Method of notation of very large integers
В математике обозначение Кнута стрелкой вверх — это метод записи очень больших целых чисел , введенный Дональдом Кнутом в 1976 году. [ 1 ]
В своей статье 1947 г. [ 2 ] Р. Л. Гудштейн ввел особую последовательность операций, которые сейчас называются гипероперациями тетрация , пентация и т. д. для расширенных операций, выходящих за рамки возведения в степень . Последовательность начинается с унарной операции ( функция-преемник с n = 0) и продолжается двоичными операциями сложения умножения ( n = 1), ( n = 2), возведения в степень ( n = 3), тетрации ( n = 4). ), пентация ( n = 5) и т. д.
различные обозначения Для представления гиперопераций использовались . Одним из таких обозначений является
H
n
(
a
,
b
)
{\displaystyle H_{n}(a,b)}
↑
{\displaystyle \uparrow }
единственная стрелка
↑
{\displaystyle \uparrow }
возведение в степень (повторное умножение)
2
↑
4
=
H
3
(
2
,
4
)
=
2
×
(
2
×
(
2
×
2
)
)
=
2
4
=
16
{\displaystyle 2\uparrow 4=H_{3}(2,4)=2\times (2\times (2\times 2))=2^{4}=16}
двойная стрелка
↑↑
{\displaystyle \uparrow \uparrow }
тетрацию (повторное возведение в степень)
2
↑↑
4
=
H
4
(
2
,
4
)
=
2
↑
(
2
↑
(
2
↑
2
)
)
=
2
2
2
2
=
2
16
=
65
,
536
{\displaystyle 2\uparrow \uparrow 4=H_{4}(2,4)=2\uparrow (2\uparrow (2\uparrow 2))=2^{2^{2^{2}}}=2^{16}=65,536}
тройная стрелка
↑↑↑
{\displaystyle \uparrow \uparrow \uparrow }
пентацию (повторяющуюся тетрацию)
2
↑↑↑
4
=
H
5
(
2
,
4
)
=
2
↑↑
(
2
↑↑
(
2
↑↑
2
)
)
=
2
↑↑
(
2
↑↑
(
2
↑
2
)
)
=
2
↑↑
(
2
↑↑
4
)
=
2
↑
(
2
↑
(
2
↑
…
)
)
⏟
=
2
2
⋯
2
⏟
2
↑↑
4
copies of
2
65,536 2s
{\displaystyle {\begin{aligned}2\uparrow \uparrow \uparrow 4=H_{5}(2,4)=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 2))\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (2\uparrow 2))\\&=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 4)\\&=\underbrace {2\uparrow (2\uparrow (2\uparrow \dots ))} \;=\;\underbrace {\;2^{2^{\cdots ^{2}}}} \\&\;\;\;\;\;2\uparrow \uparrow 4{\mbox{ copies of }}2\;\;\;\;\;{\mbox{65,536 2s}}\\\end{aligned}}}
Общее определение обозначения стрелки вверх следующее (для
a
≥
0
,
n
≥
1
,
b
≥
0
{\displaystyle a\geq 0,n\geq 1,b\geq 0}
a
↑
n
b
=
H
n
+
2
(
a
,
b
)
=
a
[
n
+
2
]
b
.
{\displaystyle a\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(a,b)=a[n+2]b.}
↑
n
{\displaystyle \uparrow ^{n}}
n стрелок, например
2
↑↑↑↑
3
=
2
↑
4
3.
{\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3=2\uparrow ^{4}3.}
Гипероперации сложения естественным образом расширяют арифметические операции умножения и . следующим образом
Сложение на натуральное число определяется как итеративное приращение:
H
1
(
a
,
b
)
=
a
+
b
=
a
+
1
+
1
+
⋯
+
1
⏟
b
copies of
1
{\displaystyle {\begin{matrix}H_{1}(a,b)=a+b=&a+\underbrace {1+1+\dots +1} \\&b{\mbox{ copies of }}1\end{matrix}}}
Умножение на натуральное число определяется как многократное сложение :
H
2
(
a
,
b
)
=
a
×
b
=
a
+
a
+
⋯
+
a
⏟
b
copies of
a
{\displaystyle {\begin{matrix}H_{2}(a,b)=a\times b=&\underbrace {a+a+\dots +a} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}
Например,
4
×
3
=
4
+
4
+
4
⏟
=
12
3
copies of
4
{\displaystyle {\begin{matrix}4\times 3&=&\underbrace {4+4+4} &=&12\\&&3{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}
Возведение в степень естественной степени
b
{\displaystyle b}
a
↑
b
=
H
3
(
a
,
b
)
=
a
b
=
a
×
a
×
⋯
×
a
⏟
b
copies of
a
{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow b=H_{3}(a,b)=a^{b}=&\underbrace {a\times a\times \dots \times a} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}
Например,
4
↑
3
=
4
3
=
4
×
4
×
4
⏟
=
64
3
copies of
4
{\displaystyle {\begin{matrix}4\uparrow 3=4^{3}=&\underbrace {4\times 4\times 4} &=&64\\&3{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}
Тетрация определяется как повторяющееся возведение в степень, которое Кнут обозначил «двойной стрелкой»:
a
↑↑
b
=
H
4
(
a
,
b
)
=
a
a
.
.
.
a
⏟
=
a
↑
(
a
↑
(
⋯
↑
a
)
)
⏟
b
copies of
a
b
copies of
a
{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow b=H_{4}(a,b)=&\underbrace {a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{a}}}}}}} &=&\underbrace {a\uparrow (a\uparrow (\dots \uparrow a))} \\&b{\mbox{ copies of }}a&&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}
Например,
4
↑↑
3
=
4
4
4
⏟
=
4
↑
(
4
↑
4
)
⏟
=
4
256
≈
1.34078079
×
10
154
3
copies of
4
3
copies of
4
{\displaystyle {\begin{matrix}4\uparrow \uparrow 3=&\underbrace {4^{4^{4}}} &=&\underbrace {4\uparrow (4\uparrow 4)} &=&4^{256}&\approx &1.34078079\times 10^{154}&\\&3{\mbox{ copies of }}4&&3{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}
Выражения оцениваются справа налево, поскольку операторы определены как правоассоциативные .
Согласно этому определению,
3
↑↑
2
=
3
3
=
27
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 2=3^{3}=27}
3
↑↑
3
=
3
3
3
=
3
27
=
7
,
625
,
597
,
484
,
987
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}
3
↑↑
4
=
3
3
3
3
=
3
3
27
=
3
7625597484987
≈
1.2580143
×
10
3638334640024
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 4=3^{3^{3^{3}}}=3^{3^{27}}=3^{7625597484987}\approx 1.2580143\times 10^{3638334640024}}
3
↑↑
5
=
3
3
3
3
3
=
3
3
3
27
=
3
3
7625597484987
≈
3
1.2580143
×
10
3638334640024
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow 5=3^{3^{3^{3^{3}}}}=3^{3^{3^{27}}}=3^{3^{7625597484987}}\approx 3^{1.2580143\times 10^{3638334640024}}}
и т. д. Это уже приводит к некоторым довольно большим числам, но последовательность гипероператоров на этом не заканчивается.
Пентация , определяемая как повторяющаяся тетрация, представлена «тройной стрелкой»:
a
↑↑↑
b
=
H
5
(
a
,
b
)
=
a
↑↑
(
a
↑↑
(
⋯
↑↑
a
)
)
⏟
b
copies of
a
{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow b=H_{5}(a,b)=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow a))} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}
Гексация , определяемая как повторяющаяся пентация, представлена «четверной стрелкой»:
a
↑↑↑↑
b
=
H
6
(
a
,
b
)
=
a
↑↑↑
(
a
↑↑↑
(
⋯
↑↑↑
a
)
)
⏟
b
copies of
a
{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=H_{6}(a,b)=&\underbrace {a_{}\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (\dots \uparrow \uparrow \uparrow a))} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}}
и так далее. Общее правило заключается в том, что
n
{\displaystyle n}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
a
↑
↑
…
↑
⏟
n
b
=
a
↑
…
↑
⏟
n
−
1
(
a
↑
…
↑
⏟
n
−
1
(
…
↑
…
↑
⏟
n
−
1
a
)
)
⏟
b
copies of
a
{\displaystyle {\begin{matrix}a\ \underbrace {\uparrow _{}\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n}\ b=\underbrace {a\ \underbrace {\uparrow \!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ (a\ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ (\dots \ \underbrace {\uparrow _{}\!\!\dots \!\!\uparrow } _{n-1}\ a))} _{b{\text{ copies of }}a}\end{matrix}}}
Примеры:
3
↑↑↑
2
=
3
↑↑
3
=
3
3
3
=
3
27
=
7
,
625
,
597
,
484
,
987
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 2=3\uparrow \uparrow 3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987}
3
↑↑↑
3
=
3
↑↑
(
3
↑↑
3
)
=
3
↑↑
(
3
↑
3
↑
3
)
=
3
↑
3
↑
⋯
↑
3
⏟
3
↑
3
↑
3
copies of
3
=
3
↑
3
↑
⋯
↑
3
⏟
7,625,597,484,987 copies of 3
=
3
3
3
3
⋅
⋅
⋅
⋅
3
⏟
7,625,597,484,987 copies of 3
{\displaystyle {\begin{matrix}3\uparrow \uparrow \uparrow 3=3\uparrow \uparrow (3\uparrow \uparrow 3)=3\uparrow \uparrow (3\uparrow 3\uparrow 3)=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&3\uparrow 3\uparrow 3{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3_{}\uparrow 3\uparrow \dots \uparrow 3} \\&{\mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}}\end{matrix}}{\begin{matrix}=&\underbrace {3^{3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}}}} \\&{\mbox{7,625,597,484,987 copies of 3}}\end{matrix}}}
В таких выражениях, как
a
b
{\displaystyle a^{b}}
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
языки программирования и обычная текстовая электронная почта , не поддерживают набор надстрочных индексов . Люди приняли линейную систему обозначений
a
↑
b
{\displaystyle a\uparrow b}
набор символов не содержит стрелки вверх, курсор вместо нее используется (^).
Надстрочное обозначение
a
b
{\displaystyle a^{b}}
a
↑
b
{\displaystyle a\uparrow b}
a
↑
n
b
{\displaystyle a\uparrow ^{n}b}
a
↑
4
b
=
a
↑↑↑↑
b
{\displaystyle a\uparrow ^{4}b=a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}
Запись обозначений со стрелкой вверх в терминах степеней [ редактировать ] Попытка написать
a
↑↑
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow b}
энергетическую башню .
Например:
a
↑↑
4
=
a
↑
(
a
↑
(
a
↑
a
)
)
=
a
a
a
a
{\displaystyle a\uparrow \uparrow 4=a\uparrow (a\uparrow (a\uparrow a))=a^{a^{a^{a}}}}
Если b — переменная (или слишком большая), электробашню можно записать с помощью точек и примечания, указывающего высоту башни.
a
↑↑
b
=
a
a
.
.
.
a
⏟
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow b=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{b}}
Продолжая эти обозначения,
a
↑↑↑
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b}
a
↑↑↑
4
=
a
↑↑
(
a
↑↑
(
a
↑↑
a
)
)
=
a
a
.
.
.
a
⏟
a
a
.
.
.
a
⏟
a
a
.
.
.
a
⏟
a
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow a))=\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{a}}}}
Опять же, если b — переменная или слишком велика, стек можно записать с помощью точек и примечания, указывающего его высоту.
a
↑↑↑
b
=
a
a
.
.
.
a
⏟
a
a
.
.
.
a
⏟
⋮
⏟
a
}
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b}
Более того,
a
↑↑↑↑
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}
a
↑↑↑↑
4
=
a
↑↑↑
(
a
↑↑↑
(
a
↑↑↑
a
)
)
=
a
a
.
.
.
a
⏟
a
a
.
.
.
a
⏟
⋮
⏟
a
}
a
a
.
.
.
a
⏟
a
a
.
.
.
a
⏟
⋮
⏟
a
}
a
a
.
.
.
a
⏟
a
a
.
.
.
a
⏟
⋮
⏟
a
}
a
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4=a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow (a\uparrow \uparrow \uparrow a))=\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}a}
И вообще:
a
↑↑↑↑
b
=
a
a
.
.
.
a
⏟
a
a
.
.
.
a
⏟
⋮
⏟
a
}
a
a
.
.
.
a
⏟
a
a
.
.
.
a
⏟
⋮
⏟
a
}
⋯
}
a
⏟
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {\left.\left.\left.\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {a^{a^{.^{.^{.{a}}}}}} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}\cdots \right\}a} _{b}}
Это может осуществляться на неопределенный срок, чтобы представить
a
↑
n
b
{\displaystyle a\uparrow ^{n}b}
a , n и b (хотя это явно становится довольно громоздким).
Обозначение Руди Ракера
b
a
{\displaystyle ^{b}a}
тетрация позволяет нам сделать эти диаграммы немного проще, сохраняя при этом геометрическое представление (мы могли бы назвать эти башни тетрации ).
a
↑↑
b
=
b
a
{\displaystyle a\uparrow \uparrow b={}^{b}a}
a
↑↑↑
b
=
a
.
.
.
a
a
⏟
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b=\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{b}}
a
↑↑↑↑
b
=
a
.
.
.
a
a
⏟
a
.
.
.
a
a
⏟
⋮
⏟
a
}
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b=\left.\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {^{^{^{^{^{a}.}.}.}a}a} _{\underbrace {\vdots } _{a}}}\right\}b}
Наконец, в качестве примера можно привести четвертое число Аккермана.
4
↑
4
4
{\displaystyle 4\uparrow ^{4}4}
4
.
.
.
4
4
⏟
4
.
.
.
4
4
⏟
4
.
.
.
4
4
⏟
4
=
4
.
.
.
4
4
⏟
4
.
.
.
4
4
⏟
4
4
4
4
{\displaystyle \underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{4}}}=\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} _{^{^{^{4}4}4}4}}}
Некоторые числа настолько велики, что несколько стрелок в обозначении Кнута, направленном вверх, становятся слишком громоздкими; затем оператор n -стрелка
↑
n
{\displaystyle \uparrow ^{n}}
гипероператоров .
Некоторые числа настолько велики, что даже этого обозначения недостаточно. Затем можно использовать обозначение цепочки стрелок Конвея : цепочка из трех элементов эквивалентна другим обозначениям, но цепочка из четырех или более элементов еще более эффективна.
a
↑
n
b
=
a
[
n
+
2
]
b
=
a
→
b
→
n
(Knuth)
(hyperoperation)
(Conway)
{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&a[n+2]b&=&a\to b\to n\\{\mbox{(Knuth)}}&&{\mbox{(hyperoperation)}}&&{\mbox{(Conway)}}\end{matrix}}}
6
↑↑
4
{\displaystyle 6\uparrow \uparrow 4}
6
6
.
.
.
6
⏟
4
{\displaystyle \underbrace {6^{6^{.^{.^{.^{6}}}}}} _{4}}
6
↑↑
4
{\displaystyle 6\uparrow \uparrow 4}
6
6
6
6
{\displaystyle 6^{6^{6^{6}}}}
6
6
46
,
656
{\displaystyle 6^{6^{46,656}}}
6
6
.
.
.
6
⏟
4
{\displaystyle \underbrace {6^{6^{.^{.^{.^{6}}}}}} _{4}}
10
↑
(
3
×
10
↑
(
3
×
10
↑
15
)
+
3
)
{\displaystyle 10\uparrow (3\times 10\uparrow (3\times 10\uparrow 15)+3)}
100000...000
⏟
300000...003
⏟
300000...000
⏟
15
{\displaystyle \underbrace {100000...000} _{\underbrace {300000...003} _{\underbrace {300000...000} _{15}}}}
10
3
×
10
3
×
10
15
+
3
{\displaystyle 10^{3\times 10^{3\times 10^{15}}+3}}
Даже быстрорастущие функции можно классифицировать с помощью порядкового анализа, называемого быстрорастущей иерархией . Быстрорастущая иерархия использует последовательную итерацию функций и диагонализацию для систематического создания быстрорастущих функций из некоторой базовой функции.
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
0
(
x
)
=
x
+
1
{\displaystyle f_{0}(x)=x+1}
f
2
(
x
)
{\displaystyle f_{2}(x)}
f
3
(
x
)
{\displaystyle f_{3}(x)}
f
ω
(
x
)
{\displaystyle f_{\omega }(x)}
функцией Аккермана ,
f
ω
+
1
(
x
)
{\displaystyle f_{\omega +1}(x)}
числа Грэма , и
f
ω
2
(
x
)
{\displaystyle f_{\omega ^{2}}(x)}
Все эти функции вычислимы. Даже более быстрые вычислимые функции, такие как последовательность Гудштейна и последовательность TREE , требуют использования больших порядковых номеров и могут встречаться в определенных комбинаторных и теоретико-доказательных контекстах. Существуют функции, которые растут невычислимо быстро, такие как Busy Beaver , сама природа которых будет совершенно недоступна для любого анализа, направленного вверх, или даже для любого порядкового анализа.
Без ссылки на гипероперацию операторы со стрелкой вверх можно формально определить как
a
↑
n
b
=
{
a
b
,
if
n
=
1
;
1
,
if
n
>
1
and
b
=
0
;
a
↑
n
−
1
(
a
↑
n
(
b
−
1
)
)
,
otherwise
{\displaystyle a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}a^{b},&{\text{if }}n=1;\\1,&{\text{if }}n>1{\text{ and }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\text{otherwise }}\end{cases}}}
для всех целых чисел
a
,
b
,
n
{\displaystyle a,b,n}
a
≥
0
,
n
≥
1
,
b
≥
0
{\displaystyle a\geq 0,n\geq 1,b\geq 0}
[ номер 1 ]
В этом определении используется возведение в степень
(
a
↑
1
b
=
a
↑
b
=
a
b
)
{\displaystyle (a\uparrow ^{1}b=a\uparrow b=a^{b})}
тетрация
(
a
↑
2
b
=
a
↑↑
b
)
{\displaystyle (a\uparrow ^{2}b=a\uparrow \uparrow b)}
последовательности гиперопераций, за исключением того, что в ней отсутствуют три основные операции: последовательность , сложение и умножение .
Альтернативно можно выбрать умножение
(
a
↑
0
b
=
a
×
b
)
{\displaystyle (a\uparrow ^{0}b=a\times b)}
возведение в степень становится повторным умножением. Формальное определение будет
a
↑
n
b
=
{
a
×
b
,
if
n
=
0
;
1
,
if
n
>
0
and
b
=
0
;
a
↑
n
−
1
(
a
↑
n
(
b
−
1
)
)
,
otherwise
{\displaystyle a\uparrow ^{n}b={\begin{cases}a\times b,&{\text{if }}n=0;\\1,&{\text{if }}n>0{\text{ and }}b=0;\\a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1)),&{\text{otherwise }}\end{cases}}}
для всех целых чисел
a
,
b
,
n
{\displaystyle a,b,n}
a
≥
0
,
n
≥
0
,
b
≥
0
{\displaystyle a\geq 0,n\geq 0,b\geq 0}
Обратите внимание, однако, что Кнут не давал определения «стреле нуля» (
↑
0
{\displaystyle \uparrow ^{0}}
H
n
(
a
,
b
)
=
a
[
n
]
b
=
a
↑
n
−
2
b
for
n
≥
0.
{\displaystyle H_{n}(a,b)=a[n]b=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ for }}n\geq 0.}
Операция «стрелка вверх» является правоассоциативной операцией , т. е.
a
↑
b
↑
c
{\displaystyle a\uparrow b\uparrow c}
a
↑
(
b
↑
c
)
{\displaystyle a\uparrow (b\uparrow c)}
(
a
↑
b
)
↑
c
{\displaystyle (a\uparrow b)\uparrow c}
Вычисление
0
↑
n
b
=
H
n
+
2
(
0
,
b
)
=
0
[
n
+
2
]
b
{\displaystyle 0\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(0,b)=0[n+2]b}
0, когда n = 0 [ номер 2 ]
1, когда n = 1 и b = 0 [ номер 1 ] [ номер 3 ]
0, когда n = 1 и b > 0 [ номер 1 ] [ номер 3 ]
1, когда n > 1 и b четно (включая 0)
0, когда n > 1 и b нечетно Вычисление
2
↑
n
b
{\displaystyle 2\uparrow ^{n}b}
2
b
{\displaystyle 2^{b}}
Ценности
2
↑
n
b
{\displaystyle 2\uparrow ^{n}b}
H
n
+
2
(
2
,
b
)
{\displaystyle H_{n+2}(2,b)}
2
[
n
+
2
]
b
{\displaystyle 2[n+2]b}
2 → б → п
б
ⁿ
1
2
3
4
5
6
формула
1
2
4
8
16
32
64
2
b
{\displaystyle 2^{b}}
2
2
4
16
65536
2
65,536
≈
2.0
×
10
19,728
{\displaystyle 2^{65{,}536}\approx 2.0\times 10^{19{,}728}}
2
2
65,536
≈
10
6.0
×
10
19,727
{\displaystyle 2^{2^{65{,}536}}\approx 10^{6.0\times 10^{19{,}727}}}
2
↑↑
b
{\displaystyle 2\uparrow \uparrow b}
3
2
4
65536
2
2
.
.
.
2
⏟
65,536
copies of
2
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65{,}536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}}
2
2
.
.
.
2
⏟
2
2
.
.
.
2
⏟
65,536
copies of
2
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65{,}536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}}
2
2
.
.
.
2
⏟
2
2
.
.
.
2
⏟
2
2
.
.
.
2
⏟
65,536
copies of
2
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65{,}536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}}
2
↑↑↑
b
{\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow b}
4
2
4
2
2
.
.
.
2
⏟
65,536
copies of
2
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65{,}536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}}
2
.
.
.
2
2
⏟
2
2
.
.
.
2
⏟
65,536
copies of
2
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65{,}536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}}
2
.
.
.
2
2
⏟
2
.
.
.
2
2
⏟
2
2
.
.
.
2
⏟
65,536
copies of
2
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \\\underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65{,}536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}}
2
.
.
.
2
2
⏟
2
.
.
.
2
2
⏟
2
.
.
.
2
2
⏟
2
2
.
.
.
2
⏟
65,536
copies of
2
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \\\underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \\\underbrace {^{^{^{^{^{2}.}.}.}2}2} \\\underbrace {2_{}^{2^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{2}}}}}}} \\65{,}536{\mbox{ copies of }}2\end{matrix}}}
2
↑↑↑↑
b
{\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}
Таблица такая же, как и у функции Аккермана , за исключением смещения
n
{\displaystyle n}
b
{\displaystyle b}
Расставляем цифры
3
b
{\displaystyle 3^{b}}
Ценности
3
↑
n
b
{\displaystyle 3\uparrow ^{n}b}
H
n
+
2
(
3
,
b
)
{\displaystyle H_{n+2}(3,b)}
3
[
n
+
2
]
b
{\displaystyle 3[n+2]b}
3 → б → п
б
ⁿ
1
2
3
4
5
формула
1
3
9
27
81
243
3
b
{\displaystyle 3^{b}}
2
3
27
7,625,597,484,987
3
7,625,597,484,987
≈
1.3
×
10
3,638,334,640,024
{\displaystyle 3^{7{,}625{,}597{,}484{,}987}\approx 1.3\times 10^{3{,}638{,}334{,}640{,}024}}
3
3
7,625,597,484,987
{\displaystyle 3^{3^{7{,}625{,}597{,}484{,}987}}}
3
↑↑
b
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow b}
3
3
7,625,597,484,987
3
3
.
.
.
3
⏟
7,625,597,484,987
copies of
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}}
3
3
.
.
.
3
⏟
3
3
.
.
.
3
⏟
7,625,597,484,987
copies of
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}}
3
3
.
.
.
3
⏟
3
3
.
.
.
3
⏟
3
3
.
.
.
3
⏟
7,625,597,484,987
copies of
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}}
3
↑↑↑
b
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow b}
4
3
3
3
.
.
.
3
⏟
7,625,597,484,987
copies of
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}}
3
.
.
.
3
3
⏟
3
3
.
.
.
3
⏟
7,625,597,484,987
copies of
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \\\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}}
3
.
.
.
3
3
⏟
3
.
.
.
3
3
⏟
3
3
.
.
.
3
⏟
7,625,597,484,987
copies of
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \\\underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \\\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}}
3
.
.
.
3
3
⏟
3
.
.
.
3
3
⏟
3
.
.
.
3
3
⏟
3
3
.
.
.
3
⏟
7,625,597,484,987
copies of
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \\\underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \\\underbrace {^{^{^{^{^{3}.}.}.}3}3} \\\underbrace {3_{}^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{3}}}}}}} \\7{,}625{,}597{,}484{,}987{\mbox{ copies of }}3\end{matrix}}}
3
↑↑↑↑
b
{\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}
Расставляем цифры
4
b
{\displaystyle 4^{b}}
Ценности
4
↑
n
b
{\displaystyle 4\uparrow ^{n}b}
H
n
+
2
(
4
,
b
)
{\displaystyle H_{n+2}(4,b)}
4
[
n
+
2
]
b
{\displaystyle 4[n+2]b}
4 → б → п
б
ⁿ
1
2
3
4
5
формула
1
4
16
64
256
1024
4
b
{\displaystyle 4^{b}}
2
4
256
4
256
≈
1.34
×
10
154
{\displaystyle 4^{256}\approx 1.34\times 10^{154}}
4
4
256
≈
10
8.0
×
10
153
{\displaystyle 4^{4^{256}}\approx 10^{8.0\times 10^{153}}}
4
4
4
256
{\displaystyle 4^{4^{4^{256}}}}
4
↑↑
b
{\displaystyle 4\uparrow \uparrow b}
3
4
4
4
256
≈
10
8.0
×
10
153
{\displaystyle 4^{4^{256}}\approx 10^{8.0\times 10^{153}}}
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
256
copies of
4
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{4^{256}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
256
copies of
4
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{4^{256}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
256
copies of
4
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{4^{256}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}
4
↑↑↑
b
{\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow b}
4
4
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
256
copies of
4
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{4^{256}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}
4
.
.
.
4
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
256
copies of
4
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{4^{256}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}
4
.
.
.
4
4
⏟
4
.
.
.
4
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
256
copies of
4
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \\\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{4^{256}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}
4
.
.
.
4
4
⏟
4
.
.
.
4
4
⏟
4
.
.
.
4
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
.
.
.
4
⏟
4
4
256
copies of
4
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \\\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \\\underbrace {^{^{^{^{^{4}.}.}.}4}4} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\\underbrace {4_{}^{4^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{4}}}}}}} \\4^{4^{256}}{\mbox{ copies of }}4\end{matrix}}}
4
↑↑↑↑
b
{\displaystyle 4\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}
Расставляем цифры
10
b
{\displaystyle 10^{b}}
Ценности
10
↑
n
b
{\displaystyle 10\uparrow ^{n}b}
H
n
+
2
(
10
,
b
)
{\displaystyle H_{n+2}(10,b)}
10
[
n
+
2
]
b
{\displaystyle 10[n+2]b}
10 → б → п
б
ⁿ
1
2
3
4
5
формула
1
10
100
1,000
10,000
100,000
10
b
{\displaystyle 10^{b}}
2
10
10,000,000,000
10
10
,
000
,
000
,
000
{\displaystyle 10^{10,000,000,000}}
10
10
10
,
000
,
000
,
000
{\displaystyle 10^{10^{10,000,000,000}}}
10
10
10
10
,
000
,
000
,
000
{\displaystyle 10^{10^{10^{10,000,000,000}}}}
10
↑↑
b
{\displaystyle 10\uparrow \uparrow b}
3
10
10
10
.
.
.
10
⏟
10
copies of
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}
10
10
.
.
.
10
⏟
10
10
.
.
.
10
⏟
10
copies of
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}
10
10
.
.
.
10
⏟
10
10
.
.
.
10
⏟
10
10
.
.
.
10
⏟
10
copies of
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}
10
10
.
.
.
10
⏟
10
10
.
.
.
10
⏟
10
10
.
.
.
10
⏟
10
10
.
.
.
10
⏟
10
copies of
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\\underbrace {10_{}^{10^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^{10}}}}}}} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}
10
↑↑↑
b
{\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow b}
4
10
10
.
.
.
10
10
⏟
10
copies of
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}
10
.
.
.
10
10
⏟
10
.
.
.
10
10
⏟
10
copies of
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}
10
.
.
.
10
10
⏟
10
.
.
.
10
10
⏟
10
.
.
.
10
10
⏟
10
copies of
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}
10
.
.
.
10
10
⏟
10
.
.
.
10
10
⏟
10
.
.
.
10
10
⏟
10
.
.
.
10
10
⏟
10
copies of
10
{\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\\underbrace {^{^{^{^{^{10}.}.}.}10}10} \\10{\mbox{ copies of }}10\end{matrix}}}
10
↑↑↑↑
b
{\displaystyle 10\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow b}
При 2 ≤ b ≤ 9 порядок чисел
10
↑
n
b
{\displaystyle 10\uparrow ^{n}b}
лексикографический порядок , где n является наиболее значимым числом, поэтому для номеров этих 8 столбцов нумерационный порядок является просто построчным. То же самое относится и к числам в 97 столбцах с 3 ≤ b ≤ 99, и если мы начнем с n = 1, даже для 3 ≤ b ≤ 9 999 999 999.
показывать Primary Inverse for left argumentInverse for right argument Related articles
показывать Examples Expression
Related
![{\displaystyle a\uparrow ^{n}b=H_{n+2}(a,b)=a[n+2]b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85c46ffdf75f03948d485eeffeea3486354eb211)
![{\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b&=&a[n+2]b&=&a\to b\to n\\{\mbox{(Кнут)}}&&{\mbox{( гипероперация)}}&&{\mbox{(Конвей)}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d66ddee4f3e087805a66045c64577585c46e685)
![{\displaystyle H_{n}(a,b)=a[n]b=a\uparrow ^{n-2}b{\text{for }}n\geq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/013f5aded05b23ab8552efd77dca57c4694d8b1e)
![{\displaystyle 0\uparrow ^{n}b=H_ {n+2}(0,b)=0[n+2]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74b3c65305086a3ffe141df38df0ae9061806ef)
![{\displaystyle 2[n+2]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb4b0efd43c05147b6e2cf0f82e4e8578d9bb164)
![{\displaystyle 3[n+2]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba2687ff69ff6cb85e93440bbf3c34422f0c1399)
![{\displaystyle 4[n+2]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e886a59164bc509fe87631a45781e0fc21586a2)
![{\displaystyle 10[n+2]b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb5b9086a31901fae5ebe46f61c0aba5b340ec4)
