Шестая власть
В арифметике и алгебре шестая степень числа n числа n является результатом умножения шести экземпляров . Так:
- н 6 знак равно п × п × п × п × п × п .
Шестую степень можно получить путем умножения числа на его пятую степень , умножения квадрата числа на его четвертую степень , возведения квадрата в куб или возведения в квадрат куба.
Последовательность шестых степеней целых чисел :
- 0, 1, 64, 729, 4096, 15625, 46656, 117649, 262144, 531441, 1000000, 1771561, 2985984, 4826809, 7529536, 11390625, 16777216 , 24137569, 34012224, 47045881, 64000000, 85766121, 113379904, 148035889, 191102976, 244140625, 308915776, 387420489, 481890304, ... (последовательность A001014 в OEIS )
Они включают значащие десятичные числа 10. 6 ( миллион ), 100 6 ( короткомасштабный триллион и длинномасштабный миллиард), 1000 6 ( квинтиллион и длинный триллион ) и так далее.
Квадраты и кубы [ править ]
Шестые степени целых чисел можно охарактеризовать как числа, являющиеся одновременно квадратами и кубами. [1] В этом смысле они аналогичны двум другим классам фигурных чисел : квадратно-треугольным числам , которые одновременно являются квадратными и треугольными; и решения задачи о пушечном ядре , которые одновременно являются квадратными и квадратно-пирамидальными.
Из-за своей связи с квадратами и кубами шестые степени играют важную роль при изучении кривых Морделла , которые представляют собой эллиптические кривые вида
Когда делится на шестую степень, то это уравнение можно сократить путем деления на эту степень, чтобы получить более простое уравнение той же формы. Хорошо известный результат теории чисел , доказанный Рудольфом Футером и Луисом Дж. Морделлом , гласит, что, когда целое число, не кратное шестой степени (кроме исключительных случаев и ), это уравнение либо не имеет рациональных решений, причем оба и ненулевые или бесконечно многие из них. [2]
В архаичных обозначениях Роберта Рекорда шестая степень числа называлась «зензикуб», что означает квадрат куба. Точно так же в обозначениях шестых степеней, используемых в индийской математике XII века Бхаскарой II, они также назывались либо квадратом куба, либо кубом квадрата. [3]
Суммы [ править ]
Существует множество известных примеров шестых степеней, которые могут быть выражены как сумма семи других шестых степеней, но пока не известно ни одного примера шестой степени, выражаемой как сумма всего шести шестых степеней. [4] Это делает его уникальным среди степеней с показателем k = 1, 2, ..., 8, каждая из остальных может быть выражена как сумма k других k -ых степеней, причем некоторые из них (в нарушение суммы Эйлера гипотеза о степенях ) может быть выражена как сумма еще меньшего числа k -х степеней.
В связи с проблемой Уоринга каждое достаточно большое целое число можно представить как сумму не более 24 шестых степеней целых чисел. [5]
Существует бесконечно много различных нетривиальных решений диофантова уравнения [6]
Не доказано, является ли уравнение
имеет нетривиальное решение, [7] но гипотеза Лендера, Паркина и Селфриджа предполагает, что это не так.
Другая недвижимость [ править ]
- делится на 7 тогда и только тогда, когда n не делится на 7.
См. также [ править ]
- Секстическое уравнение
- Восьмая власть
- Седьмая власть
- Пятая степень (алгебра)
- Четвертая власть
- Куб (алгебра)
- Квадрат (алгебра)
Ссылки [ править ]
- ^ Дауден, Ричард (30 апреля 1825 г.), «(без названия)» , Журнал механики и журнал науки, искусства и производства , том. 4, нет. 88, Найт и Лейси, с. 54
- ^ Ирландия, Кеннет Ф.; Розен, Майкл И. (1982), Классическое введение в современную теорию чисел , Тексты для аспирантов по математике, том. 84, Шпрингер-Верлаг, Нью-Йорк-Берлин, стр. 289, ISBN 0-387-90625-8 , МР 0661047 .
- ^ Каджори, Флориан (2013), История математических обозначений , Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, стр. 80, ISBN 9780486161167
- ^ Цитируется в Мейриньяк, Жан-Шарль (14 февраля 2001 г.). «Вычисление минимальных равных сумм одинаковых степеней: наиболее известные решения» . Проверено 17 июля 2017 г.
- ^ Воган, RC; Вули, Т.Д. (1994), «Дальнейшие улучшения проблемы Уоринга. II. Шестая степень», Duke Mathematical Journal , 76 (3): 683–710, doi : 10.1215/S0012-7094-94-07626-6 , MR 1309326
- ^ Брудно, Симха (1976), «Тройки шестых степеней с равными суммами», Математика вычислений , 30 (135): 646–648, doi : 10.1090/s0025-5718-1976-0406923-6 , MR 0406923
- ^ Бремнер, Эндрю; Гай, Ричард К. (1988), «Нерешенные проблемы: дюжина сложных диофантовых дилемм», American Mathematical Monthly , 95 (1): 31–36, doi : 10.2307/2323442 , JSTOR 2323442 , MR 1541235