Сила трех

В математике степенью тройки называют число вида $3. н$ где $n$ — целое число , то есть результат возведения в степень с номером три в качестве основания и целым числом $n$ в качестве показателя степени .

Приложения [ править ]

Степени трех дают значения мест в троичной системе счисления . ^[1]

Теория графов [ править ]

В теории графов степени тройки появляются в границе Луны – Мозера $3. н /3$ от числа максимальных независимых множеств графа $n$ вершинного - , ^[2] и во временном анализе алгоритма Брона–Кербоша для поиска этих множеств. ^[3] Несколько важных сильно регулярных графов также имеют количество вершин, кратное трем, включая граф Брауэра-Хемерса (81 вершина), граф Берлекампа-ван Линта-Зейделя (243 вершины) и граф Игр (729 вершин). ^[4]

Перечислительная комбинаторика [ править ]

В перечислительной комбинаторике их $3. н$ подписанные подмножества набора из $n$ элементов. В полиэдральной комбинаторике гиперкуб как грани) , и все другие многогранники Ханнера имеют количество граней (не считая пустого множества равное степени трёх. Например, 2-куб , или квадрат , имеет 4 вершины, 4 ребра и 1 грань, а $4 + 4 + 1 = 3. 2$ . Калаи $3 д$ Гипотеза утверждает, что это минимально возможное количество граней центрально-симметричного многогранника. ^[5]

Обратная степень трёх длин [ править ]

В развлекательной математике и фрактальной геометрии обратная степень трёх длин встречается в конструкциях, приводящих к снежинке Коха . ^[6] набор Кантора , ^[7] Ковер Серпинского и губка Менгера , количество элементов на этапах построения треугольника Серпинского и многие формулы, относящиеся к этим множествам. Есть $3 н$ возможные состояния $n$ -дисковой головоломки Ханойской башни или вершины связанного с ней ханойского графа . ^[8] В головоломке с весами с $w$ шагов взвешивания есть $3 В$ возможные результаты (последовательности, в которых весы наклоняются влево или вправо или остаются сбалансированными); Степени трех часто возникают при решении этих головоломок, и было высказано предположение, что (по тем же причинам) степени трех могли бы составить идеальную систему монет . ^[9]

идеальные четные числа [ править ]

В теории чисел все степени трёх являются совершенными числами . ^[10] Суммы различных степеней трех образуют последовательность Стэнли — лексикографически наименьшую последовательность, не содержащую арифметической прогрессии из трех элементов. ^[11] Гипотеза степеней Пола Эрдеша гласит, что эта последовательность не содержит никаких двойки, кроме 1, 4 и 256. ^[12]

Номер Грэма [ править ]

Число Грэма , огромное число, возникающее в результате доказательства теории Рэмсея , является (в версии, популяризированной Мартином Гарднером ) степенью трёх.Однако в фактической публикации доказательства Рональда Грэма использовалось другое число, которое представляет собой степень двойки и намного меньше. ^[13]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Рануччи, Эрнест Р. (декабрь 1968 г.), «Дразнящая тройка», Учитель арифметики , 15 (8): 718–722, doi : 10.5951/AT.15.8.0718 , JSTOR 41185884
^ Мун, Дж.В.; Мозер, Л. (1965), «О кликах в графах», Израильский математический журнал , 3 : 23–28, doi : 10.1007/BF02760024 , MR 0182577 , S2CID 9855414
^ Томита, Эцудзи; Танака, Акира; Такахаши, Харухиса (2006), «Временная сложность в наихудшем случае для генерации всех максимальных клик и вычислительных экспериментов», Theoretical Computer Science , 363 (1): 28–42, doi : 10.1016/j.tcs.2006.06.015
^ Графики Брауэра-Хемерса и игр см. Bondarenko, Andriy V.; Radchenko, Danylo V. (2013), "On a family of strongly regular graphs with $\lambda =1$ ", Journal of Combinatorial Theory , Series B, 103 (4): 521–531, arXiv : 1201.0383 , doi : 10.1016/j.jctb.2013.05.005 , MR 3071380. Для графиков Берлекэмпа – Ван Линта – Зейделя и игр видеть ван Линт, Дж. Х .; Брауэр, А.Е. (1984), «Строго регулярные графы и частичная геометрия» (PDF) , в Джексоне, Дэвид М .; Ванстон, Скотт А. (ред.), Перечисление и проектирование: материалы конференции по комбинаторике, состоявшейся в Университете Ватерлоо, Ватерлоо, Онтарио, 14 июня – 2 июля 1982 г. , Лондон: Academic Press, стр. 85–122. , МР 0782310
^ Калаи, Гил (1989), «Число граней центрально-симметричных многогранников», Graphs and Combinatorics , 5 (1): 389–391, doi : 10.1007/BF01788696 , MR 1554357 , S2CID 8917264
^ фон Кох, Хельге (1904), «О непрерывной кривой без касательной, полученной с помощью элементарной геометрической конструкции» , Arkiv for Matematik (на французском языке), 1 : 681–704, JFM 35.0387.02
^ См., например, Михайла, Иоана (2004), «Рациональное обоснование множества Кантора», The College Mathematics Journal , 35 (4): 251–255, doi : 10.2307/4146907 , JSTOR 4146907 , MR 2076132
^ Хинц, Андреас М.; Клавжар, Санди ; Милутинович, Урош; Петр, Сирил (2013), «2.3 Ханойские графики», Ханойская башня - мифы и математика , Базель: Birkhäuser, стр. 120–134, doi : 10.1007/978-3-0348-0237-6 , ISBN 978-3-0348-0236-9 , МР 3026271
^ Тельсер, Л.Г. (октябрь 1995 г.), «Оптимальные номиналы монет и валюты», Economics Letters , 49 (4): 425–427, doi : 10.1016/0165-1765(95)00691-8
^ Яннуччи, Дуглас Э.; Дэн, Муджи; Коэн, Грэм Л. (2003), «О совершенных тотальных числах» , Журнал целочисленных последовательностей , 6 (4), статья 03.4.5, Бибкод : 2003JIntS...6...45I , MR 2051959
^ Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A005836» , Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS
^ Гупта, Хансрадж (1978), «Степени 2 и суммы различных степеней 3», Публикации Белградского университета, серия факультета электротехники, математики и физики (602–633): 151–158 (1979), MR 0580438
^ Гарднер, Мартин (ноябрь 1977 г.), «В котором соединение наборов точек ведет к различным (и расходящимся) путям», Scientific American , 237 (5): 18–28, Bibcode : 1977SciAm.237e..18G , doi : 10.1038/ научный американец1177-18

[1] Рануччи, Эрнест Р. (декабрь 1968 г.), «Дразнящая тройка», Учитель арифметики , 15 (8): 718–722, doi : 10.5951/AT.15.8.0718 , JSTOR 41185884

[2] Мун, Дж.В.; Мозер, Л. (1965), «О кликах в графах», Израильский математический журнал , 3 : 23–28, doi : 10.1007/BF02760024 , MR 0182577 , S2CID 9855414

[3] Томита, Эцудзи; Танака, Акира; Такахаши, Харухиса (2006), «Временная сложность в наихудшем случае для генерации всех максимальных клик и вычислительных экспериментов», Theoretical Computer Science , 363 (1): 28–42, doi : 10.1016/j.tcs.2006.06.015

[4] Графики Брауэра-Хемерса и игр см. Bondarenko, Andriy V.; Radchenko, Danylo V. (2013), "On a family of strongly regular graphs with $\lambda =1$ ", Journal of Combinatorial Theory , Series B, 103 (4): 521–531, arXiv : 1201.0383 , doi : 10.1016/j.jctb.2013.05.005 , MR 3071380. Для графиков Берлекэмпа – Ван Линта – Зейделя и игр видеть ван Линт, Дж. Х .; Брауэр, А.Е. (1984), «Строго регулярные графы и частичная геометрия» (PDF) , в Джексоне, Дэвид М .; Ванстон, Скотт А. (ред.), Перечисление и проектирование: материалы конференции по комбинаторике, состоявшейся в Университете Ватерлоо, Ватерлоо, Онтарио, 14 июня – 2 июля 1982 г. , Лондон: Academic Press, стр. 85–122. , МР 0782310

[5] Калаи, Гил (1989), «Число граней центрально-симметричных многогранников», Graphs and Combinatorics , 5 (1): 389–391, doi : 10.1007/BF01788696 , MR 1554357 , S2CID 8917264

[6] фон Кох, Хельге (1904), «О непрерывной кривой без касательной, полученной с помощью элементарной геометрической конструкции» , Arkiv for Matematik (на французском языке), 1 : 681–704, JFM 35.0387.02

[7] См., например, Михайла, Иоана (2004), «Рациональное обоснование множества Кантора», The College Mathematics Journal , 35 (4): 251–255, doi : 10.2307/4146907 , JSTOR 4146907 , MR 2076132

[8] Хинц, Андреас М.; Клавжар, Санди ; Милутинович, Урош; Петр, Сирил (2013), «2.3 Ханойские графики», Ханойская башня - мифы и математика , Базель: Birkhäuser, стр. 120–134, doi : 10.1007/978-3-0348-0237-6 , ISBN 978-3-0348-0236-9 , МР 3026271

[9] Тельсер, Л.Г. (октябрь 1995 г.), «Оптимальные номиналы монет и валюты», Economics Letters , 49 (4): 425–427, doi : 10.1016/0165-1765(95)00691-8

[10] Яннуччи, Дуглас Э.; Дэн, Муджи; Коэн, Грэм Л. (2003), «О совершенных тотальных числах» , Журнал целочисленных последовательностей , 6 (4), статья 03.4.5, Бибкод : 2003JIntS...6...45I , MR 2051959

[11] Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A005836» , Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS

[12] Гупта, Хансрадж (1978), «Степени 2 и суммы различных степеней 3», Публикации Белградского университета, серия факультета электротехники, математики и физики (602–633): 151–158 (1979), MR 0580438

[13] Гарднер, Мартин (ноябрь 1977 г.), «В котором соединение наборов точек ведет к различным (и расходящимся) путям», Scientific American , 237 (5): 18–28, Bibcode : 1977SciAm.237e..18G , doi : 10.1038/ научный американец1177-18

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]