Лемма Бореля

В математике , является важным результатом , лемма Бореля , названная в честь Эмиля Бореля используемым в теории асимптотических разложений и уравнений в частных производных .

Заявление

Предположим, что U — открытое множество в евклидовом пространстве R ^н , и предположим, что 0 _, f 1 _, ... является последовательностью гладких f функций на U .

Если I — любой открытый интервал в R, содержащий 0 (возможно, I = R ), то существует гладкая функция F ( t , x ), определенная на I × U , такая, что

$\left.{\frac {\partial ^{k}F}{\partial t^{k}}}\right|_{(0,x)}=f_{k}(x),$

для k ≥ 0 и x в U .

Доказательство

Доказательства леммы Бореля можно найти во многих учебниках по анализу, в том числе Голубицком и Гиймене (1974) и Хёрмандере (1990) , из которых взято приведенное ниже доказательство.

Заметим, что доказательство результата достаточно для небольшого интервала I = (− ε , ε ), поскольку если ψ ( t ) — гладкая шишковая функция с компактным носителем в (− ε , ε ), равная тождественно 1 вблизи 0, то ψ ( т ) ⋅ F ( т , Икс ) дает решение на R × U . Аналогично, используя гладкое разбиение единицы на R ^н подчинен покрытию открытыми шарами с центрами в точках δ ⋅ Z ^н , можно считать, что все f _m имеют компактный носитель в некотором фиксированном замкнутом шаре C . для каждого m Пусть

$F_{m}(t,x)={t^{m} \over m!}\cdot \psi \left({t \over \varepsilon _{m}}\right)\cdot f_{m}(x),$

где ε _m выбрано достаточно малым, чтобы

$\|\partial ^{\alpha }F_{m}\|_{\infty }\leq 2^{-m}$

для | α | < м . Эти оценки означают, что каждая сумма

$\sum _{m\geq 0}\partial ^{\alpha }F_{m}$

равномерно сходится и, следовательно,

$F=\sum _{m\geq 0}F_{m}$

представляет собой гладкую функцию с

$\partial ^{\alpha }F=\sum _{m\geq 0}\partial ^{\alpha }F_{m}.$

По конструкции

$\partial _{t}^{m}F(t,x)|_{t=0}=f_{m}(x).$

Примечание. Точно такую ​​же конструкцию можно применить без вспомогательного пространства U для получения гладкой функции на интервале I , для которой производные в точке 0 образуют произвольную последовательность.

См. также

• Неаналитическая гладкая функция § Приложение к рядам Тейлора

Ссылки

• Эрдейи, А. (1956), Асимптотические разложения , Dover Publications, стр. 22–25, ISBN  0486603180
• Голубицкий, М. ; Гиймен, В. (1974), Стабильные отображения и их особенности , Тексты для аспирантов по математике , вып. 14, Шпрингер-Верлаг, ISBN  0-387-90072-1
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных операторов в частных производных, I. Теория распределения и анализ Фурье (2-е изд.), Springer-Verlag, p. 16, ISBN  3-540-52343-Х

Эта статья включает в себя материал из леммы Бореля на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .