Компактная квантовая группа

В математике компактные квантовые группы являются обобщениями компактных групп , где коммутативные $\mathrm {C} ^{*}$ -алгебра непрерывных комплекснозначных функций на компактной группе обобщается до абстрактной структуры на не обязательно коммутативной единице. $\mathrm {C} ^{*}$ -алгебра, играющая роль «алгебры непрерывных комплекснозначных функций на компактной квантовой группе». ^[1]

Основная мотивация этой теории исходит из следующей аналогии. Пространство комплекснозначных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве образует коммутативную С*-алгебру. С другой стороны, по теореме Гельфанда коммутативная С*-алгебра изоморфна С*-алгебре непрерывных комплекснозначных функций на компактном хаусдорфовом топологическом пространстве, причем топологическое пространство однозначно определяется С*-алгеброй вплоть до гомеоморфизма .

С.Л. Воронович ^[2] ввел важную концепцию компактных матричных квантовых групп , которые он первоначально назвал компактными псевдогруппами . Компактные матричные квантовые группы представляют собой абстрактные структуры, «непрерывные функции» которых задаются элементами C*-алгебры. Геометрия компактной матричной квантовой группы является частным случаем некоммутативной геометрии .

Формулировка

Для компактной топологической группы G $существует$ гомоморфизм С*-алгебры

\Delta :C(G)\to C(G)\otimes C(G)

где $C (G \otimes C (G)$ — минимальное тензорное произведение C*-алгебры — пополнение алгебраического тензорного произведения C $) (G)$ и $C (G)$ ) — такое, что

\Delta (f)(x,y)=f(xy)

для всех $f\in C(G)$ , и для всех $x,y\in G$ , где

(f\otimes g)(x,y)=f(x)g(y)

для всех $f,g\in C(G)$ и все $x,y\in G$ . Существует также линейное мультипликативное отображение

\kappa :C(G)\to C(G)

,

такой, что

\kappa (f)(x)=f(x^{-1})

для всех $f\in C(G)$ и все $x\in G$ . Строго говоря, это не превращает $C (G)$ в алгебру Хопфа , если только $G$ не конечна.

другой стороны, конечномерное представление G $,$ можно использовать для создания *-подалгебры C $С (G)$ которая также является *-алгеброй Хопфа. В частности, если

g\mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}

является $n$ -мерным представлением $G$ , то

u_{ij}\in C(G)

для всех $i, j$ и

\Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj}

для всех $я, j$ . Отсюда следует, что *-алгебра, порожденная $u_{ij}$ для всех $я, j$ и $\kappa (u_{ij})$ для всех $i, j$ является *-алгеброй Хопфа: единица определяется формулой

\epsilon (u_{ij})=\delta _{ij}

для всех $i,j$ (где $\delta _{ij}$ — дельта Кронекера ), антипод — $κ$ , а единица измерения —

1=\sum _{k}u_{1k}\kappa (u_{k1})=\sum _{k}\kappa (u_{1k})u_{k1}.

Компактные матричные квантовые группы

В качестве обобщения компактная матричная квантовая группа определяется как пара $(C, u)$ , где $C$ — C*-алгебра и

u=(u_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}

- это матрица с элементами в $C$ такая, что

*-подалгебра $C0 в$ C $C$ , порожденная матричными элементами $u$ плотна в $;$ ,
Существует гомоморфизм C*-алгебры, называемый коумножением, $∆ : C \to C \otimes C$ (здесь $C \otimes C$ — тензорное произведение C*-алгебры — пополнение алгебраического тензорного произведения $C$ и $C$ ) такой, что

\forall i,j:\qquad \Delta (u_{ij})=\sum _{k}u_{ik}\otimes u_{kj};

Существует линейное антимультипликативное отображение, называемое коинверсией, $: C0 \to C0 что такое κ$ , $\kappa (\kappa (v*)*)=v$ для всех $v\in C_{0}$ и $\sum _{k}\kappa (u_{ik})u_{kj}=\sum _{k}u_{ik}\kappa (u_{kj})=\delta _{ij}I,$ где $I$ — единичный $C.$ элемент Поскольку $κ$ антимультипликативен, $κ (vw) = κ (w) κ (v)$ для всех $v,w\in C_{0}$ .

Вследствие непрерывности коумножение на $C$ коассоциативно.

В общем случае $C$ — биалгебра, а $— C0$ *-алгебра Хопфа.

Неформально $C$ можно рассматривать как *-алгебру непрерывных комплекснозначных функций над компактной матричной квантовой группой, а $u$ можно рассматривать как конечномерное представление компактной матричной квантовой группы.

Компактные квантовые группы

Для C*-алгебр $A$ и $B,$ действующих в гильбертовых пространствах $H$ и $K$ соответственно, их минимальное тензорное произведение определяется как пополнение по норме алгебраического тензорного произведения $A \otimes B$ в $B (H \otimes K)$ ; пополнение нормы также обозначается через $A \otimes B$ .

Компактная квантовая группа ^[3]^[4] определяется как пара $(C, ∆)$ , где $C$ — единичная C*-алгебра и

$∆ : C \to C \otimes C$ — единичный *-гомоморфизм, удовлетворяющий условию $(∆ \otimes id) ∆ = (id \otimes ∆) ∆$ ;
множества ${(C \otimes 1) ∆(C)}$ и ${(1 \otimes C) ∆(C)}$ плотны в $C \otimes C$ .

Представительства

Представление компактной матричной квантовой группы дается ко-представлением *-алгебры Хопфа ^[5] Более того, представление v называется унитарным, если матрица для v унитарна, или, что то же самое, если

\forall i,j:\qquad \kappa (v_{ij})=v_{ji}^{*}.

Пример

Примером компактной матричной квантовой группы является $SU µ (2)$ , ^[6] где параметр $µ$ — положительное действительное число.

Первое определение

$SU µ (2) = (C (SU µ (2)), u)$ , где $C (SU µ (2))$ — C*-алгебра, порожденная $α$ и $γ$ , с учетом

\gamma \gamma ^{*}=\gamma ^{*}\gamma ,\ \alpha \gamma =\mu \gamma \alpha ,\ \alpha \gamma ^{*}=\mu \gamma ^{*}\alpha ,\ \alpha \alpha ^{*}+\mu \gamma ^{*}\gamma =\alpha ^{*}\alpha +\mu ^{-1}\gamma ^{*}\gamma =I,

и

u=\left({\begin{matrix}\alpha &\gamma \\-\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),

так что коумножение определяется $\Delta (\alpha )=\alpha \otimes \alpha -\gamma \otimes \gamma ^{*},\Delta (\gamma )=\alpha \otimes \gamma +\gamma \otimes \alpha ^{*}$ , а коинверсия определяется выражением $\kappa (\alpha )=\alpha ^{*},\kappa (\gamma )=-\mu ^{-1}\gamma ,\kappa (\gamma ^{*})=-\mu \gamma ^{*},\kappa (\alpha ^{*})=\alpha$ . Обратите внимание, что $u$ — представление, но не унитарное представление . $u$ эквивалентно унитарному представлению

v=\left({\begin{matrix}\alpha &{\sqrt {\mu }}\gamma \\-{\frac {1}{\sqrt {\mu }}}\gamma ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right).

Второе определение

$SU µ (2) = (C (SU µ (2)), w)$ , где $C (SU µ (2))$ — C*-алгебра, порожденная $α$ и $β$ , с учетом

\beta \beta ^{*}=\beta ^{*}\beta ,\ \alpha \beta =\mu \beta \alpha ,\ \alpha \beta ^{*}=\mu \beta ^{*}\alpha ,\ \alpha \alpha ^{*}+\mu ^{2}\beta ^{*}\beta =\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =I,

и

w=\left({\begin{matrix}\alpha &\mu \beta \\-\beta ^{*}&\alpha ^{*}\end{matrix}}\right),

так что коумножение определяется $\Delta (\alpha )=\alpha \otimes \alpha -\mu \beta \otimes \beta ^{*},\Delta (\beta )=\alpha \otimes \beta +\beta \otimes \alpha ^{*}$ , а коинверсия определяется выражением $\kappa (\alpha )=\alpha ^{*},\kappa (\beta )=-\mu ^{-1}\beta ,\kappa (\beta ^{*})=-\mu \beta ^{*}$ , $\kappa (\alpha ^{*})=\alpha$ . Обратите внимание, что $w$ — унитарное представление. Реализации можно идентифицировать, приравнивая $\gamma ={\sqrt {\mu }}\beta$ .

Предельный случай

Если $µ = 1$ , то $SU µ (2)$ равна конкретной компактной группе $SU(2)$ .

Ссылки

^ Баника, Тео (2023). Введение в квантовые группы . Спрингер. ISBN 978-3-031-23816-1 .
^ Воронович, С.Л. «Компактные матричные псевдогруппы», Коммун. Математика. Физ. 111 (1987), 613-665
^ Воронович, С.Л. «Компактные квантовые группы». Примечания взяты с http://www.fuw.edu.pl/~slworono/PDF-y/CQG3.pdf.
^ ван Дале, А. и Мэйс, Энн. «Заметки о компактных квантовых группах», arXiv:math/9803122.
^ копредставление коассиативной коассиативной коалгебры $A$ представляет собой квадратную матрицу
$v=(v_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}$
с записями из $A$ (так что $v \in M(n, A)$ ) такие, что
$\forall i,j:\qquad \Delta (v_{ij})=\sum _{k=1}^{n}v_{ik}\otimes v_{kj}$
$\forall i,j:\qquad \epsilon (v_{ij})=\delta _{ij}.$
^ ван Дале, А. и Ван, С. «Универсальные квантовые группы» Int. Дж. Математика. (1996), 255-263.

[1] Баника, Тео (2023). Введение в квантовые группы . Спрингер. ISBN 978-3-031-23816-1 .

[2] Воронович, С.Л. «Компактные матричные псевдогруппы», Коммун. Математика. Физ. 111 (1987), 613-665

[3] Воронович, С.Л. «Компактные квантовые группы». Примечания взяты с http://www.fuw.edu.pl/~slworono/PDF-y/CQG3.pdf.

[4] ван Дале, А. и Мэйс, Энн. «Заметки о компактных квантовых группах», arXiv:math/9803122.

[5] копредставление коассиативной коассиативной коалгебры $A$ представляет собой квадратную матрицу
$v=(v_{ij})_{i,j=1,\dots ,n}$
с записями из $A$ (так что $v \in M(n, A)$ ) такие, что
$\forall i,j:\qquad \Delta (v_{ij})=\sum _{k=1}^{n}v_{ik}\otimes v_{kj}$
$\forall i,j:\qquad \epsilon (v_{ij})=\delta _{ij}.$

[6] ван Дале, А. и Ван, С. «Универсальные квантовые группы» Int. Дж. Математика. (1996), 255-263.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]