Исчисление в евклидовом пространстве

В математике исчисление в евклидовом пространстве представляет собой обобщение исчисления функций от одной или нескольких переменных до исчисления функций в евклидовом пространстве. $\mathbb {R} ^{n}$ а также конечномерное действительное векторное пространство . Это исчисление также известно как расширенное исчисление , особенно в Соединенных Штатах. Оно похоже на исчисление многих переменных , но несколько более сложное, поскольку более широко использует линейную алгебру (или некоторый функциональный анализ) и охватывает некоторые понятия дифференциальной геометрии, такие как дифференциальные формы и формула Стокса в терминах дифференциальных форм. Такое широкое использование линейной алгебры также позволяет естественным образом обобщить исчисление многих переменных на исчисление в банаховых пространствах или топологических векторных пространствах.

Исчисление в евклидовом пространстве — это также локальная модель исчисления на многообразиях , теория функций на многообразиях.

Основные понятия

См. Также: Функция действительной переменной и многомерное исчисление.

Функции с одной вещественной переменной

Этот раздел представляет собой краткий обзор теории функций в исчислении с одной переменной.

Действительнозначная функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ является непрерывным в $a$ если оно приблизительно постоянно вблизи $a$; то есть,

$\lim _{h\to 0}(f(a+h)-f(a))=0.$

Напротив, функция $f$ дифференцируема в $a$ если оно приблизительно линейно вблизи $a$; т. е. существует некоторое действительное число $\lambda$ такой, что

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)-\lambda h}{h}}=0.$

(Для простоты предположим, что $f(a)=0$. Тогда вышесказанное означает, что $f(a+h)=\lambda h+g(a,h)$ где $g(a,h)$ стремится к 0 быстрее, чем h, стремящийся к 0, и в этом смысле $f(a+h)$ ведет себя как $\lambda h$.)

Число $\lambda$ зависит от $a$ и поэтому обозначается как $f'(a)$. Если $f$ дифференцируема на открытом интервале $U$ и если $f'$ является непрерывной функцией на $U$, затем $f$ называется С ¹ функция. В более общем смысле, $f$ называется С ^к функция, если ее производная $f'$ это С ^к-1 функция. Теорема Тейлора утверждает, что C ^к Функция — это в точности функция, которую можно аппроксимировать полиномом степени k .

Если $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ это буква С ¹ функция и $f'(a)\neq 0$ для некоторых $a$, то либо $f'(a)>0$ или $f'(a)<0$; то есть либо $f$ строго возрастает или строго убывает в некотором открытом интервале, . содержащем В частности, $f:f^{-1}(U)\to U$ является биективным для некоторого открытого интервала $U$ содержащий $f(a)$. Тогда теорема об обратной функции гласит, что обратная функция $f^{-1}$ дифференцируема по U с производными: при $y\in U$

$(f^{-1})'(y)={1 \over f'(f^{-1}(y))}.$

Производная карты и правила цепочки

Для функций $f$ определенный на плоскости или, в более общем плане, в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$, необходимо рассматривать функции, которые имеют векторное или матричное значение. Концептуально также полезно сделать это инвариантным способом (т. е. бескоординатным способом). Производными таких карт в точке являются векторы или линейные карты, а не действительные числа.

Позволять $f:X\to Y$ быть картой из открытого подмножества $X$ из $\mathbb {R} ^{n}$ к открытому подмножеству $Y$ из $\mathbb {R} ^{m}$. Тогда карта $f$ называется дифференцируемой в точке $x$ в $X$ если существует (обязательно единственное) линейное преобразование $f'(x):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$, называемая производной $f$ в $x$, такой, что

$\lim _{h\to 0}{\frac {1}{|h|}}|f(x+h)-f(x)-f'(x)h|=0$

где $f'(x)h$ это применение линейного преобразования $f'(x)$ к $h$. Если $f$ дифференцируема в $x$, то оно непрерывно при $x$ с

$|f(x+h)-f(x)|\leq (|h|^{-1}|f(x+h)-f(x)-f'(x)h|)|h|+|f'(x)h|\to 0$ как $h\to 0$.

Как и в случае с одной переменной, существует

Правило цепочки — Позволять $f$ быть таким, как указано выше, и $g:Y\to Z$ карта для некоторого открытого подмножества $Z$ из $\mathbb {R} ^{l}$. Если $f$ дифференцируема в $x$ и $g$ дифференцируемый в $y=f(x)$, то композиция $g\circ f$ дифференцируема в $x$ с производной

$(g\circ f)'(x)=g'(y)\circ f'(x).$

Это доказывается точно так же, как и для функций одной переменной. Действительно, с обозначением ${\widetilde {h}}=f(x+h)-f(x)$, у нас есть:

${\begin{aligned}&{\frac {1}{|h|}}|g(f(x+h))-g(y)-g'(y)f'(x)h|\\&\leq {\frac {1}{|h|}}|g(y+{\widetilde {h}})-g(y)-g'(y){\widetilde {h}}|+{\frac {1}{|h|}}|g'(y)(f(x+h)-f(x)-f'(x)h)|.\end{aligned}}$

Здесь, поскольку $f$ дифференцируема в $x$, второй член справа обращается в ноль при $h\to 0$. Что касается первого члена, то его можно записать так:

${\begin{cases}{\frac {|{\widetilde {h}}|}{|h|}}|g(y+{\widetilde {h}})-g(y)-g'(y){\widetilde {h}}|/|{\widetilde {h}}|,&{\widetilde {h}}\neq 0,\\0,&{\widetilde {h}}=0.\end{cases}}$

Теперь, используя аргумент, показывающий непрерывность $f$ в $x$, мы видим ${\frac {|{\widetilde {h}}|}{|h|}}$ ограничен. Также, ${\widetilde {h}}\to 0$ как $h\to 0$ с $f$ является непрерывным в $x$. Следовательно, первое слагаемое также обращается в ноль, поскольку $h\to 0$ по дифференцируемости $g$ в $y$. $\square$

Карта $f$ как указано выше, называется непрерывно дифференцируемым или $C^{1}$ если он дифференцируем в области определения, а также производные непрерывно изменяются; то есть, $x\mapsto f'(x)$ является непрерывным.

Следствие — Если $f,g$ непрерывно дифференцируемы, то $g\circ f$ непрерывно дифференцируема.

В качестве линейного преобразования $f'(x)$ представлен $m\times n$-матрица, называемая матрицей Якобиана $Jf(x)$ из $f$ в $x$ и мы пишем это как:

$(Jf)(x)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(x)&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(x)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(x)&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(x)\end{bmatrix}}.$

принимая $h$ быть $he_{j}$, $h$ действительное число и $e_{j}=(0,\cdots ,1,\cdots ,0)$ -го j стандартного базисного элемента, мы видим, что дифференцируемость $f$ в $x$ подразумевает:

$\lim _{h\to 0}{\frac {f_{i}(x+he_{j})-f_{i}(x)}{h}}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x)$

где $f_{i}$ обозначает i -ю компоненту $f$. То есть каждый компонент $f$ дифференцируема в $x$ в каждой переменной с производной ${\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(x)$. В терминах матриц Якоби цепное правило гласит: $J(g\circ f)(x)=Jg(y)Jf(x)$; то есть, как $(g\circ f)_{i}=g_{i}\circ f$,

${\frac {\partial (g_{i}\circ f)}{\partial x_{j}}}(x)={\frac {\partial g_{i}}{\partial y_{1}}}(y){\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{j}}}(x)+\cdots +{\frac {\partial g_{i}}{\partial y_{m}}}(y){\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{j}}}(x),$

это форма часто упоминаемого цепного правила.

Справедливо частичное обратное к сказанному выше. А именно, если частные производные ${\partial f_{i}}/{\partial x_{j}}$ все определены и непрерывны, то $f$ непрерывно дифференцируема. Это является следствием неравенства среднего значения:

Неравенство средних значений — Учитывая карту $f:X\to Y$ как указано выше и пункты $x,y$ в $X$ такой, что отрезок между $x,y$ лежит в $X$, если $t\mapsto f(x+ty)$ постоянно включен $[0,1]$ и тогда дифференцируема внутри для любого вектора $v\in \mathbb {R} ^{m}$,

$|\Delta _{y}f(x)-v|\leq \sup _{0<t<1}\left|{\frac {d}{dt}}f(x+ty)-v\right|$

где $\Delta _{y}f(x)=f(x+y)-f(x).$

(Эта версия неравенства среднего значения следует из неравенства среднего значения в Теореме о среднем значении § Теорема о среднем значении для вектор-функций, примененной к функции $[0,1]\to \mathbb {R} ^{m},\,t\mapsto f(x+ty)-tv$, где дано доказательство неравенства среднего значения.)

Действительно, пусть $g(x)=(Jf)(x)$. Заметим, что если $y=y_{i}e_{i}$, затем

${\frac {d}{dt}}f(x+ty)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x+ty)y=g(x+ty)(y_{i}e_{i}).$

Для простоты предположим $n=2$ (рассуждение в общем случае аналогично). Тогда по неравенству среднего значения с операторной нормой $\|\cdot \|$,

${\begin{aligned}&|\Delta _{y}f(x)-g(x)y|\\&\leq |\Delta _{y_{1}e_{1}}f(x_{1},x_{2}+y_{2})-g(x)(y_{1}e_{1})|+|\Delta _{y_{2}e_{2}}f(x_{1},x_{2})-g(x)(y_{2}e_{2})|\\&\leq |y_{1}|\sup _{0<t<1}\|g(x_{1}+ty_{1},x_{2}+y_{2})-g(x)\|+|y_{2}|\sup _{0<t<1}\|g(x_{1},x_{2}+ty_{2})-g(x)\|,\end{aligned}}$

что подразумевает $|\Delta _{y}f(x)-g(x)y|/|y|\to 0$ по мере необходимости. $\square$

Пример : Пусть $U$ быть набором всех обратимых действительных квадратных матриц размера n . Примечание $U$ можно определить как открытое подмножество $\mathbb {R} ^{n^{2}}$ с координатами $x_{ij},0\leq i,j\neq n$. Рассмотрим функцию $f(g)=g^{-1}$ = обратная матрица $g$ определено на $U$. Чтобы угадать его производные, предположим $f$ дифференцируема и рассмотрим кривую $c(t)=ge^{tg^{-1}h}$ где $e^{A}$ означает экспоненту матричную $A$. По цепному правилу, применяемому к $f(c(t))=e^{-tg^{-1}h}g^{-1}$, у нас есть:

$f'(c(t))\circ c'(t)=-g^{-1}he^{-tg^{-1}h}g^{-1}$.

принимая $t=0$, мы получаем:

$f'(g)h=-g^{-1}hg^{-1}$.

Теперь у нас есть:

$\|(g+h)^{-1}-g^{-1}+g^{-1}hg^{-1}\|\leq \|(g+h)^{-1}\|\|h\|\|g^{-1}hg^{-1}\|.$

Поскольку операторная норма эквивалентна евклидовой норме на $\mathbb {R} ^{n^{2}}$ (любые нормы эквивалентны друг другу), отсюда следует $f$ является дифференцируемым. Наконец, из формулы для $f'$, мы видим частные производные $f$ гладкие (бесконечно дифференцируемые); откуда, $f$ тоже гладко.

производные и

Если $f:X\to \mathbb {R} ^{m}$ дифференцируемо, где $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ является открытым подмножеством, то производные определяют отображение $f':X\to \operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m})$, где $\operatorname {Hom}$ обозначает гомоморфизмы между векторными пространствами; т. е. линейные карты. Если $f'$ дифференцируемо, то $f'':X\to \operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{n},\operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m}))$. Здесь кодомен $f''$ можно отождествить с пространством билинейных карт следующим образом:

$\operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{n},\operatorname {Hom} (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m})){\overset {\varphi }{\underset {\sim }{\to }}}\{(\mathbb {R} ^{n})^{2}\to \mathbb {R} ^{m}{\text{ bilinear}}\}$

где $\varphi (g)(x,y)=g(x)y$ и $\varphi$ является биективным с обратным $\psi$ данный $(\psi (g)x)y=g(x,y)$. В общем, $f^{(k)}=(f^{(k-1)})'$ это карта из $X$ в пространство $k$-мультилинейные карты $(\mathbb {R} ^{n})^{k}\to \mathbb {R} ^{m}$.

Так же, как $f'(x)$ представляется матрицей (матрицей Якобиана), когда $m=1$ (билинейное отображение — это билинейная форма), билинейная форма $f''(x)$ представлена ​​матрицей, называемой матрицей Гессе $f$ в $x$; а именно квадратная матрица $H$ размера $n$ такой, что $f''(x)(y,z)=(Hy,z)$, где спаривание относится к внутреннему продукту $\mathbb {R} ^{n}$, и $H$ есть не что иное, как матрица Якоби $f':X\to (\mathbb {R} ^{n})^{*}\simeq \mathbb {R} ^{n}$. $(i,j)$-я запись $H$ таким образом, задается явно как $H_{ij}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x)$.

Более того, если $f''$ существует и непрерывна, то матрица $H$ симметрична симметрия , этот факт известен как вторых производных . Это видно с помощью неравенства средних значений. Для векторов $u,v$ в $\mathbb {R} ^{n}$, дважды используя неравенство среднего значения, имеем:

$|\Delta _{v}\Delta _{u}f(x)-f''(x)(u,v)|\leq \sup _{0<t_{1},t_{2}<1}|f''(x+t_{1}u+t_{2}v)(u,v)-f''(x)(u,v)|,$

который говорит

$f''(x)(u,v)=\lim _{s,t\to 0}(\Delta _{tv}\Delta _{su}f(x)-f(x))/(st).$

Поскольку правая часть симметрична относительно $u,v$, как и левая часть: $f''(x)(u,v)=f''(x)(v,u)$. По индукции, если $f$ является $C^{k}$, то k -полилинейное отображение $f^{(k)}(x)$ симметричен; т. е. порядок взятия частных производных не имеет значения.

Как и в случае с одной переменной, разложение в ряд Тейлора можно затем доказать интегрированием по частям:

$f(z+(h,k))=\sum _{a+b<n}\partial _{x}^{a}\partial _{y}^{b}f(z){h^{a}k^{b} \over a!b!}+n\int _{0}^{1}(1-t)^{n-1}\sum _{a+b=n}\partial _{x}^{a}\partial _{y}^{b}f(z+t(h,k)){h^{a}k^{b} \over a!b!}\,dt.$

Формула Тейлора имеет эффект деления функции на переменные, что можно проиллюстрировать следующим типичным теоретическим применением формулы.

Пример : Позволять $T:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}$ быть линейным отображением векторного пространства ${\mathcal {S}}$ гладких функций на $\mathbb {R} ^{n}$ с быстро убывающими производными; то есть, $\sup |x^{\beta }\partial ^{\alpha }\varphi |<\infty$ для любого мультииндекса $\alpha ,\beta$. (Пространство ${\mathcal {S}}$ называется пространством Шварца .) Для каждого $\varphi$ в ${\mathcal {S}}$, формула Тейлора предполагает, что мы можем написать:

$\varphi -\psi \varphi (y)=\sum _{j=1}^{n}(x_{j}-y_{j})\varphi _{j}$

с $\varphi _{j}\in {\mathcal {S}}$, где $\psi$ — это гладкая функция с компактной поддержкой и $\psi (y)=1$. Теперь предположим $T$ коммутирует с координатами; то есть, $T(x_{j}\varphi )=x_{j}T\varphi$. Затем

$T\varphi -\varphi (y)T\psi =\sum _{j=1}^{n}(x_{j}-y_{j})T\varphi _{j}$.

Оценивая вышеизложенное в $y$, мы получаем $T\varphi (y)=\varphi (y)T\psi (y).$ Другими словами, $T$ это умножение на некоторую функцию $m$; то есть, $T\varphi =m\varphi$. Теперь предположим далее, что $T$ коммутирует с частными дифференцированиями. Затем мы легко видим, что $m$ является константой; $T$ это умножение на константу.

(Кроме того: приведенное выше обсуждение почти доказывает формулу обращения Фурье . Действительно, пусть $F,R:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}$ быть преобразованием Фурье и отражением; то есть, $(R\varphi )(x)=\varphi (-x)$. Тогда, имея дело непосредственно с рассматриваемым интегралом, можно увидеть $T=RF^{2}$ коммутирует с координатами и частными дифференцированиями; следовательно, $T$ это умножение на константу. Это почти доказательство, поскольку эту константу еще нужно вычислить.)

Также справедливо частичное обращение к формуле Тейлора; см. лемму Бореля и теорему о продолжении Уитни .

Теорема об обратной функции и

Теорема об обратной функции . Пусть $f:X\to Y$ быть картой между открытыми подмножествами $X,Y$ в $\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m}$. Если $f$ непрерывно дифференцируема (или, в более общем смысле, $C^{k}$) и $f'(x)$ биективен, существуют окрестности $U,V$ из $x,f(x)$ и обратное $f^{-1}:V\to U$ непрерывно дифференцируемый (или соответственно $C^{k}$).

А $C^{k}$-карта с $C^{k}$-обратный называется $C^{k}$-диффеоморфизм. Таким образом, теорема утверждает, что для отображения $f$ удовлетворяющее гипотезе в некоторой точке $x$, $f$ является диффеоморфизмом вблизи $x,f(x).$ Доказательство см. в разделе «Теорема об обратной функции» § Доказательство с использованием последовательного приближения .

Теорема о неявной функции гласит: дали карту $f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$, если $f(a,b)=0$, $f$ является $C^{k}$ в районе $(a,b)$ и производная от $y\mapsto f(a,y)$ в $b$ обратимо, то существует дифференцируемое отображение $g:U\to V$ для некоторых районов $U,V$ из $a,b$ такой, что $f(x,g(x))=0$. Теорема следует из теоремы об обратной функции; см. Теорему об обратной функции § Теорему о неявной функции .

Другим следствием является теорема о погружении .

в евклидовых

Раздел интервала $[a,b]$ является конечной последовательностью $a=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{k}=b$. Раздел $P$ прямоугольника $D$ (произведение интервалов) в $\mathbb {R} ^{n}$ то состоит из разбиений сторон $D$; то есть, если $D=\prod _{1}^{n}[a_{i},b_{i}]$, затем $P$ состоит из $P_{1},\dots ,P_{n}$ такой, что $P_{i}$ является разделом $[a_{i},b_{i}]$.

Дана функция $f$ на $D$ верхнюю сумму Римана , мы затем определяем его как:

$U(f,P)=\sum _{Q\in P}(\sup _{Q}f)\operatorname {vol} (Q)$

где

• $Q$ является элементом раздела $P$; то есть, $Q=\prod _{i=1}^{n}[t_{i,j_{i}},t_{i,j_{i}+1}]$ когда $P_{i}:a_{i}=t_{i,0}\leq \dots \cdots \leq t_{i,k_{i}}=b_{i}$ является разделом $[a_{i},b_{i}]$.
• Объем $\operatorname {vol} (Q)$ из $Q$ – обычный евклидов объем; то есть, $\operatorname {vol} (Q)=\prod _{1}^{n}(t_{i,j_{i}+1}-t_{i,j_{i}})$.

Нижняя сумма Римана $L(f,P)$ из $f$ затем определяется путем замены $\sup$ к $\inf$. Наконец, функция $f$ называется интегрируемым, если оно ограничено и $\sup\{L(f,P)\mid P\}=\inf\{U(f,P)\mid P\}$. В этом случае общее значение обозначается как $\int _{D}f\,dx$.

Подмножество $\mathbb {R} ^{n}$ говорят, что он имеет нулевую меру, если для каждого $\epsilon >0$, существует возможно бесконечно много прямоугольников $D_{1},D_{2},\dots ,$ объединение которых содержит множество и $\sum _{i}\operatorname {vol} (D_{i})<\epsilon .$

Ключевая теорема

Теорема — Ограниченная функция $f$ на замкнутом прямоугольнике интегрируемо тогда и только тогда, когда множество $\{x|f{\text{ is not continuous at }}x\}$ имеет меру ноль.

Следующая теорема позволяет нам вычислить интеграл функции как итерацию интегралов функции от одной переменной:

Теорема Фубини — Если $f$ — непрерывная функция на замкнутом прямоугольнике $D=\prod [a_{i},b_{i}]$ (на самом деле это предположение слишком сильное), то

$\int _{D}f\,dx=\int _{a_{n}}^{b_{n}}\cdots \left(\int _{a_{1}}^{b_{1}}f(x_{1},\dots ,x_{n})dx_{1}\right)dx_{2}\cdots dx_{n}.$

В частности, можно изменить порядок интегрирований.

Наконец, если $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ является ограниченным открытым подмножеством и $f$ функция на $M$, то определяем $\int _{M}f\,dx:=\int _{D}\chi _{M}f\,dx$ где $D$ представляет собой замкнутый прямоугольник, содержащий $M$ и $\chi _{M}$ характеристическая функция на $M$; то есть, $\chi _{M}(x)=1$ если $x\in M$ и $=0$ если $x\not \in M,$ предоставил $\chi _{M}f$ является интегрируемым.

Поверхностный интеграл

Если ограниченная поверхность $M$ в $\mathbb {R} ^{3}$ параметризуется ${\textbf {r}}={\textbf {r}}(u,v)$ с доменом $D$, то поверхностный интеграл от измеримой функции $F$ на $M$ определяется и обозначается как:

$\int _{M}F\,dS:=\int \int _{D}(F\circ {\textbf {r}})|{\textbf {r}}_{u}\times {\textbf {r}}_{v}|\,dudv$

Если $F:M\to \mathbb {R} ^{3}$ является векторным, то мы определяем

$\int _{M}F\cdot dS:=\int _{M}(F\cdot {\textbf {n}})\,dS$

где ${\textbf {n}}$ - внешний единичный вектор нормали к $M$. С ${\textbf {n}}={\frac {{\textbf {r}}_{u}\times {\textbf {r}}_{v}}{|{\textbf {r}}_{u}\times {\textbf {r}}_{v}|}}$, у нас есть:

$\int _{M}F\cdot dS=\int \int _{D}(F\circ {\textbf {r}})\cdot ({\textbf {r}}_{u}\times {\textbf {r}}_{v})\,dudv=\int \int _{D}\det(F\circ {\textbf {r}},{\textbf {r}}_{u},{\textbf {r}}_{v})\,dudv.$

анализ

Касательные векторы и векторные поля

Позволять $c:[0,1]\to \mathbb {R} ^{n}$ быть дифференцируемой кривой. Тогда касательный вектор к кривой $c$ в $t$ вектор $v$ в точку $c(t)$ компоненты которого задаются как:

$v=(c_{1}'(t),\dots ,c_{n}'(t))$.

Например, если $c(t)=(a\cos(t),a\sin(t),bt),a>0,b>0$ является спиралью, то касательный вектор в точке t равен:

$c'(t)=(-a\sin(t),a\cos(t),b).$

Это соответствует интуитивному предположению, что точка спирали движется вверх с постоянной скоростью.

Если $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ является дифференцируемой кривой или поверхностью, то касательное пространство к $M$ в точке p есть множество всех касательных векторов к дифференцируемым кривым $c:[0,1]\to M$ с $c(0)=p$.

Векторное поле X — это присвоение каждой точке p в M касательного вектора $X_{p}$ к M в p так, что назначение меняется плавно.

Дифференциальные формы

Двойственное понятие векторного поля является дифференциальной формой. Учитывая открытое подмножество $M$ в $\mathbb {R} ^{n}$, по определению, дифференциальная 1-форма (часто просто 1-форма) $\omega$ это присвоение точке $p$ в $M$ линейный функционал $\omega _{p}$ в касательном пространстве $T_{p}M$ к $M$ в $p$ так, что задание меняется плавно. Для гладкой функции (действительной или комплексной) $f$, определим 1-форму $df$ по: для касательного вектора $v$ в $p$,

$df_{p}(v)=v(f)$

где $v(f)$ обозначает направлению производную по $f$ в направлении $v$ в $p$. Например, если $x_{i}$ это $i$-я координатная функция, тогда $dx_{i,p}(v)=v_{i}$; то есть, $dx_{i,p}$ являются двойственным базисом к стандартному базису на $T_{p}M$. Тогда каждая дифференциальная 1-форма $\omega$ можно записать однозначно как

$\omega =f_{1}\,dx_{1}+\cdots +f_{n}\,dx_{n}$

для некоторых гладких функций $f_{1},\dots ,f_{n}$ на $M$ (поскольку для каждой точки $p$, линейный функционал $\omega _{p}$ представляет собой уникальную линейную комбинацию $dx_{i}$ над действительными числами). В более общем смысле, дифференциальная k -форма - это присвоение точке $p$ в $M$ вектор $\omega _{p}$ в $k$-я внешняя сила $\bigwedge ^{k}T_{p}^{*}M$ двойного пространства $T_{p}^{*}M$ из $T_{p}M$ так, что задание меняется плавно. В частности, 0-форма — это то же самое, что гладкая функция. Также любой $k$-форма $\omega$ можно записать однозначно как:

$\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}f_{i_{1}\dots i_{k}}\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}$

для некоторых гладких функций $f_{i_{1}\dots i_{k}}$.

Подобно гладкой функции, мы можем дифференцировать и интегрировать дифференциальные формы. Если $f$ — гладкая функция, то $df$ можно записать как:

$df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}$

поскольку для $v=\partial /\partial x_{j}|_{p}$, у нас есть: $df_{p}(v)={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}(p)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)\,dx_{i}(v)$. Обратите внимание, что в приведенном выше выражении левая часть (отсюда и правая часть) не зависит от координат. $x_{1},\dots ,x_{n}$; это свойство называется инвариантностью дифференциала .

Операция $d$ называется внешней производной и продолжается на любые дифференциальные формы индуктивно по требованию ( правило Лейбница )

$d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{p}\alpha \wedge d\beta .$

где $\alpha ,\beta$ являются p -формой и q -формой.

Внешняя производная обладает важным свойством: $d\circ d=0$; то есть внешняя производная $d$ дифференциальной формы $d\omega$ равен нулю. Это свойство является следствием симметрии вторых производных (смешанные частичные равны).

Граница и ориентация

Круг может быть ориентирован по часовой стрелке или против часовой стрелки. Математически мы говорим, что подмножество $M$ из $\mathbb {R} ^{n}$ ориентирован, если существует последовательный выбор векторов нормалей к $M$ который постоянно меняется. Например, круг или, в более общем смысле, n можно ориентировать -сферу; т. е. ориентируемый. С другой стороны, лента Мёбиуса (поверхность, полученная путем идентификации двух противоположных сторон прямоугольника, перекрученных) не может быть ориентирована: если мы начнем с вектора нормали и будем путешествовать по полосе, вектор нормали в конце будет указывать на противоположное направление.

Предложение . Ограниченная дифференцируемая область. $M$ в $\mathbb {R} ^{n}$ размера $k$ ориентирован тогда и только тогда, когда существует никуда не исчезающая $k$-форма на $M$ (называемая объемной формой).

Предложение полезно, поскольку позволяет нам задать ориентацию, придав объемную форму.

Интегрирование

Если $\omega =f\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n}$ является дифференциальной n -формой на открытом подмножестве M в $\mathbb {R} ^{n}$ (любая n -форма является этой формой), то ее интегрирование по $M$ со стандартной ориентацией определяется как:

$\int _{M}\omega =\int _{M}f\,dx_{1}\cdots dx_{n}.$

Если М придать ориентацию, противоположную стандартной, то $\int _{M}\omega$ определяется как отрицательная часть правой части.

Тогда у нас есть фундаментальная формула, связывающая внешнюю производную и интегрирование:

Формула Стокса — Для ограниченной области $M$ в $\mathbb {R} ^{n}$ размера $k$ граница которого представляет собой объединение конечного числа $C^{1}$-подмножества, если $M$ ориентирован, то

$\int _{\partial M}\omega =\int _{M}d\omega$

для любого дифференциала $(k-1)$-форма $\omega$ на границе $\partial M$ из $M$.

Вот набросок доказательства формулы. Если $f$ является гладкой функцией на $\mathbb {R} ^{n}$ с компактным носителем, то имеем:

$\int d(f\omega )=0$

(поскольку согласно фундаментальной теореме исчисления вышеизложенное можно оценить на границах множества, содержащего носитель.) С другой стороны,

$\int d(f\omega )=\int df\wedge \omega +\int f\,d\omega .$

Позволять $f$ приблизиться к характеристической функции на $M$. Тогда второе слагаемое справа переходит в $\int _{M}d\omega$ в то время как первый идет в $-\int _{\partial M}\omega$, с помощью аргументов, аналогичных доказательству фундаментальной теоремы исчисления. $\square$

Формула обобщает фундаментальную теорему исчисления, а также теорему Стокса в исчислении с несколькими переменными. Действительно, если $M=[a,b]$ представляет собой интервал и $\omega =f$, затем $d\omega =f'\,dx$ и формула гласит:

$\int _{M}f'\,dx=f(b)-f(a)$.

Аналогично, если $M$ представляет собой ориентированную ограниченную поверхность в $\mathbb {R} ^{3}$ и $\omega =f\,dx+g\,dy+h\,dz$, затем $d(f\,dx)=df\wedge dx={\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy\wedge dx+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,dz\wedge dx$ и аналогично для $d(g\,dy)$ и $d(g\,dy)$. Собирая слагаемые, мы получаем:

$d\omega =\left({\frac {\partial h}{\partial y}}-{\frac {\partial g}{\partial z}}\right)dy\wedge dz+\left({\frac {\partial f}{\partial z}}-{\frac {\partial h}{\partial x}}\right)dz\wedge dx+\left({\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)dx\wedge dy.$

Тогда из определения интегрирования $\omega$, у нас есть $\int _{M}d\omega =\int _{M}(\nabla \times F)\cdot dS$где $F=(f,g,h)$ векторная функция и $\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$. Следовательно, формула Стокса принимает вид

$\int _{M}(\nabla \times F)\cdot dS=\int _{\partial M}(f\,dx+g\,dy+h\,dz),$

что является обычной формой теоремы Стокса о поверхностях. Теорема Грина также является частным случаем формулы Стокса.

Формула Стокса также дает общую версию интегральной формулы Коши . Чтобы сформулировать и доказать это, для комплексной переменной $z=x+iy$ и сопряженное ${\bar {z}}$, представим операторы

${\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),\,{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).$

В этих обозначениях функция $f$ голоморфен когда (комплексно-аналитичен) тогда и только тогда, ${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0$ ( уравнения Коши–Римана ).Также у нас есть:

$df={\frac {\partial f}{\partial z}}dz+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}d{\bar {z}}.$

Позволять $D_{\epsilon }=\{z\in \mathbb {C} \mid \epsilon <|z-z_{0}|<r\}$ быть проколотым диском с центром $z_{0}$.С $1/(z-z_{0})$ голоморфен на $D_{\epsilon }$, У нас есть:

$d\left({\frac {f}{z-z_{0}}}dz\right)={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {d{\bar {z}}\wedge dz}{z-z_{0}}}$.

По формуле Стокса

$\int _{D_{\epsilon }}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {d{\bar {z}}\wedge dz}{z-z_{0}}}=\left(\int _{|z-z_{0}|=r}-\int _{|z-z_{0}|=\epsilon }\right){\frac {f}{z-z_{0}}}dz.$

Сдача в аренду $\epsilon \to 0$ тогда мы получим:

$2\pi i\,f(z_{0})=\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f}{z-z_{0}}}dz+\int _{|z-z_{0}|\leq r}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-z_{0}}}.$

Числа обмотки

Дифференциальная форма $\omega$ называется закрытым , если $d\omega =0$ и называется точным, если $\omega =d\eta$ для некоторой дифференциальной формы $\eta$ (часто называемый потенциалом). С $d\circ d=0$, точная форма закрыта. Но обратное, вообще говоря, неверно; может быть неточная закрытая форма. Классический пример такой формы:

$\omega ={\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}$,

что является дифференциальной формой на $\mathbb {R} ^{2}-0$. Предположим, мы перешли к полярным координатам: $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ где $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$. Затем

$\omega =r^{-2}(-r\sin \theta \,dx+r\cos \theta \,dy)=d\theta .$

Это не показывает, что $\omega$ точно: беда в том, что $\theta$ не является четко определенной непрерывной функцией на $\mathbb {R} ^{2}-0$. Поскольку любая функция $f$ на $\mathbb {R} ^{2}-0$ с $df=\omega$ отличаться от $\theta$ константой, это означает, что $\omega$ это не точно. Однако расчет показывает, что $\omega$ точно, например, на $\mathbb {R} ^{2}-\{x=0\}$ так как мы можем взять $\theta =\arctan(y/x)$ там.

Существует результат (лемма Пуанкаре), который дает условие, гарантирующее точность замкнутых форм. Чтобы сформулировать это, нам потребуются некоторые понятия из топологии. Даны два непрерывных отображения $f,g:X\to Y$ между подмножествами $\mathbb {R} ^{m},\mathbb {R} ^{n}$ (или, в более общем смысле, топологические пространства), гомотопия из $f$ к $g$ является непрерывной функцией $H:X\times [0,1]\to Y$ такой, что $f(x)=H(x,0)$ и $g(x)=H(x,1)$. Интуитивно гомотопия — это непрерывное изменение одной функции на другую. Петля в комплекте $X$ – кривая, начальная точка которой совпадает с конечной точкой; то есть, $c:[0,1]\to X$ такой, что $c(0)=c(1)$. Тогда подмножество $\mathbb {R} ^{n}$ называется односвязным, если каждая петля гомотопна постоянной функции. Типичным примером односвязного множества является диск. $D=\{(x,y)\mid {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\}\subset \mathbb {R} ^{2}$. Действительно, учитывая цикл $c:[0,1]\to D$, у нас есть гомотопия $H:[0,1]^{2}\to D,\,H(x,t)=(1-t)c(x)+tc(0)$ от $c$ к постоянной функции $c(0)$. С другой стороны, проколотый диск не просто подключается.

Лемма Пуанкаре — Если $M$ является односвязным открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$, то каждая закрытая 1-форма на $M$ это точно.

Геометрия кривых и поверхностей

Движущийся кадр

Векторные поля $E_{1},\dots ,E_{3}$ на $\mathbb {R} ^{3}$ называются полем кадра , если они ортогональны друг другу в каждой точке; то есть, $E_{i}\cdot E_{j}=\delta _{ij}$ в каждой точке. Базовым примером является стандартная рамка. $U_{i}$; то есть, $U_{i}(x)$ является стандартной основой для каждой точки $x$ в $\mathbb {R} ^{3}$. Другой пример — цилиндрическая рама.

$E_{1}=\cos \theta U_{1}+\sin \theta U_{2},\,E_{2}=-\sin \theta U_{1}+\cos \theta U_{2},\,E_{3}=U_{3}.$

Для изучения геометрии кривой важной рамкой является рама Френе. $T,N,B$ на кривой единичной скорости $\beta :I\to \mathbb {R} ^{3}$ дано как:

Теорема Гаусса–Бонне

Теорема Гаусса – Бонне связывает топологию поверхности и ее геометрию.

Теорема Гаусса – Бонне — Для каждой ограниченной поверхности $M$ в $\mathbb {R} ^{3}$, у нас есть:

$2\pi \,\chi (M)=\int _{M}K\,dS$

где $\chi (M)$ является эйлеровой характеристикой $M$ и $K$ кривизна.

Вариационное исчисление

Метод множителя Лагранжа

Множитель Лагранжа — Позволять $g:U\to \mathbb {R} ^{r}$ быть дифференцируемой функцией из открытого подмножества $\mathbb {R} ^{n}$ такой, что $g'$ имеет ранг $r$ в каждой точке $g^{-1}(0)$. Для дифференцируемой функции $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, если $f$ достигает либо максимума, либо минимума в точке $p$ в $g^{-1}(0)$, то существуют действительные числа $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r}$ такой, что

$\nabla f(p)=\lambda _{i}\sum _{i=1}^{r}\nabla g_{i}(p)$.

Другими словами, $p$ является стационарной точкой $f-\sum _{1}^{r}\lambda _{i}g_{i}$.

Набор $g^{-1}(0)$ обычно называют ограничением.

Пример : Предположим, мы хотим найти минимальное расстояние между кругом $x^{2}+y^{2}=1$ и линия $x+y=4$. Это означает, что мы хотим минимизировать функцию $f(x,y,u,v)=(x-u)^{2}+(y-v)^{2}$, квадрат расстояния между точками $(x,y)$ по окружности и точке $(u,v)$ на линии, под ограничением $g=(x^{2}+y^{2}-1,u+v-4)$. У нас есть:

$\nabla f=(2(x-u),2(y-v),-2(x-u),-2(y-v)).$

$\nabla g_{1}=(2x,2y,0,0),\nabla g_{2}=(0,0,1,1).$

Поскольку матрица Якобиана $g$ имеет ранг 2 везде на $g^{-1}(0)$, множитель Лагранжа дает:

$x-u=\lambda _{1}x,\,y-v=\lambda _{1}y,\,2(x-u)=-\lambda _{2},\,2(y-v)=-\lambda _{2}.$

Если $\lambda _{1}=0$, затем $x=u,y=v$, невозможно. Таким образом, $\lambda _{1}\neq 0$ и

$x={\frac {x-u}{\lambda _{1}}},\,y={\frac {y-v}{\lambda _{1}}}.$

Отсюда легко следует, что $x=y=1/{\sqrt {2}}$ и $u=v=2$. Следовательно, минимальное расстояние равно $2{\sqrt {2}}-1$ (поскольку минимальное расстояние явно существует).

Вот приложение к линейной алгебре. Позволять $V$ быть конечномерным вещественным векторным пространством и $T:V\to V$ оператор самосопряженный . Мы покажем $V$ имеет базис, состоящий из собственных векторов $T$ (т.е. $T$ диагонализируема) индукцией по размерности $V$. Выбор основы по $V$ мы можем идентифицировать $V=\mathbb {R} ^{n}$ и $T$ представлена ​​матрицей $[a_{ij}]$. Рассмотрим функцию $f(x)=(Tx,x)$, где скобка означает внутренний продукт . Затем $\nabla f=2(\sum a_{1i}x_{i},\dots ,\sum a_{ni}x_{i})$. С другой стороны, для $g=\sum x_{i}^{2}-1$, с $g^{-1}(0)$ компактен, $f$ достигает максимума или минимума в определенной точке $u$ в $g^{-1}(0)$. С $\nabla g=2(x_{1},\dots ,x_{n})$, по множителю Лагранжа находим действительное число $\lambda$ такой, что $2\sum _{i}a_{ji}u_{i}=2\lambda u_{j},1\leq j\leq n.$ Но это означает $Tu=\lambda u$. По индуктивному предположению самосопряженный оператор $T:W\to W$, $W$ ортогональное дополнение к $u$, имеет базис, состоящий из собственных векторов. Итак, мы закончили. $\square$.

Слабые производные

Вплоть до множеств нулевой меры две функции могут быть определены как равные или нет посредством интегрирования с другими функциями (называемыми тестовыми функциями). А именно, следующую иногда называют фундаментальной леммой вариационного исчисления :

Лемма - Если $f,g$ являются локально интегрируемыми функциями на открытом подмножестве $M\subset \mathbb {R} ^{n}$ такой, что

$\int (f-g)\varphi \,dx=0$

для каждого $\varphi \in C_{c}^{\infty }(M)$ (называемая тестовой функцией). Затем $f=g$ почти везде. Если, кроме того, $f,g$ непрерывны, то $f=g$.

Учитывая непрерывную функцию $f$, по лемме, непрерывно дифференцируемая функция $u$ таков, что ${\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=f$ тогда и только тогда, когда

$\int {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\varphi \,dx=\int f\varphi \,dx$

для каждого $\varphi \in C_{c}^{\infty }(M)$. Но при интегрировании по частям частная производная в левой части $u$ можно переместить в тот $\varphi$; то есть,

$-\int u{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}\,dx=\int f\varphi \,dx$

где нет граничного члена, поскольку $\varphi$ имеет компактную поддержку. Теперь ключевым моментом является то, что это выражение имеет смысл, даже если $u$ не обязательно дифференцируемо и, следовательно, может использоваться для придания смысла производной такой функции.

Обратите внимание на каждую локально интегрируемую функцию. $u$ определяет линейный функционал $\varphi \mapsto \int u\varphi \,dx$ на $C_{c}^{\infty }(M)$ и, более того, каждая локально интегрируемая функция может быть отождествлена ​​с таким линейным функционалом в силу ранней леммы. Следовательно, в общем случае, если $u$ является линейным функционалом от $C_{c}^{\infty }(M)$, то определяем ${\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}$ быть линейным функционалом $\varphi \mapsto -\left\langle u,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{i}}}\right\rangle$ где скобка означает $\langle \alpha ,\varphi \rangle =\alpha (\varphi )$. Тогда ее называют слабой производной $u$ относительно $x_{i}$. Если $u$ непрерывно дифференцируема, то ее слабая производная совпадает с обычной; т. е. линейный функционал ${\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}$ то же самое, что линейный функционал, определяемый обычной частной производной $u$ относительно $x_{i}$. Обычную производную часто называют классической производной. Когда линейный функционал от $C_{c}^{\infty }(M)$ непрерывен относительно некоторой топологии на $C_{c}^{\infty }(M)$такой линейный функционал называется распределением и является примером обобщенной функции .

Классическим примером слабой производной является функция Хевисайда. $H$, характеристическая функция на интервале $(0,\infty )$. Для каждой тестовой функции $\varphi$, у нас есть:

$\langle H',\varphi \rangle =-\int _{0}^{\infty }\varphi '\,dx=\varphi (0).$

Позволять $\delta _{a}$ обозначим линейный функционал $\varphi \mapsto \varphi (a)$, называемая дельта-функцией Дирака (хотя это и не совсем функция). Тогда вышесказанное можно записать так:

$H'=\delta _{0}.$

Интегральная формула Коши имеет аналогичную интерпретацию в терминах слабых производных. Для комплексной переменной $z=x+iy$, позволять $E_{z_{0}}(z)={\frac {1}{\pi (z-z_{0})}}$. Для тестовой функции $\varphi$, если диск $|z-z_{0}|\leq r$ содержит поддержку $\varphi$, по интегральной формуле Коши имеем:

$\varphi (z_{0})={1 \over 2\pi i}\int {\frac {\partial \varphi }{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-z_{0}}}.$

С $dz\wedge d{\bar {z}}=-2idx\wedge dy$, это означает:

$\varphi (z_{0})=-\int E_{z_{0}}{\frac {\partial \varphi }{\partial {\bar {z}}}}dxdy=\left\langle {\frac {\partial E_{z_{0}}}{\partial {\bar {z}}}},\varphi \right\rangle ,$

или

${\frac {\partial E_{z_{0}}}{\partial {\bar {z}}}}=\delta _{z_{0}}.$

В общем, обобщенная функция называется фундаментальным решением линейного оператора в частных производных, если приложением к нему оператора является дельта Дирака. Следовательно, выше сказано $E_{z_{0}}$ является фундаментальным решением дифференциального оператора $\partial /\partial {\bar {z}}$.

См. также: Предел раздач.

Гамильтона

Основная статья: уравнение Гамильтона – Якоби

Исчисление на многообразиях

Определение многообразия

Этот раздел требует некоторых знаний в области общей топологии .

Многообразие топологическое — это пространство Хаусдорфа , локально моделируемое евклидовым пространством. По определению, атлас топологического пространства $M$ это набор карт $\varphi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}$, называемые диаграммами, такие, что

• $U_{i}$ являются открытой крышкой $M$; то есть каждый $U_{i}$ открыт и $M=\cup _{i}U_{i}$,
• $\varphi _{i}:U_{i}\to \varphi _{i}(U_{i})$ является гомеоморфизмом и
• $\varphi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}:\varphi _{i}(U_{i}\cap U_{j})\to \varphi _{j}(U_{i}\cap U_{j})$ является гладким; таким образом, диффеоморфизм.

По определению, многообразие — это топологическое пространство Хаусдорфа со второй счетностью с максимальным атласом (называемым дифференцируемой структурой ); «Максимальный» означает, что он не содержится в строго более крупном атласе. Размер коллектора $M$ - размерность модельного евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}$; а именно, $n$ и многообразие называется n -многообразием, если оно имеет размерность n . Функция на многообразии $M$ называется гладким, если $f|_{U}\circ \varphi ^{-1}$ идет гладко $\varphi (U)$ для каждого графика $\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}$ в дифференцируемой структуре.

Многообразие паракомпактно ; это подразумевает, что оно допускает разделение единства, подчиненное данному открытому покрытию.

Если $\mathbb {R} ^{n}$ заменяется верхним полупространством $\mathbb {H} ^{n}$, то мы получаем понятие многообразия с краем . Множество точек, которые соответствуют границе $\mathbb {H} ^{n}$ под графиками обозначается $\partial M$ и называется границей $M$. Эта граница не может быть топологической границей $M$. Поскольку интерьер $\mathbb {H} ^{n}$ диффеоморфен $\mathbb {R} ^{n}$, многообразие — это многообразие с краем и пустым краем.

Следующая теорема дает множество примеров многообразий.

Теорема — Позволять $g:U\to \mathbb {R} ^{r}$ быть дифференцируемой картой из открытого подмножества $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ такой, что $g'(p)$ имеет ранг $r$ за каждую точку $p$ в $g^{-1}(0)$. Тогда нулевое множество $g^{-1}(0)$ это $(n-r)$-многообразие.

Например, для $g(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n+1}^{2}-1$, производная $g'(x)={\begin{bmatrix}2x_{1}&2x_{2}&\cdots &2x_{n+1}\end{bmatrix}}$ имеет ранг один в каждой точке $p$ в $g^{-1}(0)$. Следовательно, n -сфера $g^{-1}(0)$ является n -многообразием.

Теорема доказывается как следствие теоремы об обратной функции.

Многие знакомые многообразия являются подмножествами $\mathbb {R} ^{n}$. Следующий теоретически важный результат говорит о том, что другого вида многообразий не существует. Погружение — это гладкое отображение, дифференциал которого инъективен. Вложение — это погружение, гомеоморфное (т. е. диффеоморфное) образу.

Теорема вложения Уитни — Каждый $k$-многообразие можно встроить в $\mathbb {R} ^{2k}$.

Доказательство того, что многообразие можно вложить в $\mathbb {R} ^{N}$ для некоторых N значительно проще и может быть легко приведен здесь. Известно что многообразие имеет конечный атлас $\{\varphi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}\mid 1\leq i\leq r\}$. Позволять $\lambda _{i}$ — гладкие функции такие, что $\operatorname {Supp} (\lambda _{i})\subset U_{i}$ и $\{\lambda _{i}=1\}$ крышка $M$ (например, раздел единства). Рассмотрите карту

$f=(\lambda _{1}\varphi _{1},\dots ,\lambda _{r}\varphi _{r},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{r}):M\to \mathbb {R} ^{(k+1)r}$

Это легко увидеть $f$ представляет собой инъективное погружение. Это может быть не встраивание. Чтобы это исправить, мы будем использовать:

$(f,g):M\to \mathbb {R} ^{(k+1)r+1}$

где $g$ — гладкое собственное отображение. Существование гладкого собственного отображения является следствием разбиения единицы. см. в [1] . Оставшуюся часть доказательства в случае погружения $\square$

Теорема вложения Нэша гласит, что если $M$ оснащен римановой метрикой, то вложение можно считать изометричным за счет увеличения $2k$; для этого см. блог Т. Тао .

окрестность

Технически важным результатом является:

Теорема о трубчатой ​​окрестности . Пусть M — многообразие и $N\subset M$ компактное замкнутое подмногообразие. Тогда существует окрестность $U$ из $N$ такой, что $U$ диффеоморфно нормальному расслоению $\nu _{N}=TM|_{N}/TN$ к $i:N\hookrightarrow M$ и $N$ соответствует нулевому участку $\nu _{i}$ под диффеоморфизмом.

Это можно доказать, поместив риманову метрику на многообразие $M$. Действительно, выбор метрики делает нормальное расслоение $\nu _{i}$ дополнительный пакет к $TN$; то есть, $TM|_{N}$ является прямой суммой $TN$ и $\nu _{N}$. Тогда, используя метрику, мы имеем экспоненциальное отображение $\exp :U\to V$ для какого-то района $U$ из $N$ в обычном комплекте $\nu _{N}$ в какой-то район $V$ из $N$ в $M$. Экспоненциальное отображение здесь может быть не инъективным, но его можно сделать инъективным (таким образом, диффеоморфным), сжимая $U$ (пока см. см. [2] ).

на многообразиях и

Отправной точкой для темы интегрирования на многообразиях является то, что не существует инвариантного способа интегрирования функций на многообразиях. Это может быть очевидно, если мы спросим: что такое интегрирование функций в конечномерном действительном векторном пространстве? (Напротив, существует инвариантный способ дифференцирования, поскольку по определению многообразие имеет дифференцируемую структуру). Есть несколько способов представить теорию интегрирования многообразиям:

• Интегрируйте дифференциальные формы.
• Делайте интеграцию по какой-то мере.
• Оснастите многообразие римановой метрикой и выполните интегрирование по такой метрике.

Например, если многообразие вложено в евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$, то он приобретает меру Лебега, ограничивающую объемлющее евклидово пространство, и тогда работает второй подход. Первый подход хорош во многих ситуациях, но он требует, чтобы многообразие было ориентировано (и существует неориентируемое многообразие, которое не является патологией). Третий подход является обобщающим и порождает понятие плотности.

Обобщения

бесконечномерных

Такие понятия, как дифференцируемость, распространяются на нормированные пространства .

См. также

• Дифференциальная геометрия поверхностей
• Интегрирование по волокнам
• Теорема Лусина
• Плотность на коллекторе

Ссылки

• ду Карму, Манфредо П. (1976), Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Прентис-Холл, ISBN  978-0-13-212589-5
• Эдвардс, Чарльз Генри (1994) [1973], Расширенное исчисление нескольких переменных , Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  0-486-68336-2
• Фолланд, Джеральд , Реальный анализ: современные методы и их применение (2-е изд.)
• Картан, Анри (1971), Calcul Differentiel (на французском языке), Герман , ISBN  9780395120330
• Хирш, Моррис (1994), Дифференциальная топология (2-е изд.), Springer-Verlag
• Хёрмандер, Ларс (2015), Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I: Теория распределения и анализ Фурье , Классика математики (2-е изд.), Springer, ISBN  9783642614972
• Лумис, Линн Гарольд ; Штернберг, Шломо (1968), Advanced Calculus , Аддисон-Уэсли (пересмотренный в 1990 году, Джонс и Бартлетт; перепечатанный в 2014 году, World Scientific) [в этом тексте, в частности, обсуждается плотность]
• О'Нил, Барретт (2006), Элементарная дифференциальная геометрия (пересмотренное 2-е изд.), Амстердам: Elsevier/Academic Press, ISBN  0-12-088735-5
• Рудин, Уолтер (1976) [1953], Принципы математического анализа (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw Hill, стр. 204–299, ISBN.  978-0-07-054235-8
• Спивак, Михаил (1965). Исчисление на многообразиях: современный подход к классическим теоремам расширенного исчисления . Сан-Франциско: Бенджамин Каммингс. ISBN  0-8053-9021-9 .