Полиномиальный

Для менее элементарных аспектов предмета см. Кольцо полиномов .

В математике многочлен состоящее — это математическое выражение, из неопределенных величин (также называемых переменными ) и коэффициентов , которое включает в себя только операции сложения , вычитания , умножения и степеней переменных целых положительных чисел. Примером многочлена от одной неопределенной x является x ² − 4 х + 7 . Пример с тремя неопределенными: x ³ + 2 хиз ² − yz + 1 .

Полиномы появляются во многих областях математики и естественных наук. Например, они используются для формирования полиномиальных уравнений , которые кодируют широкий круг задач, от элементарных словесных задач до сложных научных задач; они используются для определения полиномиальных функций , которые встречаются в самых разных областях: от базовой химии и физики до экономики и социальных наук ; и они используются в исчислении и численном анализе для аппроксимации других функций. В высшей математике полиномы используются для построения колец многочленов и алгебраических многообразий , которые являются центральными понятиями в алгебре и алгебраической геометрии .

Этимология

Слово «полиномиал» объединяет два разных корня : греческое слово «поли », означающее «много», и латинское « номен », или «имя». Оно произошло от термина «биномиал» путем замены латинского корня «би-» на греческий «поли-» . То есть имеется в виду сумма многих слагаемых (многих мономов ). Слово полином впервые было использовано в 17 веке.

Обозначения и терминология

График полиномиальной функции степени 3

X , входящий в состав многочлена, обычно называют переменной или неопределенной величиной . Когда многочлен рассматривается как выражение, x представляет собой фиксированный символ, не имеющий никакого значения (его значение «неопределенное»). Однако если рассматривать функцию, определенную полиномом, то x представляет собой аргумент функции и поэтому называется «переменной». Многие авторы используют эти два слова как синонимы.

Полином P от неопределенного x обычно обозначается либо как P , либо как P ( x ). Формально имя полинома — P , а не P ( x ), но использование функционального обозначения P ( x ) датируется временем, когда различие между полиномом и связанной с ним функцией было неясным. Более того, функциональная запись часто полезна для описания в одной фразе многочлена и его неопределенного значения. Например, «пусть P ( x ) будет многочленом» — это сокращение от «пусть P будет многочленом от неопределенного x ». С другой стороны, когда нет необходимости подчеркивать имя неопределенного, многие формулы намного проще и легче читаются, если имя (имена) неопределенного (я) не появляется при каждом появлении многочлена.

Неоднозначность наличия двух обозначений для одного математического объекта может быть формально решена путем рассмотрения общего значения функционального обозначения полиномов.Если a обозначает число, переменную, другой полином или, в более общем плане, любое выражение, то ( a ) по соглашению обозначает результат замены a на x в P. P Таким образом, многочлен P определяет функцию

$$a\mapsto P(a),$$

которая является полиномиальной функцией, связанной с P .Часто при использовании этого обозначения предполагается, что а — число. Однако его можно использовать в любой области, где определены сложение и умножение (то есть в любом кольце ). В частности, если a — многочлен, то P ( a ) также является многочленом.

Более конкретно, когда a является неопределенным x , то изображение x x этой функцией является самим многочленом P (замена на x ничего не меняет). Другими словами,

$$P(x)=P,$$

что формально оправдывает существование двух обозначений одного и того же многочлена.

Определение

Полиномиальное выражение — это выражение , которое можно составить из констант и символов, называемых переменными или неопределенными, посредством сложения , умножения и возведения в степень до неотрицательной целой степени. Константы обычно представляют собой числа , но могут быть любыми выражениями, не содержащими неопределенных значений, и представляют собой математические объекты , которые можно складывать и умножать. Два полиномиальных выражения считаются определяющими один и тот же многочлен , если их можно преобразовать одно в другое, применяя обычные свойства коммутативности , ассоциативности и дистрибутивности сложения и умножения. Например $(x-1)(x-2)$ и $x^{2}-3x+2$ — это два полиномиальных выражения, которые представляют один и тот же полином; итак, имеет место равенство $(x-1)(x-2)=x^{2}-3x+2$.

Многочлен от одного неопределенного x всегда можно записать (или переписать) в виде

$$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$$

где $a_{0},\ldots ,a_{n}$ являются константами, которые называются коэффициентами многочлена, а $x$ это неопределенное. Слово «неопределенный» означает, что $x$ не представляет никакого конкретного значения, хотя его можно заменить любым значением. Отображение, которое связывает результат этой замены с заменяемым значением, представляет собой функцию , называемую полиномиальной функцией .

Более кратко это можно выразить, используя обозначение суммирования :

$$\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$$

То есть полином может быть либо нулевым, либо записан как сумма конечного числа ненулевых членов . Каждый член состоит из произведения числа, называемого коэффициентом члена. – и конечное число неопределенных чисел, возведенных в неотрицательные целые степени.

Классификация

Дополнительная информация: Степень полинома.

Показатель степени неопределенного в термине называется степенью этого неопределенного в этом термине; степень члена - это сумма степеней неопределенных в этом члене, а степень многочлена - это наибольшая степень любого члена с ненулевым коэффициентом. Потому что х = х ¹ , степень неопределенного без записанного показателя равна единице.

Член без неопределенных и многочлен без неопределенных называются соответственно постоянным членом и постоянным многочленом . Степень постоянного члена и ненулевого постоянного многочлена равна 0. Степень нулевого многочлена 0 (который вообще не имеет членов) обычно считается неопределенным (но см. ниже).

Например:

$$-5x^{2}y$$

это термин. Коэффициент равен −5 , неопределённые — x и y , степень x равна двум, а степень y — единице. Степень всего члена равна сумме степеней каждого неопределенного в нем, поэтому в этом примере степень равна 2 + 1 = 3 .

Формирование суммы нескольких членов дает полином. Например, следующий полином:

$$\underbrace {_{\,}3x^{2}} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {1} \end{smallmatrix}}\underbrace {-_{\,}5x} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {2} \end{smallmatrix}}\underbrace {+_{\,}4} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {3} \end{smallmatrix}}.$$

Он состоит из трёх слагаемых: первый — второй степени, второй — первой степени и третий — нулевой степени.

Полиномам малой степени присвоены особые имена. Полином нулевой степени — это постоянный многочлен или просто константа . Полиномы первой, второй или третьей степени представляют собой соответственно линейные полиномы, квадратичные полиномы и кубические полиномы . Для более высоких степеней конкретные названия обычно не используются, хотя полином четвертой степени (для четвертой степени) и полином пятой степени иногда используются (для пятой степени). Названия степеней могут применяться к многочлену или его членам. Например, член 2 x в x ² + 2 x + 1 — линейный член квадратичного многочлена.

Полином 0, который можно считать вообще не имеющим членов, называется нулевым многочленом . В отличие от других постоянных многочленов, его степень не равна нулю. Скорее, степень нулевого многочлена либо остается явно неопределенной, либо определяется как отрицательная (либо -1, либо -∞). Нулевой многочлен уникален еще и тем, что это единственный многочлен от одной неопределенной, имеющий бесконечное число корней . График нулевого полинома f ( x ) = 0 является осью x .

В случае многочленов более чем от одной неопределенной многочлен называется однородным степени n , если все его ненулевые члены имеют степень n . Нулевой многочлен однороден, и, как однородный многочлен, его степень не определена. Например, х ³ и ² + 7x ² и ³ − 3x ⁵ является однородным 5-й степени. Подробнее см. в разделе « Однородный полином» .

Коммутативный закон сложения можно использовать для перестановки членов в любом предпочтительном порядке. В многочленах с одной неопределенной члены обычно упорядочены по степени: либо по «убывающей степени x », начиная с члена наибольшей степени, либо по «возрастающей степени x ». Полином 3 x ² − 5 x + 4 записано в убывающих степенях x . Первый член имеет коэффициент 3 , неопределенный x и показатель степени 2 . Во втором члене коэффициент равен −5 . Третий член является константой. Поскольку степень ненулевого многочлена является наибольшей степенью любого одного члена, этот многочлен имеет степень два.

Два термина с одинаковыми неопределенными, возведенными в одинаковые степени, называются «подобными членами» или «подобными членами», и их можно объединить, используя распределительный закон , в один член, коэффициент которого представляет собой сумму коэффициентов членов, которые были объединены. Может случиться так, что в результате коэффициент станет равным 0. Полиномы можно классифицировать по количеству членов с ненулевыми коэффициентами, так что одночленный многочлен называется мономом , двухчленный многочлен называется биномом , а трехчленный многочлен называется трехчленом .

– Действительный многочлен это многочлен с действительными коэффициентами. Когда он используется для определения функции , домен не так ограничен. Однако действительная полиномиальная функция — это функция от действительных чисел к действительным, которая определяется действительным полиномом. Аналогично, целочисленный многочлен — это многочлен с целыми коэффициентами, а комплексный многочлен — это многочлен с комплексными коэффициентами.

Многочлен от одной неопределенной называется одномерным многочленом , многочлен от более чем одной неопределенной называется многомерным многочленом . Многочлен с двумя неопределенными называется двумерным многочленом . Эти понятия больше относятся к типу полиномов, с которыми обычно работают, чем к отдельным полиномам; например, при работе с одномерными многочленами нельзя исключать постоянные многочлены (которые могут возникнуть в результате вычитания непостоянных многочленов), хотя, строго говоря, постоянные многочлены вообще не содержат каких-либо неопределенных величин. В дальнейшем можно классифицировать многомерные полиномы как двумерные , трехмерные и т. д., в соответствии с максимально допустимым количеством неопределенных значений. Опять же, чтобы множество рассматриваемых объектов было замкнутым при вычитании, изучение полиномов трехмерной переменной обычно допускает двумерные полиномы и так далее. Также принято говорить просто «полиномы от x , y и z », перечисляя разрешенные неопределенные значения.

Операции

Сложение и вычитание

Полиномы можно складывать, используя ассоциативный закон сложения (группируя все их члены в одну сумму), возможно, с последующим переупорядочением (с использованием коммутативного закона ) и объединением подобных членов. Например, если

$$P=3x^{2}-2x+5xy-2$$

и

$$Q=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8$$

тогда сумма

$$P+Q=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8$$

можно переупорядочить и перегруппировать как

$$P+Q=(3x^{2}-3x^{2})+(-2x+3x)+5xy+4y^{2}+(8-2)$$

а затем упростил до

$$P+Q=x+5xy+4y^{2}+6.$$

Когда полиномы складываются вместе, в результате получается еще один полином.

Вычитание многочленов аналогично.

Умножение

Полиномы также можно умножать. Чтобы разложить произведение двух многочленов в сумму членов, неоднократно применяется закон распределения, в результате чего каждый член одного многочлена умножается на каждый член другого. Например, если

$${\begin{aligned}\color {Red}P&\color {Red}{=2x+3y+5}\\\color {Blue}Q&\color {Blue}{=2x+5y+xy+1}\end{aligned}}$$

затем

$${\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {Red}{P}}{\color {Blue}{Q}}&{=}&&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{1}})\end{array}}$$

Выполнение умножения в каждом члене дает

$${\begin{array}{rccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&10xy&+&2x^{2}y&+&2x\\&&+&6xy&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&3y\\&&+&10x&+&25y&+&5xy&+&5.\end{array}}$$

Объединение похожих терминов дает

$${\begin{array}{rcccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&(10xy+6xy+5xy)&+&2x^{2}y&+&(2x+10x)\\&&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&(3y+25y)&+&5\end{array}}$$

который можно упростить до

$$PQ=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5.$$

Как и в примере, произведение полиномов всегда является полиномом.

Состав

Учитывая полином $f$ одной переменной и другого многочлена g от любого числа переменных, композиция $f\circ g$ получается путем замены каждой копии переменной первого многочлена вторым многочленом. Например, если $f(x)=x^{2}+2x$ и $g(x)=3x+2$ затем

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))=(3x+2)^{2}+2(3x+2).$$

Композиция может быть расширена до суммы членов, используя правила умножения и деления многочленов. Композиция двух многочленов является еще одним многочленом.

Дивизия

Деление одного многочлена на другой обычно не является многочленом. Вместо этого такие отношения представляют собой более общее семейство объектов, называемых рациональными дробями , рациональными выражениями или рациональными функциями , в зависимости от контекста. Это аналогично тому факту, что отношение двух целых чисел является рациональным числом , а не обязательно целым. Например, дробь 1/( x ² + 1) не является полиномом и его нельзя записать в виде конечной суммы степеней переменной x .

Для многочленов от одной переменной существует понятие евклидова деления многочленов , обобщающее евклидово деление целых чисел. Это понятие деления a ( x )/ b ( x ) приводит к получению двух полиномов, частного q ( x ) и остатка r ( x ) , таких, что a = b q + r и степень ( r ) < степень ( b ) . Частное и остаток можно вычислить с помощью любого из нескольких алгоритмов, включая полиномиальное деление в столбик и синтетическое деление .

Когда знаменатель b ( x ) является моническим и линейным, то есть b ( x ) = x − c для некоторой константы c , тогда теорема о полиномиальном остатке утверждает, что остаток от деления a ( x ) на b ( x ) это оценка a ( c ) . В этом случае частное можно вычислить по правилу Руффини — частному случаю синтетического деления.

Факторинг

Все многочлены с коэффициентами в уникальной области факторизации (например, целые числа или поле ) также имеют факторизованную форму, в которой многочлен записывается как произведение неприводимых многочленов и константы. Эта факторизованная форма уникальна с точностью до порядка множителей и их умножения на обратимую константу. В случае поля комплексных чисел неприводимые множители линейны. Над действительными числами они имеют степень один или два. В целых и рациональных числах неприводимые множители могут иметь любую степень. Например, факторизованная форма

$$5x^{3}-5$$

является

$$5(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)$$

над целыми и действительными числами, и

$$5(x-1)\left(x+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)\left(x+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right)$$

над комплексными числами.

Вычисление факторизованной формы, называемое факторизацией , в целом слишком сложно, чтобы его можно было выполнить вручную. Однако эффективные полиномиальной факторизации алгоритмы доступны в большинстве систем компьютерной алгебры .

Исчисление

Основная статья: Исчисление с полиномами

Вычисление производных и интегралов многочленов особенно просто по сравнению с другими видами функций.Производная ​ многочлена

$$P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$$

по x – многочлен

$$na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots +2a_{2}x+a_{1}=\sum _{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1}.$$

Аналогично, общая первообразная (или неопределенный интеграл) $P$ является

$${\frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+{\frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+\dots +{\frac {a_{2}x^{3}}{3}}+{\frac {a_{1}x^{2}}{2}}+a_{0}x+c=c+\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}x^{i+1}}{i+1}}$$

где c — произвольная константа. Например, первообразные x ² + 1 имеют форму 1/3 ​ ​ х ³ + х + с .

Для многочленов, коэффициенты которых происходят из более абстрактных условий (например, если коэффициенты являются целыми числами по модулю некоторого простого числа p или элементами произвольного кольца), формулу производной все равно можно интерпретировать формально, при этом коэффициент ka _k понимается как означают сумму k копий a _k . Например, по целым числам по модулю p производная многочлена x ^п + x — многочлен 1 .

Полиномиальные функции

См. Также: Кольцо полиномиальных функций.

Полиномиальная функция — это функция, которую можно определить путем вычисления полинома. Точнее, функция f одного аргумента из данной области является полиномиальной функцией, если существует полином

$$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$$

который оценивается как $f(x)$ для всех x в области f a (здесь n — неотрицательное целое число, а a ₀ , a ₁ , a ₂ , ..., n _— постоянные коэффициенты). Обычно, если не указано иное, полиномиальные функции имеют комплексные коэффициенты, аргументы и значения. В частности, многочлен, ограниченный действительными коэффициентами, определяет функцию от комплексных чисел к комплексным числам. Если область определения этой функции также ограничена вещественными числами, результирующая функция является реальной функцией , которая отображает действительные числа в действительные числа.

Например, функция f , определенная формулой

$$f(x)=x^{3}-x,$$

является полиномиальной функцией одной переменной. Полиномиальные функции нескольких переменных определяются аналогичным образом, используя полиномы от более чем одной неопределенной, как в

$$f(x,y)=2x^{3}+4x^{2}y+xy^{5}+y^{2}-7.$$

Согласно определению полиномиальных функций могут существовать выражения, которые заведомо не являются полиномами, но тем не менее определяют полиномиальные функции. Примером может служить выражение $\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{2},$ который принимает те же значения, что и полином $1-x^{2}$ на интервале $[-1,1]$, и, таким образом, оба выражения определяют одну и ту же полиномиальную функцию на этом интервале.

Любая полиномиальная функция непрерывна , гладка и цела .

Оценка ; полинома — это вычисление соответствующей полиномиальной функции то есть оценка состоит из подстановки числового значения к каждой неопределенной величине и выполнения указанных умножений и сложений.

Для многочленов с одной неопределенной оценка обычно более эффективна (меньшее количество выполняемых арифметических операций) с использованием метода Хорнера , который заключается в переписывании многочлена как

$$(((((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dotsb +a_{3})x+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}.$$

Графики

• 
  Полином степени 0:
  ж ( Икс ) знак равно 2
• 
  Полином степени 1:
  ж ( Икс ) знак равно 2 Икс + 1
• 
  Полином степени 2:
  ж ( Икс ) знак равно Икс ² - х - 2
  = ( х + 1)( х - 2)
• 
  Полином степени 3:
  ж ( Икс ) знак равно Икс ³ /4 + 3x ² /4 - 3 х /2 - 2
  = 1/4 ( х + 4)( х + 1)( х - 2)
• 
  Полином 4-й степени:
  ж ( Икс ) знак равно 1/14 ( Икс + 4)( Икс + 1)( Икс - 1)( Икс - 3)
  + 0.5
• 
  Полином 5-й степени:
  ж ( Икс ) знак равно 1/20 ( Икс + 4)( Икс + 2)( Икс + 1)( Икс - 1)
  ( х - 3) + 2
• 
  Полином 6-й степени:
  е ( х ) = 1/100 ( х ⁶ − 2 х ⁵ − 26 х ⁴ + 28 х ³
  + 145 х ² − 26 х − 80)
• 
  Полином 7-й степени:
  ж ( Икс ) знак равно ( Икс - 3)( Икс - 2)( Икс - 1)( Икс )( Икс + 1)( Икс + 2)
  ( х + 3)

Полиномиальную функцию от одной действительной переменной можно представить графиком .

• График нулевого многочлена
  ж ( Икс ) знак равно 0
  это ось x .
• График полинома степени 0
  ж ( Икс ) знак равно а ₀ , где а ₀ ≠ 0 ,
  представляет собой горизонтальную линию с y пересечением оси с ₀
• График полинома степени 1 (или линейной функции)
  ж ( Икс ) знак равно а ₀ + а ₁ Икс , где а ₁ ≠ 0 ,
  представляет собой наклонную линию с y пересечением оси a ₀ и наклоном a ₁ .
• График полинома 2-й степени
  ж ( Икс ) знак равно а ₀ + а ₁ Икс + а ₂ Икс ² , где а ₂ ≠ 0
  является параболой .
• График полинома 3-й степени
  ж ( Икс ) знак равно а ₀ + а ₁ Икс + а ₂ Икс ² + 3 _​ х ³ , где а ₃ ≠ 0
  представляет собой кубическую кривую .
• График любого полинома степени 2 или выше
  ж ( Икс ) знак равно а ₀ + а ₁ Икс + а ₂ Икс ² + ⋯ + а _н х ^н , где a _n ≠ 0 и n ≥ 2
  представляет собой непрерывную нелинейную кривую.

Непостоянная полиномиальная функция стремится к бесконечности , когда переменная увеличивается неограниченно (по абсолютному значению ). Если степень выше единицы, график не имеет асимптоты . Он имеет две параболические ветви с вертикальным направлением (одна ветвь для положительного x и одна для отрицательного x ).

Полиномиальные графики анализируются в исчислении с использованием точек пересечения, наклонов, вогнутости и поведения концов.

Уравнения

Основная статья: Алгебраическое уравнение

Полиномиальное уравнение , также называемое алгебраическим уравнением , представляет собой уравнение вида

$$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.$$

Например,

$$3x^{2}+4x-5=0$$

является полиномиальным уравнением.

При рассмотрении уравнений неопределенные (переменные) многочленов также называются неизвестными , а решения — это возможные значения неизвестных, для которых справедливо равенство (вообще может существовать более одного решения). Полиномиальное уравнение контрастирует с полиномиальным тождеством , например ( x + y )( x − y ) = x ² − и ² , где оба выражения представляют один и тот же полином в разных формах, и, как следствие, любое вычисление обоих членов дает допустимое равенство.

В элементарной алгебре такие методы, как квадратичная формула, преподаются для решения всех полиномиальных уравнений первой и второй степени с одной переменной. Имеются также формулы для уравнений кубической и четвертой степени . Для более высоких степеней теорема Абеля – Руффини утверждает, что не может существовать общая формула в радикалах. Однако алгоритмы поиска корней можно использовать для поиска численных аппроксимаций корней полиномиального выражения любой степени.

Число решений полиномиального уравнения с действительными коэффициентами не может превышать степени и равняется степени при счете комплексных решений с учетом их кратности . Этот факт называется основной теоремой алгебры .

Решение уравнений

Основная статья: Алгебраическое уравнение

См. также: Поиск корней многочленов и Свойства корней многочленов.

Корень — это ненулевого одномерного многочлена P значение a числа x такое, что P ( a ) = 0 . Другими словами, корень P является решением полиномиального уравнения P ( x ) = 0 или нулем полиномиальной функции, определенной P . В случае нулевого многочлена каждое число является нулем соответствующей функции, и понятие корня рассматривается редко.

Число a является корнем многочлена P тогда и только тогда, когда линейный многочлен x − a делит P , то есть если существует другой многочлен Q такой, что P = ( x − a ) Q . Может случиться так, что степень (больше 1 ) x − a делит P ; этом случае a является кратным корнем P a , а в противном случае является простым корнем P в . Если P — ненулевой многочлен, существует высшая степень m такая, что ( x − a ) ^м делит P называется кратностью a что как корня P. , Число корней ненулевого многочлена P , подсчитанное с их соответствующими кратностями, не может превышать степень P , и равен этой степени, если рассматривать все комплексные корни (это следствие основной теоремы алгебры ).Коэффициенты многочлена и его корни связаны формулами Виета .

Некоторые полиномы, такие как x ² +1 , не имеют корней среди действительных чисел . Однако если набор принятых решений расширить до комплексных чисел , каждый непостоянный многочлен имеет хотя бы один корень; это основная теорема алгебры . Путем последовательного деления факторов x − a можно увидеть, что любой многочлен с комплексными коэффициентами можно записать как константу (его старший коэффициент), умноженную на произведение таких полиномиальных факторов степени 1; как следствие, количество (комплексных) корней с учетом их кратностей в точности равно степени многочлена.

может иметь несколько значений Термин «решение уравнения» . Кто-то может захотеть выразить решения в виде явных чисел; например, единственное решение 2 x − 1 = 0 равно 1/2 . Это, вообще говоря, невозможно для уравнений степени выше единицы, и с древних времен математики пытались выразить решения в виде алгебраических выражений ; например, золотое сечение $(1+{\sqrt {5}})/2$ является единственным положительным решением $x^{2}-x-1=0.$ В древние времена им это удавалось только на первой и второй степени. Для квадратных уравнений квадратная формула такие выражения решений дает . С XVI века аналогичные формулы (с использованием кубических корней помимо квадратных), хотя и гораздо более сложные, известны для уравнений третьей и четвертой степени (см. кубическое уравнение и уравнение четвертой степени ). Но формулы для степени 5 и выше ускользали от исследователей на протяжении нескольких столетий. В 1824 году Нильс Хенрик Абель доказал поразительный результат: существуют уравнения пятой степени, решения которых не могут быть выражены (конечной) формулой, включающей только арифметические операции и радикалы (см. теорему Абеля–Руффини ). В 1830 году Эварист Галуа доказал, что большинство уравнений степени выше четырех не могут быть решены с помощью радикалов, и показал, что для каждого уравнения можно решить, разрешимо ли оно с помощью радикалов, и, если да, решить его. Этот результат положил начало теории Галуа и теории групп , двум важным ветвям современной алгебры. . Сам Галуа отмечал, что вычисления, подразумеваемые его методом, неосуществимы. Тем не менее, формулы для разрешимых уравнений 5 и 6 степени были опубликованы (см. функцию квинтики и уравнение секста ).

Когда нет алгебраического выражения для корней и когда такое алгебраическое выражение существует, но слишком сложно, чтобы его можно было использовать, единственный способ его решения — вычислить численные аппроксимации решений. Для этого существует множество методов; некоторые ограничены полиномами, а другие могут применяться к любой непрерывной функции . Наиболее эффективные алгоритмы позволяют легко (на компьютере ) решать полиномиальные уравнения степени выше 1000 (см. Алгоритм поиска корня ).

Для многочленов с более чем одной неопределенной комбинацией значений переменных, для которых полиномиальная функция принимает нулевое значение, обычно называют нулями, а не «корнями». Изучение множеств нулей многочленов является предметом алгебраической геометрии . Для набора полиномиальных уравнений с несколькими неизвестными существуют алгоритмы определения того, имеют ли они конечное число комплексных решений, и, если это число конечно, для вычисления решений. См. Система полиномиальных уравнений .

Особый случай, когда все многочлены имеют первую степень, называется системой линейных уравнений , для которой существует другой диапазон различных методов решения , включая классическое исключение Гаусса .

Полиномиальное уравнение, для которого интересуют только целые решения, называется диофантовым уравнением . Решение диофантовых уравнений вообще является очень сложной задачей. Доказано, что не может быть какого-либо общего алгоритма для их решения или даже для определения того, пусто ли множество решений (см. десятую проблему Гильберта ). Некоторые из наиболее известных задач, решенных за последние пятьдесят лет, связаны с диофантовыми уравнениями, например, с Великой теоремой Ферма .

Полиномиальные выражения

Часто рассматриваются полиномы, в которых неопределённые заменяются некоторыми другими математическими объектами, и иногда они имеют специальное название.

Тригонометрические полиномы

Основная статья: Тригонометрический полином

Тригонометрический полином — это конечная линейная комбинация функций ) , sin( nx ) и cos( nx где n принимает значения одного или нескольких натуральных чисел . Коэффициенты могут быть приняты как действительные числа для вещественных функций.

Если sin( nx ) и cos( nx ) раскрываются с точки зрения sin( x ) и cos( x ), тригонометрический полином становится полиномом от двух переменных sin( x ) и cos( x ) (с использованием списка тригонометрических тождеств #Формулы нескольких углов ). И наоборот, каждый полином из sin( x ) и cos( x ) может быть преобразован с помощью тождеств «Произведение в сумму» в линейную комбинацию функций sin( nx ) и cos( nx ). Эта эквивалентность объясняет, почему линейные комбинации называются полиномами.

Для комплексных коэффициентов нет разницы между такой функцией и конечным рядом Фурье .

Тригонометрические полиномы широко используются, например, в тригонометрической интерполяции, применяемой для интерполяции периодических функций . Они также используются в дискретном преобразовании Фурье .

Матричные полиномы

Основная статья: Матричный полином

Матричный полином — это многочлен с квадратными матрицами в качестве переменных. Учитывая обычный скалярный полином

$$P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},$$

этот многочлен, оцененный в матрице A, равен

$$P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},$$

где I — единичная матрица .

Матричное полиномиальное уравнение — это равенство между двумя матричными полиномами, которое справедливо для конкретных рассматриваемых матриц. Матричное полиномиальное тождество — это матричное полиномиальное уравнение, которое справедливо для всех матриц A в заданном кольце матриц M _n ( R ).

Экспоненциальные полиномы

Двумерный полином, в котором вторая переменная заменяется экспоненциальной функцией, примененной к первой переменной, например P ( x , e ^х ) , можно назвать экспоненциальным полиномом .

Связанные понятия

Рациональные функции

Основная статья: Рациональная функция

Рациональная дробь — это частное ( алгебраическая дробь ) двух многочленов. Любое алгебраическое выражение , которое можно переписать в виде рациональной дроби, является рациональной функцией .

В то время как полиномиальные функции определены для всех значений переменных, рациональная функция определяется только для значений переменных, знаменатель которых не равен нулю.

Рациональные дроби включают полиномы Лорана, но не ограничивают знаменатели степенями неопределенного.

Полиномы Лорана

Основная статья: полином Лорана

Полиномы Лорана подобны полиномам, но допускают появление отрицательных степеней переменных.

Серия Power

Основная статья: Формальный степенной ряд

Формальные степенные ряды подобны полиномам, но допускают появление бесконечного числа ненулевых членов, так что они не имеют конечной степени. В отличие от многочленов их вообще нельзя явно и полностью записать (как и иррациональные числа ), но правила обращения с их членами такие же, как и для многочленов. Неформальные степенные ряды также обобщают полиномы, но умножение двух степенных рядов может не сходиться.

Полиномиальное кольцо

Основная статья: Полиномиальное кольцо

Многочлен принадлежат f над коммутативным кольцом R это многочлен, все коэффициенты которого R. — Непосредственно проверяется, что многочлены из данного набора неопределенных над R образуют коммутативное кольцо, называемое кольцом многочленов от этих неопределенных и обозначаемое $R[x]$ в одномерном случае и $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ в многомерном случае.

У одного есть

$$R[x_{1},\ldots ,x_{n}]=\left(R[x_{1},\ldots ,x_{n-1}]\right)[x_{n}].$$

Таким образом, большую часть теории многомерного случая можно свести к повторяемому одномерному случаю.

Отображение R в R [ x ], переводящее r в себя, рассматриваемое как постоянный полином, является инъективным гомоморфизмом колец , согласно которому R рассматривается как подкольцо R [ x ] . частности, R [ x ] — алгебра над R. В

Можно думать, что кольцо R [ x ] возникает из R путем добавления одного нового элемента x к R и расширяется минимальным образом до кольца, в котором x не удовлетворяет никаким другим отношениям, кроме обязательных, плюс коммутация со всеми элементами из R (то есть xr = rx ). Для этого необходимо сложить все степени x и их линейные комбинации.

Формирование кольца полиномов вместе с формированием факторных колец путем факторизации идеалов являются важными инструментами для построения новых колец из известных. Например, кольцо (фактически поле) комплексных чисел, которое можно построить из кольца многочленов R [ x ] над действительными числами путем вынесения идеала кратных многочлена x ² + 1 . Другой пример — построение конечных полей , которое происходит аналогичным образом, начиная с поля целых чисел по модулю некоторого простого числа в качестве кольца коэффициентов R (см. модульную арифметику ).

Если R коммутативен, то каждому многочлену P из R [ x ] f можно сопоставить полиномиальную функцию с равными R. областью определения и диапазоном , (В более общем смысле, можно взять область и диапазон как любую одну и ту же с единицей ассоциативную алгебру над R .) Значение f ( r ) можно получить путем замены значения r на символ x в P . Одна из причин различать полиномы и полиномиальные функции заключается в том, что в некоторых кольцах разные полиномы могут давать одну и ту же полиномиальную функцию ( маленькой теореме Ферма пример см. в , где R — целые числа по модулю p ). Это не тот случай, когда R — действительные или комплексные числа, поэтому эти два понятия не всегда различаются при анализе . Еще более важная причина различать полиномы и полиномиальные функции заключается в том, что многие операции с полиномами (например, евклидово деление ) требуют рассмотрения того, из чего состоит полином, как выражения, а не вычисления его по некоторому постоянному значению x .

Делимость

Основные статьи: Наибольший общий делитель полинома и факторизация многочленов

Если R — область целостности , а f и g — полиномы из R [ x ] , говорят, что f делит g или f — делитель g, если существует полином q из R [ x ] такой, что f q = g . Если $a\in R,$ тогда a является корнем f тогда и только тогда $x-a$ делит ф . В этом случае частное можно вычислить с помощью деления полинома в столбик .

Если F — поле , а f и g — многочлены из F [ x ] с g ≠ 0 , то существуют уникальные многочлены q и r из F [ x ] с

$$f=q\,g+r$$

и такой, что степень r меньше степени g (используя соглашение о том, что многочлен 0 имеет отрицательную степень). Полиномы q и r однозначно определяются f и g . Это называется евклидовым делением , делением с остатком или полиномиальным длинным делением и показывает, что кольцо F [ x ] является евклидовой областью .

Аналогично, простые многочлены (точнее, неприводимые многочлены ) можно определить как ненулевые многочлены, которые нельзя разложить на множители в произведение двух непостоянных многочленов . В случае коэффициентов в кольце слово «непостоянный» необходимо заменить на «непостоянный или неединичный » ( оба определения согласуются в случае коэффициентов в поле). Любой многочлен можно разложить в произведение обратимой константы на произведение неприводимых многочленов. Если коэффициенты принадлежат полю или уникальной области факторизации, это разложение уникально с точностью до порядка факторов и умножения любого неединичного фактора на единицу (и деления единичного фактора на ту же единицу). Когда коэффициенты принадлежат целым числам, рациональным числам или конечному полю, существуют алгоритмы для проверки неприводимости и вычисления факторизации в неприводимые многочлены (см. Факторизация многочленов ). Эти алгоритмы непригодны для рукописных вычислений, но доступны в любом система компьютерной алгебры . Критерий Эйзенштейна также можно использовать в некоторых случаях для определения неприводимости.

Приложения

Позиционное обозначение

Основная статья: Позиционные обозначения

В современных позиционных системах счисления, таких как десятичная система , цифры и их позиции в представлении целого числа, например, 45, являются сокращенным обозначением многочлена по основанию или основанию, в данном случае 4×10. ¹ + 5 × 10 ⁰ . Другой пример: в системе счисления 5 строка цифр, например 132, обозначает (десятичное) число 1 × 5. ² + 3 × 5 ¹ + 2 × 5 ⁰ = 42. Это представление единственно. Пусть b — целое положительное число, большее 1. Тогда каждое целое положительное число a можно однозначно выразить в виде

$$a=r_{m}b^{m}+r_{m-1}b^{m-1}+\dotsb +r_{1}b+r_{0},$$

где m — целое неотрицательное число, а r — целые числа такие, что

0 < r _m < b и 0 ≤ r _i < b для i = 0, 1, . . . , м - 1 .

и

См. также: Полиномиальная интерполяция , Ортогональные полиномы , B-сплайн и сплайн-интерполяция.

Простая структура полиномиальных функций делает их весьма полезными при анализе общих функций с использованием полиномиальных аппроксимаций. Важным примером в исчислении является теорема Тейлора , которая грубо утверждает, что каждая дифференцируемая функция локально выглядит как полиномиальная функция, и теорема Стоуна-Вейерштрасса , которая утверждает, что каждая непрерывная функция, определенная на компактном интервале действительной оси, может быть аппроксимирована на весь интервал настолько точно, насколько это необходимо, с помощью полиномиальной функции. Практические методы аппроксимации включают полиномиальную интерполяцию и использование сплайнов .

Другие приложения

Полиномы часто используются для кодирования информации о каком-либо другом объекте. Характеристический полином оператора матричного или линейного оператора содержит информацию о собственных значениях . Минимальный полином алгебраического элемента записывает простейшее алгебраическое отношение, которому удовлетворяет этот элемент. Хроматический полином графа . подсчитывает количество правильных раскрасок этого графа

Термин «полиномиальный» как прилагательное также может использоваться для величин или функций, которые можно записать в полиномиальной форме. Например, в теории сложности вычислений фраза « полиномиальное время» означает, что время, необходимое для завершения алгоритма, ограничено полиномиальной функцией некоторой переменной, например размера входных данных.

История

Основные статьи: Кубическая функция § История , Функция четвертой степени § История и теорема Абеля – Руффини § История

Определение корней многочленов или «решение алгебраических уравнений» — одна из старейших задач математики. Однако элегантные и практичные обозначения, которые мы используем сегодня, появились только начиная с 15 века. До этого уравнения записывались словами. Например, задача алгебры из китайской арифметики в девяти разделах , c. 200 г. до н. э. , начинается: «Три снопа хорошего урожая, два снопа посредственного урожая и один сноп плохого урожая продаются за 29 доу». Мы бы написали 3 x + 2 y + z = 29 .

История обозначений

Основная статья: История математической записи

Самое раннее известное использование знака равенства встречается в книге Роберта Рекорда « Точильный камень Витте» , 1557 год. Знаки + для сложения, - для вычитания, а также использование буквы для обозначения неизвестного появляются в книге Майкла Стифеля « Arithemetica integra» , 1544 год. в Рене Декарт « Геометрии» 1637 года ввёл понятие графика полиномиального уравнения. Он популяризировал использование букв с начала алфавита для обозначения констант и букв с конца алфавита для обозначения переменных, как видно выше, в общей формуле многочлена от одной переменной, где a обозначают константы, а x обозначает переменную. Декарт также ввел использование верхних индексов для обозначения показателей степени.

См. также

• Список полиномиальных тем

Ссылки

• Барбо, Э.Дж. (2003). Полиномы . Спрингер. ISBN  978-0-387-40627-5 .
• Бронштейн, Мануэль; и др., ред. (2006). Решение полиномиальных уравнений: основы, алгоритмы и приложения . Спрингер. ISBN  978-3-540-27357-8 .
• Каэн, Поль-Жан; Шабер, Жан-Люк (1997). Целочисленные полиномы . Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-0388-2 .
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1990). Матричный анализ . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-38632-6 . .
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-95385-4 , МР   1878556 . Эта классическая книга охватывает большую часть содержания данной статьи.
• Люнг, Кам-тим; и др. (1992). Полиномы и уравнения . Издательство Гонконгского университета. ISBN  9789622092716 .
• Майр, К. (1937). «О разрешении алгебраических систем уравнений с помощью гипергеометрических функций». Ежемесячные журналы по математике и физике . 45 : 280–313. дои : 10.1007/BF01707992 . S2CID   197662587 .
• Маккой, Нил Х. (1968), Введение в современную алгебру, исправленное издание , Бостон: Аллин и Бэкон , LCCN   68015225
• Прасолов, Виктор Васильевич (2005). Полиномы . Спрингер. ISBN  978-3-642-04012-2 .
• Сетураман, бакалавр (1997). «Полиномы» . Кольца, поля и векторные пространства: введение в абстрактную алгебру через геометрическую конструктивность . Спрингер. ISBN  978-0-387-94848-5 .
• Тот, Габор (2021). «Полиномиальные выражения» . Элементы математики . Тексты для бакалавриата по математике. стр. 263–318. дои : 10.1007/978-3-030-75051-0_6 . ISBN  978-3-030-75050-3 .
• Умемура, Х. (2012) [1984]. «Разрешение алгебраических уравнений тэта-константами» . В Мамфорде, Дэвид (ред.). Тата-лекции по Тета II: тета-функции Якобиана и дифференциальные уравнения . Спрингер. стр. 261–. ISBN  978-0-8176-4578-6 .
• Варберг, Дейл Э.; Перселл, Эдвин Дж.; Ригдон, Стивен Э. (2007). Исчисление (9-е изд.). Пирсон Прентис Холл . ISBN  978-0131469686 .
• фон Линдеманн, Ф. (1884). «О решении алгебраических уравнений трансцендентными функциями» . Новости от Роял Общество наук и Геттингенский университет имени Георга Августа . 1884 : 245–8.
• фон Линдеманн, Ф. (1892). «О решении алгебраических уравнений трансцендентными функциями. II» . Новости от Роял Общество наук и Геттингенский университет имени Георга Августа . 1892 : 245–8.

Внешние ссылки

• Маркушевич, А.И. (2001) [1994], «Полином» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• «Исследования Эйлера о корнях уравнений» . Архивировано из оригинала 24 сентября 2012 года.