Теорема о расширении Уитни

В математике , в частности в математическом анализе , теорема расширения Уитни является частичным обращением к теореме Тейлора . Грубо говоря, теорема утверждает, что если — замкнутое подмножество евклидова пространства, то можно расширить данную функцию из A таким образом, чтобы иметь предписанные производные в точках A. A Это результат Хасслера Уитни .

Заявление

Точная формулировка теоремы требует тщательного рассмотрения того, что означает предписание производной функции на замкнутом множестве. Одна из трудностей, например, заключается в том, что замкнутые подмножества евклидова пространства вообще не имеют дифференцируемой структуры . Таким образом, отправной точкой является рассмотрение утверждения теоремы Тейлора.

Учитывая действительное значение C ^м функция f ( x ) на R ^н , теорема Тейлора утверждает, что для каждых a , x , y ∈ R ^н , существует функция R _α ( x , y ), равномерно приближающаяся к 0 при x , y → a , такая, что

$f({\mathbf {x} })=\sum _{|\alpha |\leq m}{\frac {D^{\alpha }f({\mathbf {y} })}{\alpha !}}\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {y} })^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=m}R_{\alpha }({\mathbf {x} },{\mathbf {y} }){\frac {({\mathbf {x} }-{\mathbf {y} })^{\alpha }}{\alpha !}}$ ( 1 )

где сумма ведется по мультииндексам   α .

Пусть f _α = D ^а f для каждого мультииндекса α . Дифференцируя (1) по x и, возможно, заменяя R при необходимости, получаем

$f_{\alpha }({\mathbf {x} })=\sum _{|\beta |\leq m-|\alpha |}{\frac {f_{\alpha +\beta }({\mathbf {y} })}{\beta !}}({\mathbf {x} }-{\mathbf {y} })^{\beta }+R_{\alpha }({\mathbf {x} },{\mathbf {y} })$ ( 2 )

где R _α равно o (| x − y | ^{м −| а |} ) равномерно при x , y → a .

Заметим, что ( 2 ) можно рассматривать просто как условие совместимости между функциями fα _, которое должно удовлетворяться для того, чтобы эти функции были коэффициентами ряда Тейлора функции f . Именно это понимание способствует следующему утверждению:

Теорема. Предположим, что f _α — набор функций на замкнутом подмножестве A в R ^н для всех мультииндексов α с $|\alpha |\leq m$ удовлетворяющий условию совместимости ( 2 во всех точках x , y и a из A. ) Тогда существует функция F ( x ) класса C ^м такой, что:

1. F знак равно ж ₀ на А .
2. Д ^а F знак равно ж _α на А .
3. F вещественно-аналитичен в каждой точке R ^н − А. ​

Доказательства даны в оригинальной статье Уитни (1934) , а также в Мальгранже (1967) , Бирстоне (1980) и Хёрмандере (1990) .

Расширение в полупространстве

Сили (1964) доказал усиление теоремы о продолжении Уитни в частном случае полупространства. Гладкая функция на полупространстве R ^{н ,+} точек, где x _n ≥ 0 — гладкая функция f во внутренней части x _n, для которой производные ∂ ^а f распространяется на непрерывные функции в полупространстве. На границе x _n = 0 функция f ограничивается гладкой функцией. По Бореля лемме f можно расширить до a гладкая функция на всем R ^н . Поскольку лемма Бореля локальна по своей природе, то же рассуждение показывает, что если $\Omega$ является (ограниченной или неограниченной) областью в R ^н с гладкой границей, то любая гладкая функция на замыкании $\Omega$ можно продолжить до гладкой функции на R ^н .

Результат Сили для половины линии дает равномерную карту расширения.

$\displaystyle {E:C^{\infty }(\mathbf {R} ^{+})\rightarrow C^{\infty }(\mathbf {R} ),}$

который является линейным, непрерывным (для топологии равномерной сходимости функций и их производных на компактах) и переводит функции с носителями в [0, R ] в функции с носителями из [− R , R ]

Чтобы определить $E,$ набор

$\displaystyle {E(f)(x)=\sum _{m=1}^{\infty }a_{m}f(-b_{m}x)\varphi (-b_{m}x)\,\,\,(x<0),}$

где φ — гладкая функция с компактным носителем на R, , ( _{равная 1 вблизи 0, и последовательности (am} bm ) ₎ удовлетворяют:

• $b_{m}>0$ имеет тенденцию $\infty$;
• $\sum a_{m}b_{m}^{j}=(-1)^{j}$ для $j\geq 0$ с суммой абсолютно сходящейся.

Решение этой системы уравнений можно получить, взяв $b_{n}=2^{n}$ и ищем целую функцию

$g(z)=\sum _{m=1}^{\infty }a_{m}z^{m}$

такой, что $g\left(2^{j}\right)=(-1)^{j}.$ Возможность построения такой функции следует из теоремы Вейерштрасса и теоремы Миттаг-Леффлера .

Его можно увидеть непосредственно, установив

$W(z)=\prod _{j\geq 1}(1-z/2^{j}),$

целая функция с простыми нулями в $2^{j}.$ Производные W '(2 ^дж ) ограничены сверху и снизу. Аналогично функция

$M(z)=\sum _{j\geq 1}{(-1)^{j} \over W^{\prime }(2^{j})(z-2^{j})}$

мероморфный с простыми полюсами и предписанными остатками в $2^{j}.$

По конструкции

$\displaystyle {g(z)=W(z)M(z)}$

представляет собой целую функцию с необходимыми свойствами.

Определение полупространства в R ^н применяя оператор R к последней переменной x _n . Аналогично, используя гладкое разбиение единицы и локальную замену переменных, результат для полупространства подразумевает существование аналогичного расширяющегося отображения.

$\displaystyle {C^{\infty }({\overline {\Omega }})\rightarrow C^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})}$

для любого домена $\Omega$ в Р ^н с гладкой границей.

См. также

• Теорема Киршбрауна дает расширения липшицевых функций.
• Теорема о расширении Титце . Непрерывные карты на замкнутом подмножестве нормального пространства можно расширить.
• Теорема Хана – Банаха - Теорема о продолжении ограниченных линейных функционалов.

Ссылки

• МакШейн, Эдвард Джеймс (1934), «Расширение диапазона функций», Bull. амер. Математика. Соц. , 40 (12): 837–842, doi : 10.1090/s0002-9904-1934-05978-0 , МР   1562984 , Збл   0010.34606
• Уитни, Хасслер (1934), «Аналитические расширения дифференцируемых функций, определенных в замкнутых множествах», Transactions of the American Mathematical Society , 36 (1), American Mathematical Society: 63–89, doi : 10.2307/1989708 , JSTOR   1989708
• Бирстон, Эдвард (1980), «Дифференцируемые функции», Бюллетень Бразильского математического общества , 11 (2): 139–189, doi : 10.1007/bf02584636
• Мальгранж, Бернар (1967), Идеалы дифференцируемых функций , Институт фундаментальных исследований в области математики Таты, том. 3, Издательство Оксфордского университета
• Сили, RT (1964), «Расширение функций C∞, определенных в полупространстве», Proc. амер. Математика. Соц. , 15 : 625–626, doi : 10.1090/s0002-9939-1964-0165392-8
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных операторов в частных производных. I. Теория распределения и анализ Фурье , Springer-Verlag, ISBN  3-540-00662-1
• Шазарен, Жак; Пириу, Ален (1982), Введение в теорию линейных дифференциальных уравнений в частных производных , Исследования по математике и ее приложениям, том. 14, Эльзевир, ISBN  0444864520
• Поннусами, С.; Сильверман, Херб (2006), Комплексные переменные с применением , Биркхойзер, ISBN  0-8176-4457-1
• Фефферман, Чарльз (2005), «Точная форма теоремы о расширении Уитни», Annals of Mathematics , 161 (1): 509–577, doi : 10.4007/annals.2005.161.509 , MR   2150391