Транспортная теорема Рейнольдса

В дифференциальном исчислении ( транспортная теорема Рейнольдса также известная как транспортная теорема Лейбница–Рейнольдса) или просто теорема Рейнольдса , названная в честь Осборна Рейнольдса (1842–1912), представляет собой трёхмерное обобщение интегрального правила Лейбница . Он используется для преобразования производных по времени интегрированных величин и полезен при формулировании основных уравнений механики сплошной среды .

Рассмотрим интегрирование f = f ( x , t ) по зависящей от времени области Ω( t ), которая имеет границу ∂Ω( t ) , а затем возьмем производную по времени:

$${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV.$$

Если мы хотим переместить производную в интеграл, есть две проблемы: зависимость f от времени , а также введение и удаление пространства из Ω из-за его динамической границы. Транспортная теорема Рейнольдса обеспечивает необходимую основу.

Общая форма

Транспортная теорема Рейнольдса может быть выражена следующим образом:

$${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}\left(\mathbf {v} _{b}\cdot \mathbf {n} \right)\mathbf {f} \,dA$$

в котором n ( x , t ) — единичный вектор нормали, направленный наружу, x — точка в области, а t — переменная интегрирования, dV и dA — элементы объема и поверхности в точке x , а v _b ( x , t ) — скорость элемента площади ( не скорость потока). Функция f может быть тензорной, векторной или скалярной. Обратите внимание, что интеграл в левой части является функцией исключительно времени, поэтому использовалась полная производная.

Форма для элемента материала

В механике сплошных сред эта теорема часто используется для материальных элементов . Это пакеты жидкостей или твердых веществ, в которые никакие материалы не входят и не выходят. Если Ω( t ) является материальным элементом, то существует функция скорости v = v ( x , t ) , и граничные элементы подчиняются

$$\mathbf {v} _{b}\cdot \mathbf {n} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} .$$

Это условие можно заменить, чтобы получить:

$${\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} \,dA.$$

Доказательство материального элемента

Пусть Ω0 _— эталонная конфигурация области Ω( t ) . Позволятьдвижение и градиент деформации определяются выражением

$$\mathbf {x} ={\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),$$

$${\boldsymbol {F}}(\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {\varphi }}.$$

Пусть J ( Икс , т ) = det F ( Икс , т ) . Определять

$${\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)=\mathbf {f} ({\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),t).$$

Тогда интегралы в текущей и опорной конфигурациях связаны соотношением

$$\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV=\int _{\Omega _{0}}\mathbf {f} ({\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}=\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}.$$

То, что этот вывод относится к материальному элементу, подразумевается в постоянстве времени эталонной конфигурации: оно постоянно в материальных координатах. Производная по времени интеграла по объему определяется как

$${\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\int _{\Omega (t+\Delta t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t+\Delta t)\,dV-\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right).$$

Преобразовав в интегралы по эталонной конфигурации, получим

$${\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {1}{\Delta t}}\left(\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t+\Delta t)\,J(\mathbf {X} ,t+\Delta t)\,dV_{0}-\int _{\Omega _{0}}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}\right).$$

Поскольку Ω ₀ не зависит от времени, имеем

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)&=\int _{\Omega _{0}}\left(\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t+\Delta t)\,J(\mathbf {X} ,t+\Delta t)-{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)}{\Delta t}}\right)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\right)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t){\big )}\,J(\mathbf {X} ,t)+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,{\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}J(\mathbf {X} ,t){\big )}\right)\,dV_{0}.\end{aligned}}$$

Производная по времени J определяется выражением:

$${\begin{aligned}{\frac {\partial J(\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}&={\frac {\partial }{\partial t}}(\det {\boldsymbol {F}})\\&=(\det {\boldsymbol {F}})\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {F}}^{-1}{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial t}}\right)\\&=(\det {\boldsymbol {F}})\operatorname {tr} \left({\frac {\partial {\boldsymbol {X}}}{\partial {\boldsymbol {\varphi }}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\varphi }}}{\partial {\boldsymbol {X}}}}\right)\right)\\&=(\det {\boldsymbol {F}})\operatorname {tr} \left({\frac {\partial {\boldsymbol {X}}}{\partial {\boldsymbol {\varphi }}}}{\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {X}}}}\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\varphi }}}{\partial t}}\right)\right)\\&=(\det {\boldsymbol {F}})\operatorname {tr} \left({\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {x}}}}\left({\frac {\partial {\boldsymbol {\varphi }}}{\partial t}}\right)\right)\\&=(\det {\boldsymbol {F}})({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )\\&=J(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} {\big (}{\boldsymbol {\varphi }}(\mathbf {X} ,t),t{\big )}\\&=J(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t).\end{aligned}}$$

Поэтому,

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}\left({\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\right)\,J(\mathbf {X} ,t)+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,J(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega _{0}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}\left({\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\right)+{\hat {\mathbf {f} }}(\mathbf {X} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,J(\mathbf {X} ,t)\,dV_{0}\\&=\int _{\Omega (t)}\left({\dot {\mathbf {f} }}(\mathbf {x} ,t)+\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,dV.\end{aligned}}$$

где ${\dot {\mathbf {f} }}$ — материальная производная по времени от f . Материальная производная определяется выражением

$${\dot {\mathbf {f} }}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t){\big )}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t).$$

Поэтому,

$${\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,dV\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t){\big )}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {f} (\mathbf {x} ,t)\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)\right)\,dV,$$

или,

$${\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\mathbf {f} \,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)\,dV.$$

Использование личности

$${\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )=\mathbf {v} ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {w} )+{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} ,$$

тогда у нас есть

$${\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)=\int _{\Omega (t)}\left({\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {f} \otimes \mathbf {v} )\right)\,dV.$$

Используя теорему о дивергенции и тождество ( a ⊗ b ) · n = ( b · n ) a , имеем

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega (t)}\mathbf {f} \,dV\right)&=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {f} \otimes \mathbf {v} )\cdot \mathbf {n} \,dA\\&=\int _{\Omega (t)}{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial t}}\,dV+\int _{\partial \Omega (t)}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {f} \,dA.\end{aligned}}$$

КЭД

Особый случай

Если мы возьмем Ω постоянной во времени, то v _b = 0 и тождество сведется к

$${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }f\,dV=\int _{\Omega }{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dV.$$

как и ожидалось. (Это упрощение невозможно, если вместо скорости элемента площади неправильно используется скорость потока.)

Интерпретация и сведение к одному измерению

Теорема представляет собой многомерное расширение дифференцирования под знаком интеграла и в некоторых случаях сводится к этому выражению. Предположим, f не зависит от y и z , и что Ω( t ) является единичным квадратом в плоскости yz и имеет x пределы a ( t ) и b ( t ) . Тогда транспортная теорема Рейнольдса сводится к

$${\frac {d}{dt}}\int _{a(t)}^{b(t)}f(x,t)\,dx=\int _{a(t)}^{b(t)}{\frac {\partial f}{\partial t}}\,dx+{\frac {\partial b(t)}{\partial t}}f{\big (}b(t),t{\big )}-{\frac {\partial a(t)}{\partial t}}f{\big (}a(t),t{\big )}\,,$$

что, с точностью до замены x и t , является стандартным выражением для дифференцирования под знаком интеграла.

См. также

• Интегральное правило Лейбница - Дифференцирование по формуле интегрального знака

Внешние ссылки

• Осборн Рейнольдс, Сборник статей по механическим и физическим предметам, в трех томах, опубликованный около 1903 года, теперь полностью и бесплатно доступный в цифровом формате: Том 1 , Том 2 , Том 3 ,
• «Модуль 6 – Теорема Рейнольдса о переносе» . ME6601: Введение в механику жидкости . Технологический институт Джорджии. Архивировано из оригинала 27 марта 2008 года.
• «Теорема Рейнольдса о переносе» . Planetmath.org . Проверено 22 апреля 2024 г.