Шестая власть

64 (2 ⁶ ) и 729 (3 ⁶ ) кублеты, расположенные в виде кубиков (2 ^{2 3} и 3 ^{2 3} соответственно ) и в виде квадратов (2 ^{3 2} и 3 ^{3 2} , соответственно)

В арифметике и алгебре шестая степень n числа является вместе результатом умножения шести экземпляров числа n . Так:

н ⁶ знак равно п × п × п × п × п × п .

Шестую степень можно получить путем умножения числа на его пятую степень , умножения квадрата числа на его четвертую степень , возведения квадрата в куб или возведения в квадрат куба.

Последовательность шестых степеней целых чисел :

0, 1, 64, 729, 4096, 15625, 46656, 117649, 262144, 531441, 1000000, 1771561, 2985984, 4826809, 7529536, 11390625, 16777216 , 24137569, 34012224, 47045881, 64000000, 85766121, 113379904, 148035889, 191102976, 244140625, 308915776, 387420489, 481890304, ... (последовательность A001014 в OEIS )

Они включают значащие десятичные числа 10. ⁶ ( миллион ), 100 ⁶ ( короткомасштабный триллион и длинномасштабный миллиард), 1000 ⁶ ( квинтиллион и длинный триллион ) и так далее.

Квадраты и кубы

Шестые степени целых чисел можно охарактеризовать как числа, являющиеся одновременно квадратами и кубами. В этом смысле они аналогичны двум другим классам фигурных чисел : квадратно-треугольным числам , которые одновременно являются квадратными и треугольными;и решения задачи о пушечном ядре , которые одновременно являются квадратными и квадратно-пирамидальными.

Из-за своей связи с квадратами и кубами шестые степени играют важную роль при изучении кривых Морделла , которые представляют собой эллиптические кривые вида

$y^{2}=x^{3}+k.$

Когда $k$ делится на шестую степень, это уравнение можно сократить путем деления на эту степень, чтобы получить более простое уравнение той же формы.Хорошо известный результат теории чисел , доказанный Рудольфом Футером и Луи Дж. Морделлом , гласит, что, когда $k$ целое число, которое не делится на шестую степень (кроме исключительных случаев $k=1$ и $k=-432$), это уравнение либо не имеет рациональных решений, причем оба $x$ и $y$ ненулевые или бесконечно многие из них.

В архаичных обозначениях Роберта Рекорда шестая степень числа называлась «зензикуб», что означает квадрат куба. Точно так же в обозначениях шестых степеней, использованных в индийской математике XII века Бхаскарой II, они также назывались либо квадратом куба, либо кубом квадрата.

Суммы

Существует множество известных примеров шестых степеней, которые могут быть выражены как сумма семи других шестых степеней, но пока не известно ни одного примера шестой степени, выражаемой как сумма всего шести шестых степеней. Это делает ее уникальной среди степеней с показателем k = 1, 2, ..., 8, каждая из остальных может быть выражена как сумма k других k -ых степеней, причем некоторые из них (в нарушение суммы Эйлера гипотеза о степенях ) может быть выражена как сумма еще меньшего числа k -х степеней.

В связи с проблемой Уоринга каждое достаточно большое целое число можно представить как сумму не более 24 шестых степеней целых чисел.

Существует бесконечно много различных нетривиальных решений диофантова уравнения

$a^{6}+b^{6}+c^{6}=d^{6}+e^{6}+f^{6}.$

Не доказано, является ли уравнение

$a^{6}+b^{6}=c^{6}+d^{6}$

имеет нетривиальное решение, но гипотеза Лендера, Паркина и Селфриджа предполагает, что это не так.

Другая недвижимость

• $n^{6}-1$ делится на 7 тогда и только тогда, когда n не делится на 7.

См. также

• Секстическое уравнение
• Восьмая власть
• Седьмая власть
• Пятая степень (алгебра)
• Четвертая власть
• Куб (алгебра)
• Квадрат (алгебра)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение — шестая степень» . Математический мир .