Правило власти

В исчислении степенное правило используется для дифференциации функций вида $f(x)=x^{r}$, в любое время $r$это действительное число . Поскольку дифференцирование — это линейная операция в пространстве дифференцируемых функций, многочлены с помощью этого правила можно дифференцировать и . Степенное правило лежит в основе ряда Тейлора , поскольку оно связывает степенной ряд функции с производными .

Заявление о правиле власти

Позволять $f$ быть функцией, удовлетворяющей $f(x)=x^{r}$ для всех $x$, где $r\in \mathbb {R}$. Затем,

$f'(x)=rx^{r-1}\,.$

Правило власти для интеграции гласит, что

$\int \!x^{r}\,dx={\frac {x^{r+1}}{r+1}}+C$

для любого действительного числа $r\neq -1$. Его можно получить, обратив правило степени для дифференциации. В этом уравнении C — любая константа .

Доказательства

Доказательство реальных показателей

Для начала нам следует выбрать рабочее определение значения $f(x)=x^{r}$, где $r$любое действительное число. Хотя вполне возможно определить ценность как предел последовательности рациональных способностей, приближающихся к иррациональной силе всякий раз, когда мы сталкиваемся с такой силой, или как наименьшую верхнюю границу набора рациональных способностей, меньших, чем данная мощность, этот тип определение не поддается дифференциации. Поэтому предпочтительнее использовать функциональное определение, которое обычно считается $x^{r}=\exp(r\ln x)$ для всех значений $x>0$, где $\exp(x)=e^{x}$ - естественная показательная функция и $e$ это число Эйлера . Во-первых, мы можем продемонстрировать, что производная $f(x)=e^{x}$ является $f'(x)=e^{x}$.

Если $f(x)=e^{x}$, затем $\ln(f(x))=x$, где $\ln$ — это натуральный логарифм , обратная функция показательной функции, как продемонстрировал Эйлер. Поскольку последние две функции равны для всех значений $x>0$, их производные также равны, если какая-либо производная существует, поэтому мы имеем, по правилу цепочки ,

$${\frac {1}{f(x)}}\cdot f'(x)=1$$

или $f'(x)=f(x)=e^{x}$, как и требовалось. Поэтому, применяя правило цепочки к $f(x)=e^{r\ln x}$, Мы видим, что

$$f'(x)={\frac {r}{x}}e^{r\ln x}={\frac {r}{x}}x^{r}$$

что упрощается до $rx^{r-1}$.

Когда $x<0$, мы можем использовать то же определение с $x^{r}=((-1)(-x))^{r}=(-1)^{r}(-x)^{r}$, где мы сейчас имеем $-x>0$. Это обязательно приводит к тому же результату. Обратите внимание, что поскольку $(-1)^{r}$ не имеет общепринятого определения, когда $r$не является рациональным числом, иррациональные степенные функции не определены четко для отрицательных оснований. Кроме того, поскольку рациональные степени -1 с четными знаменателями (в наименьших терминах) не являются действительными числами, эти выражения имеют действительное значение только для рациональных степеней с нечетными знаменателями (в наименьших терминах).

Наконец, всякий раз, когда функция дифференцируема в $x=0$определяющим пределом для производной является:

$$\lim _{h\to 0}{\frac {h^{r}-0^{r}}{h}}$$

что дает 0 только тогда, когда $r$ - рациональное число с нечетным знаменателем (в наименьших терминах) и $r>1$и 1 , когда $r=1$. Для всех остальных значений $r$, выражение $h^{r}$ не является четко определенным для $h<0$, как было описано выше, или не является действительным числом, поэтому предел не существует как производная с действительным значением. В двух существующих случаях значения совпадают со значением существующего правила мощности, равным 0, поэтому никаких исключений делать не нужно.

Исключение выражения $0^{0}$ (дело $x=0$) из нашей схемы возведения в степень связано с тем, что функция $f(x,y)=x^{y}$ не имеет предела в (0,0), поскольку $x^{0}$ приближается к 1, когда x приближается к 0, в то время как $0^{y}$приближается к 0, когда y приближается к 0. Таким образом, было бы проблематично приписать ему какое-либо конкретное значение, поскольку это значение противоречило бы одному из двух случаев, в зависимости от приложения. Традиционно его оставляют неопределенным.

Доказательства для целых показателей

Доказательство по индукции (натуральные числа)

Позволять $n\in \mathbb {N}$. Требуется доказать, что ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$ Базовый случай может быть, когда $n=0$ или $n=1$ набор натуральных чисел , в зависимости от того, как определяется .

Когда $n=0$, ${\frac {d}{dx}}x^{0}={\frac {d}{dx}}(1)=\lim _{h\to 0}{\frac {1-1}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}=0=0x^{0-1}.$

Когда $n=1$, ${\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h}{h}}=1=1x^{1-1}.$

Следовательно, базовый случай справедлив в любом случае.

Предположим, что утверждение справедливо для некоторого натурального числа k , т.е. ${\frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}.$

Когда $n=k+1$,

$${\frac {d}{dx}}x^{k+1}={\frac {d}{dx}}(x^{k}\cdot x)=x^{k}\cdot {\frac {d}{dx}}x+x\cdot {\frac {d}{dx}}x^{k}=x^{k}+x\cdot kx^{k-1}=x^{k}+kx^{k}=(k+1)x^{k}=(k+1)x^{(k+1)-1}$$

По принципу математической индукции это утверждение верно для всех натуральных чисел n .

Доказательство по биномиальной теореме (натуральное число)

Позволять $y=x^{n}$, где $n\in \mathbb {N}$.

Затем,

$${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left[x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}h+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h^{2}+\dots +{\binom {n}{n}}h^{n}-x^{n}\right]\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}\left[{\binom {n}{1}}x^{n-1}+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h+\dots +{\binom {n}{n}}h^{n-1}\right]\\[4pt]&=nx^{n-1}\end{aligned}}$$

Обобщение до отрицательных целочисленных показателей

Для отрицательного целого числа n пусть $n=-m$так что m — целое положительное число. Используя правило взаимности ,

$${\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}}=-{\frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}.$$

В заключение, для любого целого числа $n$, ${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.$

Обобщение до рациональных показателей

Доказав, что правило степени справедливо для целых показателей, это правило можно распространить на рациональные показатели.

Доказательство по цепному правилу

Это доказательство состоит из двух шагов, которые включают использование цепного правила для дифференцирования.

1. Позволять $y=x^{r}=x^{\frac {1}{n}}$, где $n\in \mathbb {N} ^{+}$. Затем $y^{n}=x$. По правилу цепочки , $ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1$. Решение для ${\frac {dy}{dx}}$,
   $${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{ny^{n-1}}}={\frac {1}{n\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{n-1}}}={\frac {1}{nx^{1-{\frac {1}{n}}}}}={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}=rx^{r-1}$$
   Таким образом, степенное правило применяется для рациональных показателей вида $1/n$, где $n$— ненулевое натуральное число. Это можно обобщить на рациональные показатели вида $p/q$ применив правило степени для целочисленных показателей с использованием правила цепочки, как показано на следующем шаге.
2. Позволять $y=x^{r}=x^{p/q}$, где $p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} ^{+},$ так что $r\in \mathbb {Q}$. По правилу цепочки ,
   $${\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p}=p\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p-1}\cdot {\frac {1}{q}}x^{{\frac {1}{q}}-1}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}=rx^{r-1}$$

Из приведенных выше результатов мы можем сделать вывод, что когда $r$ является рациональным числом , ${\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.$

Доказательство дифференцированием

Более прямое обобщение степенного правила на рациональные показатели использует неявное дифференцирование.

Позволять $y=x^{r}=x^{p/q}$, где $p,q\in \mathbb {Z}$ так что $r\in \mathbb {Q}$.

Затем,

$$y^{q}=x^{p}$$

Дифференцируя обе части уравнения по $x$,

$$qy^{q-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=px^{p-1}$$

Решение для ${\frac {dy}{dx}}$,

$${\frac {dy}{dx}}={\frac {px^{p-1}}{qy^{q-1}}}.$$

С $y=x^{p/q}$,

$${\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {px^{p-1}}{qx^{p-p/q}}}.$$

Применяя законы экспоненты,

$${\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {p}{q}}x^{p-1}x^{-p+p/q}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}.$$

Таким образом, позволив $r={\frac {p}{q}}$, мы можем заключить, что ${\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}$ когда $r$ является рациональным числом.

История

Степенное правило для интегралов было впервые продемонстрировано в геометрической форме итальянским математиком Бонавентурой Кавальери в начале 17 века для всех положительных целых значений. ${\displaystyle n}$и в середине 17-го века для всех разумных сил математиками Пьером де Ферма , Евангелистой Торричелли , Жилем де Робервалем , Джоном Уоллисом и Блезом Паскалем , каждый из которых работал независимо. В то время это были трактаты по определению площади между графиком рациональной степенной функции и горизонтальной осью. Однако, оглядываясь назад, можно сказать, что это первая открытая общая теорема исчисления. Степенное правило дифференцирования было выведено Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем , каждый независимо, для рациональных степенных функций в середине 17 века, которые затем использовали его для вывода степенного правила для интегралов как обратной операции. Это отражает традиционный способ представления связанных теорем в современных учебниках по базовому исчислению, где правила дифференцирования обычно предшествуют правилам интегрирования.

Хотя оба человека заявляли, что их правила, продемонстрированные только для рациональных величин, работают для всех реальных степеней, ни один из них не искал доказательства этого, поскольку в то время приложения теории не касались таких экзотических степенных функций и вопросов сходимости бесконечные серии по-прежнему оставались неоднозначными.

Уникальный случай $r=-1$ была решена фламандским иезуитом и математиком Грегуаром де Сен-Винсентом и его учеником Альфонсом Антонио де Сараса в середине 17 века, которые продемонстрировали, что соответствующий определенный интеграл,

$\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt$

представляющая область между прямоугольной гиперболой $xy=1$и ось X представляла собой логарифмическую функцию, основанием которой в конечном итоге оказалось трансцендентное число e . Современное обозначение значения этого определенного интеграла: $\ln(x)$, натуральный логарифм.

Обобщения

Комплексные степенные функции

Если рассматривать функции вида $f(z)=z^{c}$ где $c$ любое комплексное число и $z$ - это комплексное число в комплексной плоскости с разрезом, которое исключает точку ветвления 0 и любой связанный с ней разрез ветвления, и мы используем обычное многозначное определение $z^{c}:=\exp(c\ln z)$, то легко показать, что на каждой ветви комплексного логарифма тот же аргумент, использованный выше, дает аналогичный результат: $f'(z)={\frac {c}{z}}\exp(c\ln z)$.

Кроме того, если $c$ является положительным целым числом, то нет необходимости в разрезе ветки: можно определить $f(0)=0$или определите положительные целые комплексные степени посредством комплексного умножения и покажите, что $f'(z)=cz^{c-1}$ для всего комплекса $z$, из определения производной и биномиальной теоремы.

Однако из-за многозначного характера комплексных степенных функций для нецелых показателей необходимо быть осторожным при указании используемой ветви комплексного логарифма. Кроме того, независимо от того, какая ветвь используется, если $c$ не является целым положительным числом, то функция не дифференцируема в точке 0.

См. также

• Правила дифференциации
• Правило генерала Лейбница
• Обратные функции и дифференцирование
• Линейность дифференциации
• Правило продукта
• Правило частного
• Таблица производных
• Тождества векторного исчисления

Дальнейшее чтение

• Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт П.; и Эдвардс, Брюс Х. (2003). Исчисление одной переменной: ранние трансцендентные функции (3-е издание). Компания Хоутон Миффлин. ISBN   0-618-22307-X .