Раздел единства

В математике — разбиение единства топологического пространства. $X$ это набор $R$ из непрерывных функций $X$ к единичному интервалу [0,1] такой, что для каждой точки $x\in X$ :

есть окрестности $x$ где все кроме конечного числа функции, $R$ равны 0, и
сумма всех значений функции в $x$ равно 1, т.е. ${\textstyle \sum _{\rho \in R}\rho (x)=1.}$

Перегородки единства полезны тем, что часто позволяют распространить локальные конструкции на все пространство. Они также важны для интерполяции данных, обработки сигналов и теории сплайн-функций .

Существование [ править ]

Существование разделов единства принимает две различные формы:

Учитывая любую открытую крышку $\{U_{i}\}_{i\in I}$ пространства существует раздел $\{\rho _{i}\}_{i\in I}$ индексируются по одному и тому же набору $I$ такой, что супп $\rho _{i}\subseteq U_{i}.$ Такая перегородка называется подчиненной открытой крышке. $\{U_{i}\}_{i}.$
Если пространство локально компактно при любом открытом покрытии $\{U_{i}\}_{i\in I}$ пространства существует раздел $\{\rho _{j}\}_{j\in J}$ индексируется по возможно отличному набору индексов $J$ такой, что каждый $\rho _{j}$ имеет компактную поддержку и для каждого $j\in J$ , поддержка $\rho _{j}\subseteq U_{i}$ для некоторых $i\in I$ .

Таким образом, можно выбрать либо индексацию опор открытой крышкой, либо компактные опоры. Если пространство компактно , то существуют разбиения, удовлетворяющие обоим требованиям.

Конечное открытое покрытие всегда имеет подчиненное ему непрерывное разбиение единицы, если пространство локально компактно и хаусдорфово. ^[1] Паракомпактность пространства — необходимое условие, гарантирующее существование разбиения единства, подчиненного любому открытому покрытию . В зависимости от категории , к которой принадлежит помещение, оно может быть и достаточным условием. ^[2]В конструкции используются мягчители (выпуклые функции), которые существуют в непрерывных и гладких многообразиях , но не существуют в аналитических многообразиях . Таким образом, для открытого покрытия аналитического многообразия аналитическое разбиение единицы, подчиненное этому открытому покрытию, вообще не существует. См. аналитическое продолжение .

Если $R$ и $T$ являются разбиениями единицы пространств $X$ и $Y$ соответственно, то множество всех пар $\{\rho \otimes \tau :\ \rho \in R,\ \tau \in T\}$ является разбиением единицы декартова произведений пространства $X\times Y$ . Тензорное произведение функций действует как $(\rho \otimes \tau )(x,y)=\rho (x)\tau (y).$

Пример [ править ]

Мы можем построить разбиение единицы на $S^{1}$ посмотрев на диаграмму дополнения точки $p\in S^{1}$ отправка $S^{1}-\{p\}$ к $\mathbb {R}$ с центром $q\in S^{1}$ . Теперь позвольте $\Phi$ быть функцией удара на $\mathbb {R}$ определяется

\Phi (x)={\begin{cases}\exp \left({\frac {1}{x^{2}-1}}\right)&x\in (-1,1)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}

тогда и эта функция, и

1-\Phi

может быть однозначно расширен на

S^{1}

установив

\Phi (p)=0

. Тогда набор

\{(S^{1}-\{p\},\Phi ),(S^{1}-\{q\},1-\Phi )\}

образует перегородку единства над

S^{1}

.

Определения вариантов [ править ]

Иногда используется менее строгое определение: сумма всех значений функции в определенной точке должна быть положительной, а не 1 для каждой точки пространства. Однако при таком наборе функций $\{\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }$ получить разбиение единицы в строгом смысле можно делением на сумму; раздел становится $\{\sigma ^{-1}\psi _{i}\}_{i=1}^{\infty }$ где ${\textstyle \sigma (x):=\sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)}$ , что корректно определено, поскольку в каждой точке только конечное число термов ненулевые. Более того, некоторые авторы отказываются от требования локальной конечности носителей, требуя только того, чтобы ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }\psi _{i}(x)<\infty }$ для всех $x$ . ^[3]

В области операторных алгебр разбиение единицы состоит из проекций ^[4] $p_{i}=p_{i}^{*}=p_{i}^{2}$ . В случае $\mathrm {C} ^{*}$ -алгебры , можно показать, что элементы попарно ортогональны : ^[5]

p_{i}p_{j}=\delta _{i,j}p_{i}\qquad (p_{i},\,p_{j}\in R).

Обратите внимание . , что в общей *-алгебре элементы разбиения единицы не попарно ортогональны ^[6]

Если $a$ является обычным элементом единицы $\mathrm {C} ^{*}$ -алгебра $A$ и имеет конечный спектр $\sigma (a)=\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{N}\}$ , то проекции в спектральном разложении :

a=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\,P_{i},

образуют раздел единства. ^[7]

В области компактных квантовых групп строки и столбцы фундаментального представления $u\in M_{N}(C)$ квантовой группы перестановок $(C,u)$ образуют перегородки единства. ^[8]

Приложения [ править ]

Разделение единицы может использоваться для определения интеграла (относительно формы объема ) функции, определенной на многообразии: сначала определяется интеграл функции, носитель которой содержится в одном координатном участке многообразия; затем используется разбиение единицы для определения интеграла произвольной функции; наконец, показано, что определение не зависит от выбранного разбиения единицы.

Разбиение единицы можно использовать, чтобы показать существование римановой метрики на произвольном многообразии.

Метод наискорейшего спуска использует разбиение единицы для построения асимптотики интегралов.

Фильтр Линквица – Райли является примером практической реализации разделения единицы для разделения входного сигнала на два выходных сигнала, содержащих только высокочастотные или низкочастотные компоненты.

Полиномы Бернштейна фиксированной степени m представляют собой семейство из m +1 линейно независимых многочленов, которые являются разбиением единицы для единичного интервала. $[0,1]$ .

Разбиения единицы используются для установления глобальных гладких аппроксимаций функций Соболева в ограниченных областях. ^[9]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 40. ИСБН 978-0-07-054234-1 .
^ Алипрантис, Хараламбос Д.; Бордер, Ким С. (2007). Бесконечный размерный анализ: Путеводитель для автостопа (3-е изд.). Берлин: Шпрингер. п. 716. ИСБН 978-3-540-32696-0 .
^ Стрихарц, Роберт С. (2003). Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье . Сингапур: Всемирный научный паб. компании ISBN 981-238-421-9 . OCLC 54446554 .
^ Конвей, Джон Б. Курс функционального анализа (2-е изд.). Спрингер. п. 54. ИСБН 0-387-97245-5 .
^ Фреслон, Амори (2023). Компактные матричные квантовые группы и их комбинаторика . Издательство Кембриджского университета.
^ Фриц, Тобиас. «Парная ортогональность разбиений единицы в *-алгебре» . Mathoverflow . Проверено 7 февраля 2024 г.
^ Мерфи, Джерард Дж. (1990). C*-алгебры и теория операторов . Академическая пресса. п. 66. ИСБН 0-12-511360-9 .
^ Баника, Тео (2023). Введение в квантовые группы . Спрингер. ISBN 978-3-031-23816-1 .
^ Эванс, Лоуренс (2 марта 2010 г.), «Пространства Соболева», Уравнения в частных производных , Аспирантура по математике, том. 19, Американское математическое общество, стр. 253–309, номер документа : 10.1090/gsm/019/05 , ISBN. 9780821849743

Ту, Лоринг В. (2011), Введение в многообразия , Universitext (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4419-7400-6 , ISBN 978-1-4419-7399-3 , см. главу 13

Внешние ссылки [ править ]

Общая информация о разделе единства в [Mathworld]

[1] Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 40. ИСБН 978-0-07-054234-1 .

[2] Алипрантис, Хараламбос Д.; Бордер, Ким С. (2007). Бесконечный размерный анализ: Путеводитель для автостопа (3-е изд.). Берлин: Шпрингер. п. 716. ИСБН 978-3-540-32696-0 .

[3] Стрихарц, Роберт С. (2003). Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье . Сингапур: Всемирный научный паб. компании ISBN 981-238-421-9 . OCLC 54446554 .

[4] Конвей, Джон Б. Курс функционального анализа (2-е изд.). Спрингер. п. 54. ИСБН 0-387-97245-5 .

[5] Фреслон, Амори (2023). Компактные матричные квантовые группы и их комбинаторика . Издательство Кембриджского университета.

[6] Фриц, Тобиас. «Парная ортогональность разбиений единицы в *-алгебре» . Mathoverflow . Проверено 7 февраля 2024 г.

[7] Мерфи, Джерард Дж. (1990). C*-алгебры и теория операторов . Академическая пресса. п. 66. ИСБН 0-12-511360-9 .

[8] Баника, Тео (2023). Введение в квантовые группы . Спрингер. ISBN 978-3-031-23816-1 .

[9] Эванс, Лоуренс (2 марта 2010 г.), «Пространства Соболева», Уравнения в частных производных , Аспирантура по математике, том. 19, Американское математическое общество, стр. 253–309, номер документа : 10.1090/gsm/019/05 , ISBN. 9780821849743

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]