Сравнительный тест пределов

В математике предельный тест сравнения (LCT) (в отличие от родственного ему теста прямого сравнения ) — это метод проверки сходимости бесконечного ряда .

Заявление

Предположим, что у нас есть две серии $\Sigma _{n}a_{n}$ и $\Sigma _{n}b_{n}$ с $a_{n}\geq 0,b_{n}>0$ для всех $n$.Тогда, если $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ с $0<c<\infty$, то либо оба ряда сходятся, либо оба ряда расходятся.

Доказательство

Потому что $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ мы знаем это для каждого $\varepsilon >0$ есть целое положительное число $n_{0}$ такой, что для всех $n\geq n_{0}$ у нас есть это $\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon$или эквивалентно

$-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon$

$c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon$

$(c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$

Как $c>0$ мы можем выбрать $\varepsilon$ быть достаточно малым, чтобы $c-\varepsilon$ является положительным.Так $b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}$ и методом прямого сравнения , если $\sum _{n}a_{n}$ сходится, то сходится и то же самое $\sum _{n}b_{n}$.

Сходным образом $a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$, так что если $\sum _{n}a_{n}$ расходится, опять же по критерию прямого сравнения, так же как и $\sum _{n}b_{n}$.

То есть оба ряда сходятся или оба ряда расходятся.

Пример

Мы хотим определить, является ли серия $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}$ сходится. Для этого сравним его со сходящимся рядом $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Как $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{2}+2n}}{\frac {n^{2}}{1}}=1>0$ мы имеем, что исходный ряд также сходится.

Односторонняя версия

Можно провести односторонний сравнительный тест, используя предел выше . Позволять $a_{n},b_{n}\geq 0$ для всех $n$. Тогда, если $\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ с $0\leq c<\infty$ и $\Sigma _{n}b_{n}$ сходится, обязательно $\Sigma _{n}a_{n}$ сходится.

Пример

Позволять $a_{n}={\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}$ и $b_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$ для всех натуральных чисел $n$. Сейчас $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})$ не существует, поэтому мы не можем применить стандартный сравнительный тест. Однако, $\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }(1-(-1)^{n})=2\in [0,\infty )$ и поскольку $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$ сходится, то из критерия одностороннего сравнения следует, что $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1-(-1)^{n}}{n^{2}}}$ сходится.

одностороннего

Позволять $a_{n},b_{n}\geq 0$ для всех $n$. Если $\Sigma _{n}a_{n}$ расходится и $\Sigma _{n}b_{n}$ сходится, то обязательно $\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\infty$, то есть, $\liminf _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=0$. Существенное содержание здесь состоит в том, что в некотором смысле числа $a_{n}$ больше, чем числа $b_{n}$.

Пример

Позволять $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ быть аналитическим в единичном круге $D=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$ и имеют изображение конечной площади. По формуле Парсеваля площадь изображения $f$ пропорционально $\sum _{n=1}^{\infty }n|a_{n}|^{2}$. Более того, $\sum _{n=1}^{\infty }1/n$ расходится. Таким образом, согласно обратному критерию сравнения, мы имеем $\liminf _{n\to \infty }{\frac {n|a_{n}|^{2}}{1/n}}=\liminf _{n\to \infty }(n|a_{n}|)^{2}=0$, то есть, $\liminf _{n\to \infty }n|a_{n}|=0$.

См. также

• Тесты сходимости
• Прямой сравнительный тест

Дальнейшее чтение

• Ринальдо Б. Счинази: от исчисления к анализу . Спрингер, 2011 г., ISBN   9780817682897 , стр. 50.
• Микеле Лонго и Винченцо Валори: Сравнительный тест: не только для неотрицательных рядов . Математический журнал, Vol. 79, № 3 (июнь 2006 г.), стр. 205–210 ( JSTOR )
• Дж. Маршалл Эш: Тест сравнения пределов должен быть позитивным . Математический журнал, Vol. 85, № 5 (декабрь 2012 г.), стр. 374–375 ( JSTOR )

Внешние ссылки

• Интернет-заметки Паулса о сравнительном тесте