Мощное число

${\begin{aligned}144000&=2^{7}\times 3^{2}\times 5^{3}\\&=2^{3}\times 2^{4}\times 3^{2}\times 5^{3}\\&=(2\times 5)^{3}\times (2^{2}\times 3)^{2}\end{aligned}}$

144000 – мощное число.
Каждый показатель степени в своей простой факторизации больше 1.
Это произведение квадрата и куба.

Мощное число — это целое положительное число m такое, что для каждого простого числа p, делящего m , p ² также делит m . Эквивалентно, мощное число — это произведение квадрата и куба , то есть число m вида m = a. ² б ³ , где a и b — положительные целые числа. Мощные числа также известны как квадратные , квадратные или 2-полные . Пол Эрдеш и Джордж Секереш изучали такие числа, а Соломон В. Голомб назвал такие числа мощными .

Ниже приводится список всех мощных чисел от 1 до 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 0, 961, 968, 972, 1000, ... (последовательность A001694 в OEIS ).

Эквивалентность двух определений

Если м = а ² б ³ , то каждое простое число в простой факторизации a появляется появляется в простой факторизации m с показателем не менее двух, и каждое простое число в простой факторизации b в простой факторизации m с показателем не менее трех; следовательно, m является мощным.

С другой стороны, предположим, что m является мощным, с простой факторизацией

$m=\prod p_{i}^{\alpha _{i}},$

где каждый α _i ≥ 2. Определим γ _i равным трем, если α _i нечетное, и нулю в противном случае, и определим β _i = α _i − γ _i . Тогда все значения β _i являются неотрицательными четными целыми числами, а все значения γ _i равны нулю или трем, поэтому

$m=\left(\prod p_{i}^{\beta _{i}}\right)\left(\prod p_{i}^{\gamma _{i}}\right)=\left(\prod p_{i}^{\beta _{i}/2}\right)^{2}\left(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3}\right)^{3}$

обеспечивает желаемое представление m как произведения квадрата и куба.

Неформально, учитывая простую факторизацию m , возьмем b как произведение простых множителей m , имеющих нечетный показатель степени (если их нет, то примем b равным 1). Поскольку m является мощным, каждый простой множитель с нечетным показателем имеет показатель не менее 3, поэтому m / b ³ является целым числом. Кроме того, каждый простой множитель m / b ³ имеет четный показатель, поэтому m / b ³ это идеальный квадрат, поэтому назовем его ² ; тогда м = а ² б ³ . Например:

$m=21600=2^{5}\times 3^{3}\times 5^{2}\,,$

$b=2\times 3=6\,,$

$a={\sqrt {\frac {m}{b^{3}}}}={\sqrt {2^{2}\times 5^{2}}}=10\,,$

$m=a^{2}b^{3}=10^{2}\times 6^{3}\,.$

Представление m = a ² б ³ вычисленное таким образом, имеет свойство b быть свободным от квадратов и однозначно определяется этим свойством.

Математические свойства

Сумма обратных мощных чисел сходится. Значение этой суммы можно записать несколькими другими способами, в том числе как бесконечное произведение

$\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)=1.9435964368...,$

где p пробегает все простые числа, ζ( s ) обозначает дзета-функцию Римана , а ζ (3) — константа Апери . (последовательность A082695 в OEIS ) В более общем смысле, сумма обратных s -х степеней мощных чисел ( производящая функция ряда Дирихле ) равна

${\frac {\zeta (2s)\zeta (3s)}{\zeta (6s)}}$

всякий раз, когда он сходится.

Пусть k ( x ) обозначает количество мощных чисел в интервале [1, x ]. Тогда k ( x ) пропорционально квадратному корню из x . Точнее,

$cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2.173\ldots$

(Голомб, 1970).

Два наименьших последовательных мощных числа — это 8 и 9. Поскольку уравнение Пелля x ² - 8 лет ² = 1 имеет бесконечно много целочисленных решений, существует бесконечно много пар последовательных мощных чисел (Голомб, 1970); в более общем смысле, можно найти последовательные мощные числа, решив аналогичное уравнение Пелля x ² - ​ ² = ±1 для любого совершенного куба n . Однако одно из двух мощных чисел в образованной таким образом паре должно быть квадратом. По словам Гая, Эрдеш спросил, существует ли бесконечно много пар последовательных мощных чисел, таких как (23 ³ , 2 ³ 3 ² 13 ² ), в котором ни одно число в паре не является квадратом. Уокер (1976) показал, что таких пар действительно бесконечно много, показав, что 3 ³ с ² + 1 = 7 ³ д ² имеет бесконечно много решений. Решения Уокера этого уравнения генерируются для любого нечетного целого числа k путем рассмотрения числа

$(2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})^{7k}=a{\sqrt {7}}+b{\sqrt {3}},$

для целых чисел a, делящегося на 7, и b , делящегося на 3, и построим из a и b последовательные мощные числа 7 a ² и 3 б ² с 7 а ² = 1 + 3 б ² . Наименьшая последовательная пара в этом семействе генерируется для k = 1 , a = 2637362 и b = 4028637 как

$7\cdot 2637362^{2}=2^{2}\cdot 7^{3}\cdot 13^{2}\cdot 43^{2}\cdot 337^{2}=48689748233308$

и

$3\cdot 4028637^{2}=3^{3}\cdot 139^{2}\cdot 9661^{2}=48689748233307.$

Нерешенная задача по математике :

Могут ли три последовательных числа иметь силу?

(еще нерешенные задачи по математике)

Эрдеш, Моллин и Уолш выдвинули гипотезу о том, что не существует трех последовательных мощных чисел. Если существует тройка последовательных мощных чисел, то ее наименьший член должен быть равен 7, 27 или 35 по модулю 36.

если гипотеза abc верна, существует только конечное число наборов из трех последовательных мощных чисел.

Суммы и разности мощных чисел

Любое нечетное число — это разница двух последовательных квадратов: ( k + 1) ² = к ² + 2 k + 1, поэтому ( k + 1) ² - к ² = 2 k + 1. Аналогично, любое число, кратное четырем, является разностью квадратов двух чисел, отличающихся на два: ( k + 2) ² - к ² = 4 k + 4. Однако одно четное число , то есть число, делящееся на два, но не на четыре, не может быть выражено как разность квадратов. Это мотивирует вопрос об определении того, какие отдельно четные числа можно выразить как разности мощных чисел. Голомб выставил несколько изображений этого типа:

2 = 3 ³  − 5 ²

10 = 13 ³  − 3 ⁷

18 = 19 ²  − 7 ³ = 3 ⁵  − 15 ² .

Было высказано предположение, что число 6 невозможно представить таким образом, а Голомб предположил, что существует бесконечно много целых чисел, которые нельзя представить как разность двух мощных чисел. Однако Наркевич показал, что число 6 можно представить бесконечно многими способами, например:

6 = 5 ⁴ 7 ³  − 463 ² ,

и МакДэниел показал, что каждое целое число имеет бесконечно много таких представлений (МакДэниел, 1982).

Эрдеш предположил, что каждое достаточно большое целое число представляет собой сумму не более трех мощных чисел; это было доказано Роджером Хит-Брауном (1987).

Обобщение

В более общем смысле мы можем рассматривать целые числа, все простые множители которых имеют показатели степени не ниже k . Такое целое число называется k -степенным числом, k -полным числом или k -полным числом.

(2 ^{к +1}  − 1) ^к ,  2 ^к (2 ^{к +1}  − 1) ^к ,   (2 ^{к +1}  − 1) ^{к +1}

являются k -степенными числами в арифметической прогрессии . При этом, если a ₁ , a ₂ , ..., a _s -степенны k в арифметической прогрессии с общей разностью d , то

а ₁ ( а _s + d ) ^к ,  

а ₂ ( а _s + d ) ^к , ..., а _s ( а _s + d ) ^к , ( а _с + д) ^{к +1}

являются s + 1 k -степенными числами в арифметической прогрессии.

У нас есть тождество, включающее k -степенные числа:

а ^к ( а ^л + ... + 1) ^к + а ^{к + 1} ( а ^л + ... + 1) ^к + ... + а ^{к + л} ( а ^л + ... + 1) ^к = а ^к ( а ^л + ... +1) ^{к +1} .

Это дает бесконечное количество l +1 наборов k -степенных чисел, сумма которых также k -степенна. Нитай показывает, что существует бесконечно много решений уравнения x + y = z в относительно простых 3-степенных числах (Nitaj, 1995). Кон строит бесконечное семейство решений уравнения x + y = z в относительно простых, некубических 3-степенных числах следующим образом: тройка

X = 9712247684771506604963490444281, Y = 32295800804958334401937923416351, Z = 27474621855216870941749052236511

является решением уравнения 32 X ³ + 49 лет ³ = 81Z ³ . Мы можем построить другое решение, положив X ′ = X (49 Y ³ + 81 З ³ ), Y ′ = − Y (32 X ³ + 81 З ³ ), Z ′ = Z (32 X ³ − 49 лет ³ ) и опуская общий делитель.

См. также

• Ахиллесово число
• Очень сильное число

Ссылки

• Кон, JHE (1998). «Гипотеза Эрдеша о 3-степенных числах» . Математика. Комп . 67 (221): 439–440. дои : 10.1090/S0025-5718-98-00881-3 .
• Эрдеш, Пол и Секерес, Джордж (1934). «О числе абелевых групп заданного порядка и о связанной с этим проблеме теории чисел». Акта Литт. наук. Сегед . 7 :95-102.
• Голомб, Соломон В. (1970). «Мощные цифры». Американский математический ежемесячник . 77 (8): 848–852. дои : 10.2307/2317020 . JSTOR   2317020 .
• Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг. Раздел Б16. ISBN  978-0-387-20860-2 .
• Хит-Браун, Роджер (1988). «Тройные квадратичные формы и суммы трех квадратных чисел». Séminaire de Theorie des Nombres, Париж, 1986–1987 годы . Бостон: Биркхойзер. стр. 137–163.
• Хит-Браун, Роджер (1990). «Суммы трех квадратных чисел». Теория чисел, I (Будапешт, 1987) . Коллок. Математика. Соц. Янош Бояи, нет. 51. стр. 163–171.
• Ивич, Александр (1985). Дзета-функция Римана. Теория дзета-функции Римана с приложениями . Публикация Wiley-Interscience. Нью-Йорк и др.: John Wiley & Sons. стр. 100-1 33–34, 407–413. ISBN  978-0-471-80634-9 . Збл   0556.10026 .
• Макдэниел, Уэйн Л. (1982). «Представление каждого целого числа как разности мощных чисел». Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 20 : 85–87.
• Нитадж, Абдеррахман (1995). «О гипотезе Эрдеша о 3-степенных числах». Бык. Лондонская математика. Соц. 27 (4): 317–318. CiteSeerX   10.1.1.24.563 . дои : 10.1112/blms/27.4.317 .
• Уокер, Дэвид Т. (1976). «Последовательные целые пары мощных чисел и связанные с ними диофантовы уравнения» (PDF) . Ежеквартальный журнал Фибоначчи . 14 (2): 111–116. МР   0409348 .

Внешние ссылки

• Мощный полный номер в Математической энциклопедии .
• Вайсштейн, Эрик В. «Мощное число» . Математический мир .
• Гипотеза abc
• Последовательность OEIS A060355 (Числа n такие, что n и n+1 представляют собой пару последовательных мощных чисел)