Секстическое уравнение
В алгебре многочлен секстический (или шестнадцатеричный ) — это многочлен степени шестой . Секстическое уравнение — это полиномиальное уравнение шестой степени, то есть уравнение , левая часть которого представляет собой секстический полином, а правая часть равна нулю. Точнее, оно имеет вид:
где a ≠ 0 и коэффициенты a , b , c , d , e , f , g могут быть целыми числами , рациональными числами , действительными числами , комплексными числами или, в более общем плане, членами любого поля .
Секстическая функция — это функция, определяемая секстическим полиномом. Поскольку секстические функции имеют четную степень, на графике они кажутся похожими на функции четвертой степени , за исключением того, что каждая из них может иметь дополнительный локальный максимум и локальный минимум. Производная функцией секстической функции является квинтики .
Поскольку секстическая функция определяется полиномом четной степени, она имеет один и тот же бесконечный предел, когда аргумент переходит в положительную или отрицательную бесконечность . Если старший коэффициент a положителен, то функция возрастает до положительной бесконечности с обеих сторон и, таким образом, функция имеет глобальный минимум. Аналогично, если a отрицательно, секстическая функция уменьшается до отрицательной бесконечности и имеет глобальный максимум.
Разрешимые секстики [ править ]
Некоторые уравнения шестой степени, такие как ax 6 + дх 3 + g = 0 , можно решить путем разложения на радикалы, но другие секстики — нет. Эварист Галуа разработал методы определения того, может ли данное уравнение быть решено с помощью радикалов, что привело к возникновению области теории Галуа . [1]
Из теории Галуа следует, что секстическое уравнение разрешимо в терминах радикалов тогда и только тогда, когда его группа Галуа содержится либо в группе порядка 48, стабилизирующей разбиение множества корней на три подмножества по два корня, либо в группе группа порядка 72, которая стабилизирует разбиение множества корней на два подмножества по три корня.
Существуют формулы, позволяющие проверить любой случай и, если уравнение разрешимо, вычислить корни через радикалы. [2]
двумя переменными Общее секстическое уравнение можно решить с помощью функции Кампе де Ферье с . [1] Более ограниченный класс секстиков может быть решен с помощью обобщенной гипергеометрической функции с одной переменной, используя Феликса Кляйна подход к решению уравнения пятой степени . [1]
Примеры [ править ]
Кривая Ватта , возникшая в контексте ранних работ над паровым двигателем , представляет собой секстик двух переменных.
Один из методов решения кубического уравнения включает преобразование переменных для получения секстического уравнения, имеющего члены только степеней 6, 3 и 0, которое можно решить как квадратное уравнение в кубе переменной.
Этимология [ править ]
Описатель «секстик» происходит от латинской основы , обозначающей 6 или 6-й («секс-т-»), и греческого суффикса , означающего «относящийся к» («-ic»). Гораздо менее распространенный «гексик» использует греческий язык как для своей основы ( hex- 6), так и для суффикса ( -ik- ). В обоих случаях префикс относится к степени функции. Часто функции такого типа называют просто «функциями 6-й степени».
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б с Mathworld — секстическое уравнение
- ^ Т. Р. Хагедорн, Общие формулы для решения разрешимых секстических уравнений , J. Algebra 233 (2000), 704-757.