфинитные числа или даже бесконечную последовательность рациональных чисел . Фактическую бесконечность следует противопоставлять потенциальной бесконечности , в которой непрерывный процесс (например, «прибавление 1 к предыдущему числу») создает последовательность без последнего элемента, и где каждый отдельный результат конечен и достигается за конечное время. количество шагов. Этот тип процесса встречается в математике, например, в стандартных формализациях понятий бесконечного ряда , бесконечного произведения или предела . [2]
Анаксимандр
[ редактировать ]Древнегреческий термин для потенциальной или несобственной бесконечности был апейрон (неограниченный или неопределенный), в отличие от актуального или собственно бесконечного афоризма . [3] Апейрон противостоит тому, что имеет перас (предел). Эти понятия сегодня обозначаются потенциально бесконечными и актуально бесконечными соответственно.
Анаксимандр (610–546 до н. э.) считал апейрон принципом или главным элементом, составляющим все сущее. Очевидно, что «апейрон» был своего рода основным веществом. Представление Платона об апейроне более абстрактно и связано с неопределенной изменчивостью. Основными диалогами, в которых Платон обсуждает «апейрон», являются поздние диалоги «Парменид» и « Филеб» .
Аристотель
[ редактировать ]Аристотель резюмирует взгляды своих предшественников на бесконечность следующим образом:
«Только пифагорейцы помещают бесконечное среди чувственных объектов (они не считают число отдельным от них) и утверждают, что то, что находится вне неба, бесконечно. Платон, с другой стороны, утверждает, что вне тела нет тела ( формы не находятся снаружи, потому что они нигде), однако бесконечность присутствует не только в объектах чувств, но и в формах». (Аристотель) [4]
Эта тема была выдвинута Аристотелем при рассмотрении апейрона - в контексте математики и физики (изучения природы):
«Бесконечность оказывается противоположностью тому, что о ней говорят. Бесконечно не «то, что не имеет ничего за пределами себя», а «то, что всегда имеет что-то за пределами себя». (Аристотель) [5]
Вера в существование бесконечности исходит главным образом из пяти соображений: [6]
- Из природы времени – ибо оно бесконечно.
- Из деления величин – ведь математики тоже используют понятие бесконечности.
- Если появление и исчезновение не прекращаются, то только потому, что то, из чего вещи возникают, бесконечно.
- Потому что ограниченное всегда в чем-то находит свой предел, так что предела не должно быть, если все всегда ограничено чем-то отличным от самого себя.
- Прежде всего, причина, которая особенно уместна и представляет трудность, которую ощущает каждый: не только числа, но и математические величины и то, что находится за пределами небес, считаются бесконечными, потому что они никогда не иссякают в нашем мышлении. (Аристотель)
Аристотель постулировал, что реальная бесконечность невозможна, потому что, если бы она была возможна, то что-то достигло бы бесконечной величины и было бы «больше небес». Однако, говорил он, математика, относящаяся к бесконечности, не была лишена своей применимости из-за этой невозможности, потому что математикам для своих теорем нужна была не бесконечность, а лишь конечная, сколь угодно большая величина. [7]
Различие потенциального и фактического Аристотеля
[ редактировать ]Аристотель рассматривал тему бесконечности в физике и метафизике . Он различал актуальную и потенциальную бесконечность. Актуальная бесконечность завершена и определенна и состоит из бесконечного числа элементов. Потенциальная бесконечность никогда не бывает полной: элементы можно добавлять всегда, но не бесконечно много.
«Ибо вообще бесконечное имеет такой способ существования: одна вещь всегда берется за другой, и каждая взятая вещь всегда конечна, но всегда различна».
— Аристотель, Физика, книга 3, глава 6.
Аристотель различал бесконечность в отношении сложения и деления.
Но у Платона есть две бесконечности: Великая и Малая.
— Физика, книга 3, глава 4.
«В качестве примера потенциально бесконечного ряда по возрастанию можно всегда добавлять одно число за другим в ряд, начинающийся с 1,2,3... но процесс добавления все большего и большего числа чисел не может быть исчерпан или завершен. ." [ нужна ссылка ]
Применительно к делению может начаться потенциально бесконечная последовательность делений, например, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, но процесс деления не может быть исчерпан или завершен.
«Ибо тот факт, что процесс деления никогда не заканчивается, обеспечивает потенциальное существование этой деятельности, а не то, что бесконечное существует отдельно».
— Метафизика, книга 9, глава 6.
Аристотель также утверждал, что греческие математики знали разницу между актуальной бесконечностью и потенциальной, но они «не нуждаются в [актуальной] бесконечности и не используют ее» ( Phys. III 2079 29). [8]
Мыслители-схоласты, эпохи Возрождения и Просвещения
[ редактировать ]Подавляющее большинство философов-схоластов придерживалось девиза Infinitum actu non datur . Это означает, что существует только (развивающаяся, неправильная, «синкатегорематическая») потенциальная бесконечность (фиксированная, правильная, «категорематическая») , но не актуальная бесконечность . Однако были и исключения, например, в Англии.
Хорошо известно, что в средние века все философы-схоласты отстаивали принцип Аристотеля «infinitum actu non datur» как неопровержимый принцип. ( Г. Кантор ) [9]
Фактическая бесконечность существует в числе, времени и количестве. (Дж. Бэконторп [9, с. 96])
В эпоху Возрождения и в начале Нового времени голоса в пользу актуальной бесконечности были довольно редки.
Континуум на самом деле состоит из бесконечного числа неделимых ( Г. Галилей [9, с. 97]).
Я за реальную бесконечность. ( Г.В. Лейбниц [9, с. 97])
Однако большинство мыслителей досовременного периода [ нужна ссылка ] согласен с известной цитатой Гаусса:
Я протестую против использования бесконечной величины как чего-то завершенного, что никогда не допустимо в математике. Бесконечность — это просто способ выражения, а истинное значение — это предел, к которому некоторые отношения приближаются бесконечно близко, в то время как другим разрешено увеличиваться без ограничений. [10] ( К. Ф. Гаусс [в письме Шумахеру, 12 июля 1831 г.])
современная эпоха
[ редактировать ]Фактическая бесконечность сейчас общепринята в математике, хотя этот термин больше не используется, его заменяет концепция бесконечных множеств . Это радикальное изменение было инициировано Больцано и Кантором в 19 веке и стало одной из причин фундаментального кризиса математики .
Бернар Больцано , который ввёл понятие множества (по-немецки: Менге ), и Георг Кантор, который ввёл теорию множеств , выступили против общего подхода. Кантор выделил три сферы бесконечности: (1) бесконечность Бога (которую он назвал «абсолютом»), (2) бесконечность реальности (которую он назвал «природой») и (3) трансфинитные числа и математические множества. .
Множество, которое больше любого конечного множества, т. е. множество, обладающее тем свойством, что каждое конечное множество [членов рассматриваемого вида] является лишь его частью, я назову бесконечным множеством. (Б. Больцано [2, с. 6])
Соответственно я различаю вечную нетварную бесконечность или absolutum, которая обусловлена Богом и его атрибутами, и тварную бесконечность или transfinitum, которую приходится использовать везде, где в тварной природе необходимо заметить действительную бесконечность, например в отношении , по моему твердому убеждению, фактически бесконечное число созданных индивидуумов, как во Вселенной, так и на нашей Земле и, скорее всего, даже в каждом сколь угодно малом протяженном клочке пространства. (Георг Кантор) [11] (Г. Кантор [8, с. 252])
Числа – свободное творение человеческого разума. ( Р. Дедекинд [3а, стр. III])
Одно из доказательств основано на понятии Бога. Сначала из высшего совершенства Бога мы заключаем возможность создания трансфинитного, затем, из Его всеблагодати и великолепия, заключаем необходимость того, чтобы творение трансфинитного действительно произошло. (Г. Кантор [3, с. 400])
Кантор различал два типа актуальной бесконечности — трансфинитную и абсолютную, о чем он утверждал:
Эти понятия следует строго различать, поскольку первое, конечно, бесконечно , но способно возрастать , тогда как второе неспособно увеличиваться и, следовательно, неопределимо как математическое понятие. Эту ошибку мы находим, например, в пантеизме . (Г. Кантор, О различных точках зрения на текущую бесконечность , в Сборнике трактатов математического и философского содержания , стр. 375, 378) [12]
Текущая математическая практика
[ редактировать ]Фактическая бесконечность сейчас общепринята в математике под названием « бесконечное множество ». Действительно, теория множеств была формализована как теория множеств Цермело – Френкеля (ZF). Одной из аксиом ZF является аксиома бесконечности , которая, по сути, говорит, что натуральные числа образуют множество.
Вся математика была переписана в терминах ZF. В частности, линии , кривые , всевозможные пространства определяются как множество их точек. Бесконечные множества настолько распространены, что, когда рассматривают конечные множества, это обычно указывается явно; например конечная геометрия , конечное поле и т. д.
Великая теорема Ферма — это теорема, сформулированная в терминах элементарной арифметики и доказанная лишь более 350 лет спустя. В оригинальном доказательстве Уайлса Великой теоремы Ферма использовалась не только вся сила ZF с аксиомой выбора , но и неявно использовалась еще одна аксиома, которая подразумевает существование очень больших множеств. Требование этой дополнительной аксиомы позже было отвергнуто, но бесконечные множества по-прежнему используются фундаментальным образом. Это не было препятствием для признания правильности доказательства сообществом математиков.
Оппозиция со стороны школы интуиционистов
[ редактировать ]Математическое значение термина «актуальный» в актуальной бесконечности является синонимом определенного , завершенного , расширенного или экзистенциального . [13] но не путать с физически существующим . Поэтому вопрос о том, образуют ли натуральные или вещественные числа определенные множества, не зависит от вопроса о том, существуют ли бесконечные вещи физически в природе .
Сторонники интуиционизма , начиная с Кронекера , отвергают утверждение о том, что на самом деле существуют бесконечные математические объекты или множества. Следовательно, они реконструируют основы математики таким образом, чтобы не предполагать существования реальных бесконечностей. С другой стороны, конструктивный анализ признает существование полной бесконечности целых чисел.
Для интуиционистов бесконечность описывается как потенциал ; термины, синонимичные этому понятию, являются становящими или конструктивными . [13] Например, Стивен Клини описывает понятие ленты машины Тьюринга как «линейную «ленту», (потенциально) бесконечную в обоих направлениях». [14] Чтобы получить доступ к памяти на ленте, машина Тьюринга перемещает считывающую головку вдоль нее за конечное число шагов: следовательно, лента только «потенциально» бесконечна, поскольку — хотя всегда есть возможность сделать еще один шаг — сама бесконечность фактически никогда не достигается. . [15]
Математики обычно принимают реальную бесконечность. [16] Георг Кантор — самый выдающийся математик, защищавший настоящую бесконечность. Он решил, что натуральные и действительные числа могут быть определенными множествами, и что если отвергнуть аксиому евклидовой конечности (которая утверждает, что реальности, по отдельности и в совокупности, обязательно конечны), то мы не вступаем ни в какое противоречие. .
Современная традиционная финитистская интерпретация порядковых и кардинальных чисел состоит в том, что они состоят из набора специальных символов и связанного с ними формального языка , в рамках которого могут быть сделаны утверждения. Все такие утверждения обязательно имеют конечную длину. Правильность манипуляций основана только на основных принципах формального языка: алгебрах терминов , переписывании терминов и так далее. Говоря более абстрактно, и теория (конечных) моделей , и теория доказательств предлагают необходимые инструменты для работы с бесконечностями. Не обязательно «верить» в бесконечность, чтобы записывать алгебраически допустимые выражения, используя символы бесконечности.
Современная теория множеств
[ редактировать ]Философская проблема актуальной бесконечности касается того, является ли это понятие связным и эпистемически обоснованным.
Теория множеств Цермело – Френкеля в настоящее время является стандартной основой математики. Одной из его аксиом является аксиома бесконечности , которая утверждает, что существуют бесконечные множества и, в частности, что натуральные числа образуют бесконечное множество. Однако некоторые финитистские философы математики и конструктивисты по-прежнему возражают против этой идеи. [ ВОЗ? ]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Строгац, Стивен Х. (2019). Бесконечные силы: как исчисление раскрывает тайны Вселенной . Бостон: Хоутон Миффлин Харкорт. ISBN 978-1-328-87998-1 .
- ^ Флетчер, Питер (2007). "Бесконечность". Философия логики . Справочник по философии науки. Эльзевир. стр. 523–585. дои : 10.1016/b978-044451541-4/50017-8 . ISBN 9780444515414 .
- ^ Фенвес, Питер Дэвид (2001). Язык ареста: от Лейбница до Беньямина . Издательство Стэнфордского университета. п. 331. ИСБН 9780804739603 .
- ^ Томас, Кеннет В.; Фома, Фома, Аквинский (1 июня 2003 г.). Комментарий к физике Аристотеля . А&С Черный. п. 163. ИСБН 9781843715450 .
{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) - ^ Падован, Ричард (11 сентября 2002 г.). Пропорция: Наука, Философия, Архитектура . Тейлор и Фрэнсис. п. 123. ИСБН 9781135811112 .
- ^ Томас, Кеннет В.; Фома, Фома, Аквинский (1 июня 2003 г.). Комментарий к физике Аристотеля . А&С Черный. ISBN 9781843715450 .
{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) - ^ «Виртуальная библиотека Логоса: Аристотель: Физика, III, 7» . logoslibrary.org . Проверено 14 ноября 2017 г.
- ^ Аллен, Реджинальд Э. (1998). Платон «Парменид» . Диалоги Платона. Том. 4. Нью-Хейвен: Издательство Йельского университета. п. 256. ИСБН 9780300138030 . OCLC 47008500 .
- ^ Кантор, Джордж (1966). Цермело, Эрнст (ред.). Сборник трактатов: Математическое и философское содержание . Георг Олмс Верлаг. п. 174.
- ^ Стивен Клини 1952 (издание 1971 года): 48 приписывает первое предложение этой цитаты (Werke VIII, стр. 216).
- ^ Кантор, Джордж (1966). Цермело, Эрнст (ред.). Сборник трактатов: Математическое и философское содержание . Георг Олмс Верлаг. п. 399.
- ^ Коханский, Александр Сиссель (6 июня 2021 г.). Греческий образ мышления в западной философии . Издательство Университета Фэрли Дикинсон. п. 271. ИСБН 9780838631393 . ОСЛК 230508222 .
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Клини 1952/1971: 48.
- ^ Клини 1952/1971: 48 с. 357; также «машина... снабжена лентой, имеющей (потенциально) бесконечную печать...» (с. 363).
- ^ Или «лента» может быть зафиксирована, а «головка» чтения может двигаться. Роджер Пенроуз предлагает это, потому что: «Со своей стороны, я чувствую себя немного некомфортно из-за того, что наше конечное устройство перемещает потенциально бесконечную ленту взад и вперед. Независимо от того, насколько легкий материал, бесконечную ленту может быть трудно сдвинуть!» На рисунке Пенроуза изображена фиксированная головка ленты с надписью «TM», считывающая вялую ленту с коробок, доходящих до точки визуального схода. (См. стр. 36 в Roger Penrose, 1989, The Emperor's New Mind , Oxford University Press, Oxford UK, ISBN 0-19-851973-7 ). Другие авторы [ ВОЗ? ] Решите эту проблему, приклеив еще одну ленту, когда в машине скоро закончится лента.
- ^ Фактическая бесконечность следует, например, из принятия понятия целых чисел как множества, см. Дж. Дж. О'Коннор и Э. Ф. Робертсон, «Бесконечность» .
Источники
[ редактировать ]- «Бесконечность» в архиве MacTutor History of Mathematics , посвященная истории понятия бесконечности, включая проблему актуальной бесконечности.
- Аристотель , Физика [1]
- Бернар Больцано , 1851, «Парадоксы бесконечности» , «Реклам», Лейпциг.
- Бернар Больцано 1837, Научные исследования , Зульцбах.
- Георг Кантор в Э. Цермело (редактор) 1966, Сборник трактатов математического и философского содержания , Олмс, Хильдесхайм.
- Ричард Дедекинд в 1960 году. Что такое числа и для чего они предназначены? , Видег, Брауншвейг.
- Адольф Авраам Френкель 1923, Введение в теорию множеств , Шпрингер, Берлин.
- Адольф Авраам Френкель, Ю. Бар-Гилель, А. Леви 1984, Основы теории множеств , 2-е изд., Северная Голландия, Амстердам, Нью-Йорк.
- Стивен К. Клини , 1952 г. (издание 1971 г., 10-е издание), «Введение в метаматематику» , издательство North-Holland Publishing Company, Амстердам, Нью-Йорк. ISBN 0-444-10088-1 .
- Х. Мешковски 1981, Георг Кантор: Жизнь, работа и влияние (2-е изд.), BI, Мангейм.
- Х. Мешковски, В. Нильсон (редактор) 1991, Георг Кантор - Письма , Springer, Берлин.
- Авраам Робинсон 1979, Избранные статьи , Vol. 2, WAJ Люксембург, С. Кернер (Hrsg.), Северная Голландия, Амстердам.