Теорема Миттаг-Леффлера

В комплексном анализе теорема Миттаг-Леффлера касается существования мероморфных функций с предписанными полюсами . И наоборот, его можно использовать для выражения любой мероморфной функции как суммы простейших дробей . Это сестра факторизационной теоремы Вейерштрасса , которая утверждает существование голоморфных функций с предписанными нулями .

Теорема названа в честь шведского математика Гёсты Миттаг-Леффлера, опубликовавшего версии теоремы в 1876 и 1884 годах.

Теорема

Позволять $U$ быть открытым набором в $\mathbb {C}$ и $E\subset U$ быть подмножеством, чьи точки , если таковые имеются, находятся на границе предельные $U$. Для каждого $a$ в $E$, позволять $p_{a}(z)$ быть полиномом от $1/(z-a)$ без постоянного коэффициента, т.е. вида $$p_{a}(z)=\sum _{n=1}^{N_{a}}{\frac {c_{a,n}}{(z-a)^{n}}}.$$Тогда существует мероморфная функция $f$ на $U$ которого полюса являются именно элементами $E$ и такой, что для каждого такого полюса $a\in E$, функция $f(z)-p_{a}(z)$ имеет только устранимую особенность при $a$; в частности, основная часть $f$ в $a$ является $p_{a}(z)$. Более того, любая другая мероморфная функция $g$ на $U$ с этими свойствами можно получить как $g=f+h$, где $h$ — произвольная голоморфная функция на $U$.

Эскиз доказательства

Один из возможных вариантов доказательства таков. Если $E$ конечно, достаточно взять ${\textstyle f(z)=\sum _{a\in E}p_{a}(z)}$. Если $E$ не конечна, рассмотрим конечную сумму ${\textstyle S_{F}(z)=\sum _{a\in F}p_{a}(z)}$ где $F$ является конечным подмножеством $E$. В то время как $S_{F}(z)$ может не сходиться по мере F приближения к E , можно вычесть правильно выбранные рациональные функции с полюсами вне $U$ (предусмотрено теоремой Рунге ) без изменения главных частей $S_{F}(z)$ и таким образом, чтобы гарантировать сходимость.

Пример

Предположим, что нам нужна мероморфная функция с простыми полюсами вычета 1 во всех положительных целых числах. С указанными выше обозначениями, позволяя $$p_{k}(z)={\frac {1}{z-k}}$$ и $E=\mathbb {Z} ^{+}$, теорема Миттаг-Леффлера утверждает существование мероморфной функции $f$ с главной частью $p_{k}(z)$ в $z=k$ для каждого положительного целого числа $k$. Более конструктивно мы можем позволить $$f(z)=z\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(z-k)}}.$$

Этот ряд сходится нормально на любом компактном подмножестве $\mathbb {C} \smallsetminus \mathbb {Z} ^{+}$ (как можно показать с помощью М-теста ) до мероморфной функции с нужными свойствами.

Полюсные разложения мероморфных функций

Вот несколько примеров полюсных разложений мероморфных функций: $$\tan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {8z}{(2n+1)^{2}\pi ^{2}-4z^{2}}}$$$$\csc(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+2z\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{z^{2}-(n\,\pi )^{2}}}$$$$\sec(z)\equiv -\csc \left(z-{\frac {\pi }{2}}\right)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n-1}}{z-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)\pi }{(n+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}-z^{2}}}$$$$\cot(z)\equiv {\frac {\cos(z)}{\sin(z)}}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+2z\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-(k\,\pi )^{2}}}$$$$\csc ^{2}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(z-n\,\pi )^{2}}}$$$$\sec ^{2}(z)={\frac {d}{dz}}\tan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {8((2n+1)^{2}\pi ^{2}+4z^{2})}{((2n+1)^{2}\pi ^{2}-4z^{2})^{2}}}$$$${\frac {1}{z\sin(z)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n\neq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\pi n(z-\pi n)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {2}{z^{2}-(n\,\pi )^{2}}}$$

См. также

• Теорема Римана – Роха
• Теорема Лиувилля
• Условие Миттаг-Леффлера обратного предела
• Суммирование Миттаг-Леффлера
• Функция Миттаг-Леффлера

Ссылки

• Альфорс, Ларс (1953), Комплексный анализ (3-е изд.), McGraw Hill (опубликовано в 1979 г.), ISBN  0-07-000657-1 .
• Конвей, Джон Б. (1978), Функции одной комплексной переменной I (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-90328-3 .

Внешние ссылки

• «Теорема Миттаг-Леффлера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]