Задача максимизации угла Региомонтануса

В математике является проблема максимизации угла Региомонтануса известной оптимизации . задачей сформулировано немецким математиком XV века Иоганнесом Мюллером. (также известный как Региомонтан ). Проблема заключается в следующем:

Две точки на уровне глаз — возможное расположение глаз зрителя.

На стене висит картина. Учитывая высоту верха и низа картины над уровнем глаз зрителя, на каком расстоянии от стены должен стоять зритель, чтобы максимально увеличить угол, образуемый картиной, и чья вершина находится в глазах зрителя?

Если зритель стоит слишком близко к стене или слишком далеко от нее, угол будет мал; где-то посередине оно максимально велико.

Тот же подход применим и к поиску оптимального места для удара по мячу в регби. При этом не обязательно, чтобы изображение было расположено под прямым углом: мы можем смотреть на окно Пизанской башни или на риэлтора, демонстрирующего преимущества светового люка на покатой мансардной крыше.

Решение по элементарной геометрии

уникальный круг Через верхнюю и нижнюю части картины проходит , касающийся линии уровня глаз. Согласно элементарной геометрии, если бы позиция зрителя перемещалась по кругу, угол, образуемый картиной, оставался бы постоянным . Все позиции на линии уровня глаз, кроме точки касания, находятся за пределами круга, и поэтому угол, образуемый картиной из этих точек, меньше.

Точку касания можно построить с помощью следующих шагов:

• Отразите нижнюю точку картины через линию на уровне глаз.
• Постройте отрезок между этой отраженной точкой и верхней точкой картины.
• Нарисуйте круг, диаметр которого будет равен этому отрезку.
• Точка касания — это одна из двух точек, где этот круг пересекает линию на уровне глаз (ту, которая находится перед картинкой).

Можно показать, что это правильно строит точку касания, используя « Элементы » Евклида , Книга III, Предложение 36 (альтернативно теорема о степени точки ), чтобы показать, что расстояние от стены до точки касания является средним геометрическим. высоты верха и низа картины. Эквивалентно, квадрат с этим расстоянием в качестве длины стороны имеет ту же площадь, что и прямоугольник с двумя высотами в качестве сторон. Затем построение круга с верхом картины, диаметрально противоположным отраженному низу, и его пересечение с линией на уровне глаз соответствует Книге II Евклида, предложению 14, в котором описывается, как построить квадрат с той же площадью, что и квадрат. данный прямоугольник.

Решение расчетным путем

В настоящее время эта задача широко известна, поскольку она появляется в качестве упражнения во многих учебниках по математическому анализу для первого курса (например, в учебнике Стюарта ).

Позволять

а = высота низа картины над уровнем глаз;

b = высота верха картины над уровнем глаз;

х = расстояние зрителя от стены;

α = угол подъема нижней части картины, если смотреть с позиции зрителя;

β = угол подъема верхней части картины, если смотреть с позиции зрителя.

Угол, который мы стремимся максимизировать, равен β − α . Тангенс ; угла увеличивается с увеличением угла поэтому достаточно максимизировать

$\tan(\beta -\alpha )={\frac {\tan \beta -\tan \alpha }{1+\tan \beta \tan \alpha }}={\frac {{\frac {b}{x}}-{\frac {a}{x}}}{1+{\frac {b}{x}}\cdot {\frac {a}{x}}}}=(b-a){\frac {x}{x^{2}+ab}}.$

Поскольку b − a — положительная константа, нам нужно максимизировать только дробь, следующую за ней. Дифференцируя, получаем

${d \over dx}\left({\frac {x}{x^{2}+ab}}\right)={\frac {ab-x^{2}}{(x^{2}+ab)^{2}}}\qquad {\begin{cases}{}>0&{\text{if }}0\leq x<{\sqrt {ab\,{}}},\\{}=0&{\text{if }}x={\sqrt {ab\,{}}},\\{}<0&{\text{if }}x>{\sqrt {ab\,{}}}.\end{cases}}$

Следовательно, угол увеличивается по мере того, как x изменяется от 0 до √ ab, и уменьшается по мере увеличения x от √ ab . Таким образом, угол максимально велик именно тогда, когда x = √ ab , среднее геометрическое a и b .

Решение алгеброй

Мы видели, что достаточно максимизировать

${\frac {x}{x^{2}+ab}}.$

Это эквивалентно минимизации обратной величины:

${\frac {x^{2}+ab}{x}}=x+{\frac {ab}{x}}.$

Заметим, что эта последняя величина равна

$\left({\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {ab}{x}}}\,\right)^{2}+2{\sqrt {ab\,{}}}.$

показывать

(Нажмите «показать» справа, чтобы увидеть алгебраические детали, или «скрыть», чтобы скрыть их.)

Recall that

$(u-v)^{2}=u^{2}-2uv+v^{2}.$

Thus when we have u² + v², we can add the middle term −2uv to get a perfect square. We have

$x+{\frac {ab}{x}}.$

If we regard x as u² and ab/x as v², then u = √x and v = √ab/x, and so

$2uv=2{\sqrt {x}}{\sqrt {\frac {ab}{x}}}=2{\sqrt {ab\,{}}}.$

Thus we have

${\begin{aligned}x+{\frac {ab}{x}}&=u^{2}+v^{2}=\underbrace {\left(u^{2}-2uv+v^{2}\right)} _{\text{a perfect square}}+2uv\\&=(u-v)^{2}+2uv=\left({\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {ab}{x}}}\,\right)^{2}+2{\sqrt {ab\,{}}}.\end{aligned}}$

Это как можно меньше именно тогда, когда квадрат равен 0, и это происходит, когда x = √ ab . Альтернативно, мы могли бы привести это как пример неравенства между средними арифметическими и геометрическими.