Теорема Киршбрауна

В математике , особенно в реальном анализе и функциональном анализе , теорема Киршбрауна утверждает, что если $U$ — подмножество некоторого гильбертова пространства $H 1$ , а $H 2$ — другое гильбертово пространство, и

f:U\rightarrow H_{2}

является липшицево-непрерывным отображением, то существует липшицево-непрерывное отображение

F:H_{1}\rightarrow H_{2}

который расширяет $f$ и имеет ту же константу Липшица, что и $f$ .

Заметим, что этот результат, в частности, применим к евклидовым пространствам $E н$ и $Е м$ , и именно в такой форме Киршбраун первоначально сформулировал и доказал теорему. ^[1] Версию для гильбертовых пространств можно найти, например, в (Шварц 1969, стр. 21). ^[2] Если $H 1$ — сепарабельное пространство (в частности, если оно евклидово), результат верен в теории множеств Цермело–Френкеля ; в полностью общем случае, по-видимому, требуется некоторая форма аксиомы выбора; известно, что булевой теоремы о простых идеалах достаточно. ^[3]

Доказательство теоремы использует геометрические особенности гильбертовых пространств; соответствующее утверждение для банаховых пространств, вообще говоря, неверно, даже для конечномерных банаховых пространств. Например, можно построить контрпримеры, в которых предметная область является подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$ с максимальной нормой и $\mathbb {R} ^{m}$ несет евклидову норму. ^[4] В более общем смысле теорема неверна для $\mathbb {R} ^{m}$ оборудованный любым $\ell _{p}$ норма ( $p\neq 2$ ) (Шварц 1969, стр. 20). ^[2]

Явные формулы

Для $\mathbb {R}$ -значная функция, расширение которой предоставляется ${\tilde {f}}(x):=\inf _{u\in U}{\big (}f(u)+{\text{Lip}}(f)\cdot d(x,u){\big )},$ где ${\text{Lip}}(f)$ константа Липшица $f$ на $У.$ ^[5]

В общем, расширение можно написать и для $\mathbb {R} ^{m}$ -значные функции как ${\tilde {f}}(x):=\nabla _{y}({\textrm {conv}}(g(x,y))(x,0)$ где $g(x,y):=\inf _{u\in U}\left\{\langle f(u),y\rangle +{\frac {{\text{Lip}}(f)}{2}}\|x-u\|^{2}\right\}+{\frac {{\text{Lip}}(f)}{2}}\|x\|^{2}+{\text{Lip}}(f)\|y\|^{2}$ и conv( g ) — нижняя выпуклая оболочка g . ^[6]

История

Теорема была доказана Мойжесом Давидом Киршбрауном , а позже ее опровергла Фредерик Валентайн . ^[7] который первым доказал это для евклидовой плоскости. ^[8] Иногда эту теорему еще называют теоремой Кирсбрауна–Валентайна .

Ссылки

^ Кирсбраун, доктор медицины (1934). «О сжимающихся и липшицевых преобразованиях» . Фундамента Математика . 22 :77–108. дои : 10.4064/fm-22-1-77-108 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Шварц, Дж. Т. (1969). Нелинейный функциональный анализ . Нью-Йорк: Гордон и наука о нарушениях.
^ Фремлин, Д.Х. (2011). «Теорема Киршбрауна» (PDF) . Препринт .
^ Федерер, Х. (1969). Геометрическая теория меры . Берлин: Шпрингер. п. 202 .
^ МакШейн, Э.Дж. (1934). «Расширение спектра функций» . Бюллетень Американского математического общества . 40 (12): 837–842. дои : 10.1090/S0002-9904-1934-05978-0 . ISSN 0002-9904 .
^ Азагра, Дэниел; Ле Грюйер, Эрван; Мударра, Карлос (2021). «Теорема Киршбрауна через явную формулу» . Канадский математический бюллетень . 64 (1): 142–153. arXiv : 1810.10288 . дои : 10.4153/S0008439520000314 . ISSN 0008-4395 .
^ Валентин, Ф.А. (1945). «Расширение векторной функции, сохраняющее условие Липшица». Американский журнал математики . 67 (1): 83–93. дои : 10.2307/2371917 . JSTOR 2371917 .
^ Валентин, Ф.А. (1943). «О продолжении вектор-функции с сохранением условия Липшица» . Бюллетень Американского математического общества . 49 (2): 100–108. дои : 10.1090/s0002-9904-1943-07859-7 . МР 0008251 .

Внешние ссылки

Теорема Киршбрауна в математической энциклопедии .

[1] Кирсбраун, доктор медицины (1934). «О сжимающихся и липшицевых преобразованиях» . Фундамента Математика . 22 :77–108. дои : 10.4064/fm-22-1-77-108 .

[Schwartz1969-2] Перейти обратно: ^а ^б Шварц, Дж. Т. (1969). Нелинейный функциональный анализ . Нью-Йорк: Гордон и наука о нарушениях.

[3] Фремлин, Д.Х. (2011). «Теорема Киршбрауна» (PDF) . Препринт .

[4] Федерер, Х. (1969). Геометрическая теория меры . Берлин: Шпрингер. п. 202 .

[5] МакШейн, Э.Дж. (1934). «Расширение спектра функций» . Бюллетень Американского математического общества . 40 (12): 837–842. дои : 10.1090/S0002-9904-1934-05978-0 . ISSN 0002-9904 .

[6] Азагра, Дэниел; Ле Грюйер, Эрван; Мударра, Карлос (2021). «Теорема Киршбрауна через явную формулу» . Канадский математический бюллетень . 64 (1): 142–153. arXiv : 1810.10288 . дои : 10.4153/S0008439520000314 . ISSN 0008-4395 .

[7] Валентин, Ф.А. (1945). «Расширение векторной функции, сохраняющее условие Липшица». Американский журнал математики . 67 (1): 83–93. дои : 10.2307/2371917 . JSTOR 2371917 .

[8] Валентин, Ф.А. (1943). «О продолжении вектор-функции с сохранением условия Липшица» . Бюллетень Американского математического общества . 49 (2): 100–108. дои : 10.1090/s0002-9904-1943-07859-7 . МР 0008251 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]