номер Райо

Число Райо — это большое число, названное в честь мексиканского профессора философии Агустина Райо , которое считается самым большим числом. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Первоначально он был определен в «дуэли больших чисел» в Массачусетском технологическом институте 26 января 2007 года. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Определение

Функция Рэя натурального числа $n$ , обозначенный как ${\mbox{Rayo}}(n)$ , — наименьшее число, большее любого конечного числа $m$ со следующим свойством: существует формула $\phi (x_{1})$ на языке теории множеств первого порядка (как это представлено в определении ${\mbox{Sat}}$ ) с менее чем $n$ символы и $x_{1}$ как его единственная свободная переменная, такая что: (a) существует присвоение переменной $s$ назначение $m$ к $x_{1}$ такой, что ${\mbox{Sat}}([\phi (x_{1})],s)$ и (b) для любого присвоения переменной $t$ , если ${\mbox{Sat}}([\phi (x_{1})],t)$ , затем $t$ назначает $m$ к $x_{1}$ . Это определение дается исходным определением числа Райо.

Определение числа Райо представляет собой вариацию определения: ^{[ 5 ]}

Наименьшее число, превышающее любое конечное число, названное выражением на любом языке теории множеств первого порядка , в котором язык использует только символы гугола или меньше.

В частности, первоначальная версия определения, которая позже была уточнена, гласила: «Наименьшее число, большее любого числа, которое может быть названо выражением на языке теории множеств первого порядка с размером меньше гугола ( $10^{100}$ ) символы». ^{[ 4 ]}

Формальное определение числа использует следующую формулу второго порядка , где $[\phi ]$ представляет собой формулу, закодированную Гёделем , и $s$ это присвоение переменной: ^{[ 5 ]}

{\begin{aligned}&{\mbox{For all }}R\ \{\\&\{{\mbox{for any (coded) formula }}[\psi ]{\mbox{ and any variable assignment }}t\\&(R([\psi ],t)\leftrightarrow \\&(([\psi ]={\mbox{''}}x_{i}\in x_{j}{\mbox{''}}\land t(x_{i})\in t(x_{j}))\ \lor \\&([\psi ]={\mbox{''}}x_{i}=x_{j}{\mbox{''}}\land t(x_{i})=t(x_{j}))\ \lor \\&([\psi ]={\mbox{''}}(\neg \theta ){\mbox{''}}\land \neg R([\theta ],t))\ \lor \\&([\psi ]={\mbox{''}}(\theta \land \xi ){\mbox{''}}\land R([\theta ],t)\land R([\xi ],t))\ \lor \\&([\psi ]={\mbox{''}}\exists x_{i}\ (\theta ){\mbox{'' and, for some an }}x_{i}{\mbox{-variant }}t'{\mbox{ of }}t,R([\theta ],t'))\\&)\}\rightarrow \\&R([\phi ],s)\}\end{aligned}}

Учитывая эту формулу, число Райо определяется как: ^{[ 5 ]}

Наименьшее число, большее любого конечного числа $m$ со следующим свойством: существует формула $\phi (x_{1})$ на языке теории множеств первого порядка (как это представлено в определении ${\mbox{Sat}}$ ) с символами меньше гугола и $x_{1}$ как его единственная свободная переменная, такая что: (a) существует присвоение переменной $s$ назначение $m$ к $x_{1}$ такой, что ${\mbox{Sat}}([\phi (x_{1})],s)$ и (b) для любого присвоения переменной $t$ , если ${\mbox{Sat}}([\phi (x_{1})],t)$ , затем $t$ назначает $m$ к $x_{1}$ .

Объяснение

Интуитивно число Райо определяется на формальном языке так, что:

${\mbox{''}}x_{i}\in x_{j}{\mbox{''}}$ и ${\mbox{''}}x_{i}=x_{j}{\mbox{''}}$ представляют собой атомарные формулы .
Если $\theta$ это формула, то ${\mbox{''}}(\neg \theta ){\mbox{''}}$ есть формула отрицание ( $\theta$ ).
Если $\theta$ и $\xi$ являются формулами, то ${\mbox{''}}(\theta \land \xi ){\mbox{''}}$ собой формулу ( сочетание представляет $\theta$ и $\xi$ ).
Если $\theta$ это формула, то ${\mbox{''}}\exists x_{i}(\theta ){\mbox{''}}$ это формула ( экзистенциальная квантификация ).

Обратите внимание, что скобки удалять нельзя. Например, нужно написать ${\mbox{''}}\exists x_{i}((\neg \theta )){\mbox{''}}$ вместо ${\mbox{''}}\exists x_{i}(\neg \theta ){\mbox{''}}$ .

можно выразить недостающие логические связки На этом языке . Например:

Дизъюнкция : ${\mbox{''}}(\theta \lor \xi ){\mbox{''}}$ как ${\mbox{''}}(\neg ((\neg \theta )\land (\neg \xi ))){\mbox{''}}$ .
Импликация : ${\mbox{''}}(\theta \Rightarrow \xi ){\mbox{''}}$ как ${\mbox{''}}(\neg (\theta \land (\neg \xi ))){\mbox{''}}$ .
Двуусловное : ${\mbox{''}}(\theta \Leftrightarrow \xi ){\mbox{''}}$ как ${\mbox{''}}(\neg ((\neg (\theta \land \xi ))\land (\neg ((\neg \theta )\land (\neg \xi ))))){\mbox{''}}$ .
Универсальная количественная оценка : ${\mbox{''}}\forall x_{i}(\theta ){\mbox{''}}$ как ${\mbox{''}}(\neg \exists x_{i}((\neg \theta ))){\mbox{''}}$ .

Определение касается формул на этом языке, которые имеют только одну свободную переменную , а именно: $x_{1}$ . Если формула длиной $n$ удовлетворен, если и только если $x_{1}$ равен конечному ординалу фон Неймана $k$ , мы говорим, что такая формула является «строкой Райо» для $k$ , и это $k$ имеет имя Райо в $n$ символы. Затем, ${\mbox{Rayo}}(n)$ определяется как наименьший $k$ больше всех чисел, именуемых по Райо, не более $n$ символы.

Ссылки

^ «Номер Ч. Райо» . Подкаст «Математический фактор» . Проверено 24 марта 2014 г.
^ Керр, Джош (7 декабря 2013 г.). Конкурс «Назови самое большое число» . Архивировано из оригинала 20 марта 2016 года . Проверено 27 марта 2014 г.
^ Эльга, Адам. «Чемпионат больших чисел» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 июля 2019 года . Проверено 24 марта 2014 г.
^ Jump up to: ^а ^б Манзари, Мандана; Ник Семенкович (31 января 2007 г.). «Профессора сражаются в дуэли больших чисел» . Тех . Проверено 24 марта 2014 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Райо, Августин. «Дуэль больших чисел» . Проверено 24 марта 2014 г.

[1] «Номер Ч. Райо» . Подкаст «Математический фактор» . Проверено 24 марта 2014 г.

[2] Керр, Джош (7 декабря 2013 г.). Конкурс «Назови самое большое число» . Архивировано из оригинала 20 марта 2016 года . Проверено 27 марта 2014 г.

[3] Эльга, Адам. «Чемпионат больших чисел» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 июля 2019 года . Проверено 24 марта 2014 г.

[tech-4] Jump up to: ^а ^б Манзари, Мандана; Ник Семенкович (31 января 2007 г.). «Профессора сражаются в дуэли больших чисел» . Тех . Проверено 24 марта 2014 г.

[rayo-5] Jump up to: ^а ^б ^с Райо, Августин. «Дуэль больших чисел» . Проверено 24 марта 2014 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]