Трансфинитное число

В математике трансфинитные числа или бесконечные числа — это числа, которые являются « бесконечными » в том смысле, что они больше, чем все конечные числа. К ним относятся трансфинитные кардиналы , которые представляют собой кардинальные числа , используемые для количественной оценки размера бесконечных множеств, и трансфинитные ординалы , которые представляют собой порядковые числа , используемые для упорядочивания бесконечных множеств. Термин «трансфинит» был придуман в 1895 году Георгом Кантором . который хотел избежать некоторых последствий слова «бесконечный» в связи с этими объектами, которые, тем не менее, не были конечными . Лишь немногие современные писатели разделяют эти сомнения; В настоящее время принято называть трансфинитные кардиналы и порядковые числа бесконечными числами . Тем не менее, термин трансфинитный также продолжает использоваться.

Заметная работа по трансфинитным числам была проделана Вацлавом Серпинским : Leçons sur les nombres transfinis (книга 1928 года), значительно расширенная до кардинальных и порядковых чисел (1958, 2-е изд. 1965 год ).

Определение

Любое конечное натуральное число можно использовать как минимум двумя способами: как порядковое и как кардинальное. Кардинальные числительные определяют размер наборов (например, мешок с пятью шариками), тогда как порядковые числительные определяют порядок членов в упорядоченном наборе. (например, « третий мужчина слева» или « двадцать седьмой день января»). При распространении на трансфинитные числа эти два понятия больше не находятся во взаимно однозначном соответствии . Трансфинитное кардинальное число используется для описания размера бесконечно большого множества. в то время как трансфинитный порядковый номер используется для описания местоположения внутри бесконечно большого упорядоченного набора. Наиболее заметными порядковыми и кардинальными числительными являются соответственно:

• $\omega$( Омега ): наименьшее трансфинитное порядковое число. Это также тип порядка натуральных чисел при их обычном линейном порядке.
• $\aleph _{0}$( Алеф-нуль ): первое трансфинитное кардинальное число. Это также мощность натуральных чисел. Если выбранная аксиома верна, следующее более высокое кардинальное число — алеф-один , $\aleph _{1}.$Если нет, то могут существовать другие кардиналы, несравнимые с алеф-он и большие, чем алеф-нуль. В любом случае между алеф-нуль и алеф-один нет кардиналов.

Гипотеза континуума — это утверждение, что между ними нет промежуточных кардинальных чисел. $\aleph _{0}$ и мощность континуума (мощность множества действительных чисел ): или, что эквивалентно, что $\aleph _{1}$— мощность множества действительных чисел. В теории множеств Цермело–Френкеля невозможно доказать ни гипотезу континуума, ни ее отрицание.

Некоторые авторы, в том числе П. Суппес и Дж. Рубин, используют термин « трансфинитный кардинал» для обозначения мощности дедекиндово-бесконечного множества в контекстах, где это может не быть эквивалентно «бесконечному кардиналу»; то есть в контекстах, где аксиома счетного выбора не предполагается или не известно, что она выполняется. Учитывая это определение, все следующие выражения эквивалентны:

• ${\mathfrak {m}}$является трансфинитным кардиналом. То есть существует дедекиндово бесконечное множество $A$ такая, что мощность $A$ является ${\mathfrak {m}}.$
• ${\mathfrak {m}}+1={\mathfrak {m}}.$
• $\aleph _{0}\leq {\mathfrak {m}}.$
• Есть кардинал ${\mathfrak {n}}$ такой, что $\aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}.$

Хотя трансфинитные ординалы и кардиналы обобщают только натуральные числа, другие системы чисел, включая гипердействительные числа и сюрреалистические числа , обеспечивают обобщения действительных чисел .

Примеры

В теории порядковых чисел Кантора каждое целое число должно иметь преемника. Следующее целое число после всех обычных, то есть первое бесконечное целое, называется $\omega$. В данном контексте, $\omega +1$ больше, чем $\omega$, и $\omega \cdot 2$, $\omega ^{2}$ и $\omega ^{\omega }$они еще крупнее. Арифметические выражения, содержащие $\omega$укажите порядковый номер, и его можно рассматривать как набор всех целых чисел до этого числа. Данное число обычно имеет несколько выражений, которые его представляют, однако существует уникальная нормальная форма Кантора, которая его представляет: по существу, конечная последовательность цифр, которые дают коэффициенты убывающих степеней $\omega$.

Однако не все бесконечные целые числа могут быть представлены нормальной формой Кантора, и первое из них, которое не может быть представлено пределом $\omega ^{\omega ^{\omega ^{...}}}$ и называется $\varepsilon _{0}$. $\varepsilon _{0}$ это самое маленькое решение $\omega ^{\varepsilon }=\varepsilon$и следующие решения $\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{\omega },...,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},...$ давать еще большие порядковые номера, и за ними можно следовать до тех пор, пока не будет достигнут предел $\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{...}}}$, что является первым решением $\varepsilon _{\alpha }=\alpha$. Это означает, что для того, чтобы иметь возможность указывать все трансфинитные целые числа, нужно придумать бесконечную последовательность имен: потому что, если бы нужно было указать одно наибольшее целое число, тогда всегда можно было бы упомянуть его больший преемник. Но, как заметил Кантор, даже это позволяет достичь только низшего класса трансфинитных чисел: тех, размер множеств которых соответствует кардинальному числу. $\aleph _{0}$.

См. также

• Фактическая бесконечность
• Число Алеф
• Число Бет
• Число Эпсилон
• бесконечно малый

Библиография

• Леви, Азриэль, 2002 (1978) Теория базовых множеств . Дуврские публикации. ISBN   0-486-42079-5
• О'Коннор, Дж. Дж. и Э. Ф. Робертсон (1998) « Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор », Архив истории математики MacTutor .
• Рубин, Жан Э. , 1967. «Теория множеств для математика». Сан-Франциско: Холден-Дэй. Основан на теории множеств Морса-Келли .
• Руди Ракер , 2005 (1982) Бесконечность и разум . Принстонский университет. Нажимать. В первую очередь исследование философского значения канторовского рая. ISBN   978-0-691-00172-2 .
• Патрик Суппес , 1972 (1960) « Аксиоматическая теория множеств ». Дувр. ISBN   0-486-61630-4 . Основан на ZFC .